1、第1 1頁共 1414 頁2020屆上海市閔行七校高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1 1.X（x5）c0成立”是 “x1 4成立”的（）A.A.充分而不必要條件B.B.必要而不充分條件C.C.充分必要條件D.D.既不充分也不必要條件【答案】A A【解析】Tx x（x x 5 5）0?0? 0 x50 x5 , |x|x 1|4?1|4? 3x53x5, x x（x x 5 5）00 成立”？ x x 1|41|4 成立”反之，則不一定成立, x x（x x 5 5）00 成立”是“I1|41|O,aaO,az誑 R R 上是奇函數(shù)， f(0)=0f(0)=0 , k=2k=2,經(jīng)檢驗(yàn) k=2k

2、=2 滿足題意，又函數(shù)為減函數(shù)，所以 0 0 : : a a d d ,所以 g(x)=logg(x)=loga(x+2)(x+2)定義域?yàn)?x-2x-2，且單調(diào)遞減，故選：A.A.【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力 4 4圖中的陰影部分由底為1,高為1的等腰三角形及高為2和3的兩矩形所構(gòu)成設(shè)函數(shù)S二S(a)( a一0)是圖中陰影部分介于平行線y = 0及y二a之間的那一部分的面積，則函數(shù)S(a)的圖象大致為(【詳解】第 3 3 頁共 1414 頁【答案】C C【解析】先觀察原圖形面積増長(zhǎng)的速度，然后根據(jù)増

3、長(zhǎng)的速度在圖形上反映出切線的斜率進(jìn)行判定即可 【詳解】 根據(jù)圖象可知在0,1 1上面積增長(zhǎng)的速度變慢，在圖形上反映出切線的斜率在變小，可排除A, B；在 1,21,2 1 1 上面積增長(zhǎng)速度恒定， 在12,31 1 上面積增長(zhǎng)速度恒定， 而在 1,21,2 1 1 上面積增長(zhǎng)速度大于在12,31 1 上面積增長(zhǎng)速度，可排除D，故選C. .【點(diǎn)睛】本題主要考査了函數(shù)的圖象意義與實(shí)際應(yīng)用，同時(shí)考査了識(shí)圖能力以及分析問題和解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題. .二、填空題35 5 .已知角。的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(x,6)，且tag =,則x的值為_4【答案】8【解析】直接利用三角函數(shù)定義得到答案 A.A.B.B.

4、第4 4頁共 1414 頁角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(x,-6),ta n：蘭=一3. x=8x 4故答案為：8 8【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的定義，屬于簡(jiǎn)單題 6 6函數(shù)y =沖沖4一一X的定義域?yàn)開X【答案】_2,0)U(0,2【詳解】4x的定義域滿足x故答案為：-2,0)U(0,2【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的定義域，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力7 7 .已知幕函數(shù) f f (x)(x)存在反函數(shù)，且反函數(shù)f(x)過點(diǎn)(2, 4)，則 f f (x)(x)的解析式是【答案】f (x) -x【解析】 根據(jù)反函數(shù)性質(zhì)得到函數(shù)f(x)f(x)過點(diǎn)(4,2)，代入幕函數(shù)得到答案 【詳解】反函數(shù)fA(x)過點(diǎn)(2, 4

5、)，則函數(shù) f(x)f(x)過點(diǎn)(4, 2)設(shè)幕函數(shù)f (x) = xa代入點(diǎn)(4, 2)得到a = 2，解析式為f (x) =、x故答案為：f (x)- x【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的解析式，待定系數(shù)法是常用的方法，需要熟練掌握8 8.(1-3x)n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256256，則展開式中x的系數(shù)為 _【答案】-56【解析】通過二項(xiàng)式系數(shù)和計(jì)算得到n n =8=8,再利用二項(xiàng)式定理展開得到答案. .【解定義域滿足廣24 x 0，計(jì)算得答案第5 5頁共 1414 頁【詳解】第6 6頁共 1414 頁(1 -3. x)n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2n=256. n =8r33Tr_C8r(3X

6、)r=C；(-仃x3，當(dāng)r=3時(shí)，TrC8(1)x56x故答案為：-56【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理，混淆二項(xiàng)式系數(shù)和系數(shù)是容易發(fā)生的錯(cuò)誤5二9 9.已知cos(一a)=，貝y COS(+a) =_6 3 6Jj【答案】3【解析】 試題分析：因?yàn)?，cos( )=635兀nn岔所以，cos()二cos二-()_ -cos( )= 二6663【考點(diǎn)】 本題主要考查三角函數(shù)誘導(dǎo)公式。點(diǎn)評(píng)：簡(jiǎn)單題，注意觀察角之間的關(guān)系，靈活選用公式。1010 .已知ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且ABC的面積為3(a2c2-b2)，則.B =_4iJT【答案】3【解析】利用余弦定理得到a2 c2-b2

7、= 2accosB，代入面積公式化簡(jiǎn)得到tan B = , 3，得到答案【詳解】 根據(jù)余弦定理得到a2亠c2-b2=2accosBS3(a2c2-b2) -accosB =acsinB.422TT故答案為：一3【點(diǎn)睛】 本題考查了面積公式，余弦定理，意在考查學(xué)生對(duì)于面積公式，余弦定理的靈活運(yùn)用1若f (x) =ax3bx3c sinx -5，已知f(7) -17,【答案】-27tanB二3 B =31111.第7 7頁共 1414 頁i【解析】構(gòu)造函數(shù)g(x)=axbx3. csinx，判斷為奇函數(shù)，代入數(shù)據(jù)利用奇函數(shù)性 質(zhì)得到答案 【詳解】13f (x)二ax bx3csin x - 5，1

8、 1設(shè)g(x) = ax3bx3csin x，貝廿g(_x) _ _ax3_bx3_csinx _ _g(x)，g(x)為奇 函數(shù)f(-7)二g(-7) -5 =17. g(-7) =22f=g(7) -5 = -22 -5 27故答案為：-27【點(diǎn)睛】1本題考查了函數(shù)值的計(jì)算，構(gòu)造g(x)二ax bX空csinX，利用函數(shù)的奇偶性性質(zhì)是解題的關(guān)鍵 1212.設(shè)A、B是非空集合，定義：A：B=x|xAUB且xAI B，已知xA=x| 3，則_x+2【答案】(仝,-4) U ( -3, -2【解析】先計(jì)算集合 A A，再根據(jù)定義得到答案 【詳解】A =x | x2=x x：-4或x -2,B =

9、x| x -3x+2A B =x |xAUB且x更Ac B =x x 4或一3 x蘭 一2故答案為：(-4)U(-3,-2【點(diǎn)睛】本題考查了集合的新定義問題，意在考查學(xué)生的理解能力和解決問題的能力1313已知函數(shù)f(x)=x2,g(x)=x-1，若任意X，R,f (x) b g(x)都成立，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是_【答案】(0, 4)【解析】化簡(jiǎn)不等式得到x2- bx b - 0恒成立，再計(jì)算二b2-4b：0得到答案 【詳解】第8 8頁共 1414 頁函數(shù)f(x) =X2,g(x)=x-1,f(x) b g(x)即x2b(x-1)x2-bx b 0恒成立，：二b2-4b：0解得0：b：4故答案為

10、：(0,4)【點(diǎn)睛】本題考查了恒成立問題，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)問題是解題的關(guān)鍵. .1414 若將 5 5 名學(xué)生分配到 4 4 個(gè)不同的社團(tuán)，且每個(gè)社團(tuán)至少有一名學(xué)生，則共有分配方法_ 種【答案】240240【解析】利用捆綁法計(jì)算得到答案 【詳解】將 5 5 名學(xué)生分配到 4 4 個(gè)不同的社團(tuán)，且每個(gè)社團(tuán)至少有一名學(xué)生，則共有分配方法共有：24C5A4-240故答案為：240【點(diǎn)睛】本題考查了排列組合中的捆綁法，熟練掌握排列組合中的常規(guī)方法是解題的關(guān)鍵 1515 .設(shè) f f (x)(x)是定義在R上的偶函數(shù)，對(duì)任意X，R，都有 f f (x(x -2)-2) = = f f (x(x

11、 2)2)，且當(dāng)1X -2,0時(shí)，f(X)=()x-1，若函數(shù)g(x) = f (x) loga(x 2)(a 1)在區(qū)間2(-2,6恰有 3 3 個(gè)不同的零點(diǎn)，貝Ua的取值范圍是 _【答案】(34, 2)【解析】 先判斷函數(shù)為周期是 4 4 的周期函數(shù)，再根據(jù)偶函數(shù)畫出函數(shù)在(-2,6上的圖像，根據(jù)圖像得到loga4 : 3,loga8 3，計(jì)算得到答案. .【詳解】對(duì)于任意的x R，都有 f f (x(x -2)-2) = = f f (x(x 2)2)，函數(shù) f(x)f(x)是一個(gè)周期函數(shù)，且 T T = =4當(dāng)-2,0時(shí)，f(x)=(丄)x-1，且函數(shù) f f (x)(x)是定義在 R

12、 R 上的偶函數(shù)2故函數(shù) f(x)f(x)在區(qū)間(-2,6上的圖象如下圖所示：第9 9頁共 1414 頁若在區(qū)間(一2,6內(nèi)關(guān)于x的方程g(x)=：f(x)-loga(x2)恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解, 即y = f (x)與y =loga(x 2)恰有3個(gè)不同的交點(diǎn)，由圖像可得:loga4：3,log a83，解得：34G：2故答案為：(34,2)【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題，轉(zhuǎn)化是函數(shù)的交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，綜合考查了函數(shù)的奇偶性，周期性，函數(shù)圖像，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力1616 .如果函數(shù)f(x) =|lg |3x-1|在定義域的某個(gè)子區(qū)間(k-1,k，1)上不存在反函數(shù)，則k的取值范圍是

13、_24 5【答案】(-12U-,5)33 3112【解析】畫出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像得到不等式0：k 1或k -1，計(jì)算得333到答案 【詳解】如圖所示：畫出函數(shù)f(x) =|lg|3x-1|的圖像. .函數(shù)f(x)屮g|3x-1|在定義域的某個(gè)子區(qū)間(k -1,k 1)上不存在反函數(shù)1122 I I 4 5則滿足：0：k，1或k-1解得：k(-1,)33333 324 5故答案為：(-1,U,)33 3A AY4 4 - -第1010頁共 1414 頁本題考查了反函數(shù)的相關(guān)問題，畫出圖像是是解題的關(guān)鍵，直觀簡(jiǎn)潔 三、解答題1717 .若集合A二x|loga(x2-X -2)2,a0且a =1.

14、.(1)若a = 2，求集合A;C2*(2)若a=P2(nEN),求集合A. .P【答案】(1 1)( -： ：, -2)(3, ：)集合A為(：，-2) - (3,二)(2)(2一10TU(呼【解析】(1 1) 根據(jù)函數(shù)的定義域和單調(diào)性滿足-x - 20，計(jì)算得到答案 -x - 2 4(2(2)先計(jì)算千x2_ x _ 2 01a，再根據(jù)題意解不等式21計(jì)算得到答案 2X2-X-2I.4【詳(1)a = 2則A =log2(x2_x_2)2J =：xlog2(x2_x_2)log24/x_x_20滿足:xx-24解得:x - 3或x ” -2，即A = l【點(diǎn)睛】第1111頁共 1414 頁(

15、n-2)!集合A為(上瀘，_1)u(2,冷【點(diǎn)睛】本題考查了集合的化簡(jiǎn)與對(duì)數(shù)不等式，考查了組合數(shù)與排列數(shù)的運(yùn)算公式，其中解對(duì)數(shù)不等式時(shí)忽略掉定義域是容易發(fā)生的錯(cuò)誤. .1818 .已知函數(shù)f(x) =2sin?cos?-2.3sin2- ,3. .444(1 1)求函數(shù) f f (x)(x)的最小正周期及最值；(2(2)令g(x) = f (x - a)，其中a 0，若g(x)為偶函數(shù)，求a的最小值. .【答案】(1 1)T =4二，最小值為-2-2，最大值為 2 2(2)3二【解析】(1 1)化簡(jiǎn)得到f(x)=2sin(一)計(jì)算得到答案. .23x下a(2 2)先得到g(x) =2sin()

16、，函數(shù)為偶函數(shù)得到a2k二，計(jì)算得到答2 3 23案 【詳解】(1)f(x)=2sincos*-2 .3sin2、3二sin -；3(1-cos). 344422=si nx、3cos =2s in()22232兀T T -= = 4 4 兀最小正周期為1，最小值為-2 2，最大值為 2 22x a兀x Ji a(2)g(x) = f (x -a)二2sin( -)= 2sin(-)為偶函數(shù)232 3 2則 一k二a2k二(a 0)，當(dāng)k - -1時(shí)，a有最小值為一二32233【點(diǎn)睛】(2)n!(n _2)! 2!n!logi(x221_x _2) log1 -24 2x x 20滿足21解得

17、:|x x2c I4x (,-1)U(2,1 10第1212頁共 1414 頁本題考查了三角函數(shù)周期，最值，奇偶性，意在考查學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)性質(zhì)和三角恒等第1313頁共 1414 頁變換的靈活運(yùn)用佃圍建一個(gè)面積為 360360 平方米的矩形場(chǎng)地， 要求矩形場(chǎng)地的一面利用舊墻(利用舊墻需維修)，其它三面圍墻要新建， 在舊墻的對(duì)面的新墻上要留一個(gè)寬度為2 2 米的進(jìn)出口，如圖所示，已知舊墻的維修費(fèi)用為4545 元/ /米，新墻的造價(jià)為 180180 元/ /米，設(shè)利用的舊墻的長(zhǎng)度為X(單位：米)，修建圍墻的總費(fèi)用為y(單位：元)，試確定X的值，使修建 此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用最小，并求出最小總費(fèi)用【

18、答案】 當(dāng)X=24m時(shí)，修建此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用最小，最小為 1044010440 元【解析】 先求出函數(shù)表達(dá)式為y =225x 360-360(x2)，再利用均值不等式得到x答案 【詳解】如圖，設(shè)矩形的另一邊長(zhǎng)為am，則y =45x 180(x -2) 180 2a = 225x 360a -360，由已知ax= 360，得a=360 x所以y =225x-360(x2). .x當(dāng)且僅當(dāng)22536時(shí)，等號(hào)成立，x即x =24時(shí)，修建圍墻的總費(fèi)用最小，最小總費(fèi)用是10440元. .【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)和不等式，用均值不等式求最值和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題 1 12020已知函數(shù)f(x)(

19、X，(0：). .m x(1) 求證：函數(shù) f f (x)(x)是增函數(shù)；(2) 若函數(shù) f f (x)(x)在a,b上的值域是2a,2b(0vacb),求實(shí)數(shù)m的取值范圍;(3)若存在(1廠：)，使不等式f(x -1) 4x成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍. .【答案】(1 1)證明見解析225x36022. 225 3602=10800，所以= 225x3602-360 10440 x8第1414頁共 1414 頁令g(x)=4x2- 410，X|x2v0因此f咅 一fx2: 0 0，即fN: f x2故該函數(shù)為增函數(shù) 1所以a,b可視為方程2x2x 0的兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根m17 -8 0，丄0,

20、解得0：m：2，m2m41 1(3)不等式f(x-1)4x，即4xm x1(2(2)由(1 1)得，函數(shù) f f (x)(x)是增函數(shù),利用1 1-=2am a轉(zhuǎn)化為方程2x2-丄 1=0m(1)設(shè)0：為：X2，則f為-f X2=Z11X11x,-x2mX2丿x2x1x|X2(2(2)由(1 1)得，函數(shù) f(x)f(x)是增函數(shù)，則11 21二2a2aa 1=0maaJm仁，即丄1=2b2b21zb 1 =0mbIm即實(shí)數(shù)m的取值范圍是因?yàn)閤 (1,=)，上述不等式化為2f 1 )14x 4 + x +1 + 0，第1515頁共 1414 頁【點(diǎn)睛】2xm12121 已知f(X)2為定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，把方程f (x)稱為函數(shù) f(x)f(x)x+1x的特征方程，特征方程的兩個(gè)實(shí)根P P ( (a a 0 0 ),稱為 f(x)f(x)的特征根. .(1(1)討論函數(shù) f(x)f(x)的奇偶性，并說明理由;(2(2)已知m為給定實(shí)數(shù)，求f ( J - f G )的表達(dá)式;(3(3)把函數(shù)y = f(x)，：,訂的最大值記作maxf(x)，最小值記作min f(x)，研究函數(shù)y=f(x),X，二：的單調(diào)性，令g(m) =max f (x) - mi nf (x)，若g