1、不等式單元知識(shí)總結(jié)一、不等式的性質(zhì)1 兩個(gè)實(shí)數(shù)a與b之間的大小關(guān)系(1) a b> 0 = a>b;(2) a b= 0= a= b;(3) a b< 0= a< b.若 a、b R ,a £ > 1二 則 M5)a = 1 =I ba(6)- v 1二a> b;a = b;av b.2不等式的性質(zhì)(1) a > b 二 bv a(對(duì)稱性)a> bb> ca> c（傳遞性）a> bcv 0二 acv bc（乘法單調(diào)性）(6)a> bc > da + c> b + d（同向不等式可加a> bcv

2、da c> b d（異向不等式可減）a> b> 01 -(8)c>d> 0 二ac> bd（同向正數(shù)不等式可乘（3）a > b= a十c> b十c（加法單調(diào)性）a> b- ac> bcc> 0(5)a + b>c= a>c b(移項(xiàng)法則)a> b> 0a b0vcv廠二> d（異向正數(shù)不等式可除）(10)a> b> 0 n Nan > bn（正數(shù)不等式可乘方(11)a> b> 0卜n Nna>nb（正數(shù)不等式可開方）1 1(12)a > b> 0= -

3、 v(正數(shù)不等式兩邊取倒數(shù))a b3. 絕對(duì)值不等式的性質(zhì)fa(a>0),(1)|a| > a; |a|=va(av0).如果a>0,那么|x| v a = x2 v a2 二 av xv a;|x| > a= x2 > a2 二 x>a或xv a.(3)|a b|= |a| |b| .a |a|才而甘0).(5) |a| |b| < |a ± b| < |a| + |b| .(6) |a卜+ an| w |a 11 + |a 2| + |a n| .二、不等式的證明1. 不等式證明的依據(jù)(1) 實(shí)數(shù)的性質(zhì)：a、b同號(hào)=ab>0;

4、 a、b異號(hào)=abv 0a b> 0 二 a>b; a bv 0= av b; a b = 0 二 a = b(2) 不等式的性質(zhì)(略) 重要不等式：|a| >0; a2>0; (a b)2>0(a、b R) a2+ b2 > 2ab(a、b R,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“二”號(hào))a亠b 2、ab(a、b R ，當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)取“二”號(hào))2. 不等式的證明方法(1) 比較法：要證明a>b(a v b=，只要證明a b>0(a bv0=，這種證明不等 式的方法叫做比較法.用比較法證明不等式的步驟是：作差一一變形一一判斷符號(hào).綜合法：從已知條件出發(fā)，

5、依據(jù)不等式的性質(zhì)和已證明過的不等式，推導(dǎo)出 所要證明的不等式成立，這種證明不等式的方法叫做綜合法.(3) 分析法：從欲證的不等式出發(fā)，逐步分析使這不等式成立的充分條件，直到 所需條件已判斷為正確時(shí)，從而斷定原不等式成立，這種證明不等式的方法叫做 分析法.證明不等式除以上三種基本方法外，還有反證法、數(shù)學(xué)歸納法等.三、解不等式1. 解不等式問題的分類(1)解一元一次不等式.(2)解一元二次不等式.(3)可以化為一元一次或一元二次不等式的不等式. 解一元高次不等式；解分式不等式；解無理不等式；解指數(shù)不等式；解對(duì)數(shù)不等式；解帶絕對(duì)值的不等式；解不等式組.2. 解不等式時(shí)應(yīng)特別注意下列幾點(diǎn)：(1)正確應(yīng)

6、用不等式的基本性質(zhì).正確應(yīng)用幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的增、減性.(3)注意代數(shù)式中未知數(shù)的取值范圍.3不等式的同解性ff(x) > 0If(x) v 0(i)f(x) g(x) >0與或 /、vc同解.I g(x) > 0 i g(x)v 0Jf(x) > 0f(x) v 0f(x) g(x) v 0與或同解.ig(x)v 0 ig(x)> 0；f(x) > 0 十或g(x) > 0f(x) > 0 十或丿g(x)v 0/八 f(x)(4) v ' 丿 g(x)(5) |f(x)|(6) |f(x)|與g(x)f(x) v 0 ”同解.

7、(g(x)豐0)g(x)v 0f(x) v 0 斤 同解.(g(x)豐0) ig(x) > 0v g(x)與一g(x) v f(x) v g(x)同解.(g(x) > 0)>g(x)與 f(x) >g(x)或 f(x) v-g(x)(其中 g(x) >0)同解;v 0同解.0與0與f(x) > g(x)2f(x) > 0 十、f(x) > g(x)與 f(x) > 0 或同解.Iig(x)v 0g(x) > 0f(x) v g(x) 2 ”(8) ：f(x)vg(x)與 q同解.lf(x) > 0(9) 當(dāng) a> 1 時(shí)，

8、af(x) > ag(x)與 f(x) >g(x)同解，當(dāng) 0v av 1 時(shí)，af(x) > ag(x，與 f(x) v g(x)同解.f(x) > g(x)(10) 當(dāng) a> 1 時(shí),logaf(x) > logag(x)同解.lf(x) > 0f(x) v g(x) 當(dāng) 0v av 1 時(shí),logaf(x) > logag(x)與 f(x) >0 同解.'g(x) > 0直線與圓單元知識(shí)總結(jié)一、坐標(biāo)法1 .點(diǎn)和坐標(biāo)建立了平面直角坐標(biāo)系后，坐標(biāo)平面上的點(diǎn)和一對(duì)有序?qū)崝?shù)(x , y)建立了對(duì)應(yīng)的關(guān)系.2. 兩點(diǎn)間的距離公式設(shè)

9、兩點(diǎn)的坐標(biāo)為P1(x 1，yj，P2(x 2，y2)，則兩點(diǎn)間的距離尸也1= ,（x2 - Xi）2 仏 - yi）2特殊位置的兩點(diǎn)間的距離，可用坐標(biāo)差的絕對(duì)值表示：（1）當(dāng)xi=X2時(shí)（兩點(diǎn)在y軸上或兩點(diǎn)連線平行于y軸），貝U |P iP2|=|y 2-yi| 當(dāng)yi=y2時(shí)（兩點(diǎn)在x軸上或兩點(diǎn)連線平行于x軸），貝U |P iP2|=|x 2-xi| 3 線段的定比分點(diǎn)（i）定義：設(shè)p點(diǎn)把有向線段PP2分成PP和PP2兩部分，那么有向線段PP和PP2的數(shù)量的比，就是p點(diǎn)分PP2所成的比，通常用 入表示,即入二 ，點(diǎn)p叫做分線段pp2為定比入的定比分點(diǎn).PP21當(dāng)p點(diǎn)內(nèi)分PP2時(shí)，入o；當(dāng)p點(diǎn)

10、外分pp；時(shí)，入vo. 公式：分Pi（Xi, y2）和B（X2, y2）連線所成的比為入的分點(diǎn)坐標(biāo)是X + 入 x2x =1 +入（入疋- 1）I y 入 y2特殊情況，當(dāng)p是證的中點(diǎn)時(shí)，入=1,得線段的中點(diǎn)坐標(biāo) 公式X1 x22yy2、直線1. 直線的傾斜角和斜率（1）當(dāng)直線和X軸相交時(shí)，把X軸繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時(shí)所 轉(zhuǎn)的最小正角，叫做這條直線的傾斜角.當(dāng)直線和x軸平行線重合時(shí)，規(guī)定直線的傾斜角為 0.所以直線的傾斜角 a 0，n ）. 傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線n 率，直線的斜率常用k表示，即k = tana （ a工一）. 的斜2當(dāng)

11、k>0 時(shí)，a =arctank .（銳角） 當(dāng) kv0 時(shí)，a = n arctank .（鈍角）斜率公式：經(jīng)過兩點(diǎn) R（X1, y”、P2（X2, y2）的直線的斜率為（X1 半 X2）k= 3x2 _ x12. 直線的方程 （1）點(diǎn)斜式 已知直線過點(diǎn)（X0, y°），斜率為k，則其方程為：y y0=k（x x°） 斜截式 已知直線在y軸上的截距為b,斜率為k,則其方程為：y=kx + b 兩點(diǎn)式 已知直線過兩點(diǎn)（xi, yi）和（X2, y2），則其方程為:y - yiX - Xq （Xi 半 X2）X2 - Xq（4）截距式（5）參數(shù)式已知直線在x, y軸上截

12、距分別為a、b,則其方程為： 已知直線過點(diǎn)P（xo，yo），它的一個(gè)方向向量是（a，b），XV = 1a b"x = x0 + at則其參數(shù)式方程為（t為參數(shù)），特別地，當(dāng)方向向量為!yy obtV（COS a， sin a ）（ a為傾斜角）時(shí)，則其參數(shù)式方程為X 二 Xoy = yot COS atsin a（t為參數(shù)）這時(shí)，t的幾何意義是tV = pop，|t| = |poPl = |PoPl一般式 Ax + By+ C=o （A、B不同時(shí)為0）.（7）特殊的直線方程 垂直于x軸且截距為a的直線方程是x=a，y軸的方程是x=0. 垂直于y軸且截距為b的直線方程是y=b，x軸的方

13、程是y=0.3. 兩條直線的位置關(guān)系（1）平行：當(dāng)直線I 1和12有斜截式方程時(shí)，k1=k2且“工b2.ABC當(dāng)h和I2是一般式方程時(shí)，一1 =工A2b2C2 重合：當(dāng)11和12有斜截式方程時(shí)，k1=k2且b1=b2，當(dāng)l 1和丨2是般方程時(shí),C1C2相交：當(dāng)丨1，丨2是斜截式方程時(shí)，力工k2當(dāng)l1， l2是一般式方程時(shí),A2B2丨交點(diǎn)： 斜到角： 交l1到12的角tan 0夾角公式：l1和12夾角tank2 - k1 J（1 k1k2 工0）1 k1k/1 2 fk2 _ k1=1r（1 k1k2 工 0）i k1k1 2垂直當(dāng)l1和l2有敘截式方程時(shí)，k1k2 = - 1I當(dāng)l1和|2是一

14、般式方程時(shí)，a1a2 + b1b2 = 04. 點(diǎn)P(xo, yo)與直線l : Ax+ By+ C=0的位置關(guān)系：Ax0 + By0 + C = 0= P在直線I上(點(diǎn)的坐標(biāo)滿足直線方程)Ax0 + By0 + Cz 0= P在直線I夕卜.點(diǎn)P(x0, y0)到直線I的距離為：的距離為：d|CC2|Ax° + By。+C|I 2 : Ax+ By+ C2=0 間5. 兩條平行直線I i : Ax+ By+ C=0,6. 直線系方程具有某一共同屬性的一類直線的集合稱為直線系，它的方程的特點(diǎn)是除含坐標(biāo) 變量x, y以外，還含有特定的系數(shù)(也稱參變量).確定一條直線需要兩個(gè)獨(dú)立的條件，在

15、求直線方程的過程中往往先根據(jù)一個(gè)條件 寫出所求直線所在的直線系方程，然后再根據(jù)另一個(gè)條件來確定其中的參變量. 共點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過兩直線I i : Aix + Biy + C=0，丨2 : Ax + By + C2=0的交點(diǎn)的直線系方程 為：Ax+ By+ G+入(A2X+ Ry + G)=0，其中入是待定的系數(shù).在 這個(gè)方程中，無論入取什么實(shí)數(shù)，都得不到Ax + By + C2=0，因此它不表示I 2.當(dāng)入=0時(shí)，即得Ax+ By+ C=0，此時(shí)表示Ii.平行直線系方程：直線y=kx + b中當(dāng)斜率k 一定而b變動(dòng)時(shí)，表示平 行直線系方程.與直線 Ax+ By+ C=0平行的直線系方程是Ax

16、+ By+入 =0(入工C)，入是參變量.垂直直線系方程：與直線 Ax+ By+ C=0(Az 0，Bz 0)垂直的直線系方 程是：Bx Ay+入=0.如果在求直線方程的問題中，有一個(gè)已知條件，另一個(gè)條件待定時(shí)，可 選用直線系方程來求解.7. 簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃(1) 二元一次不等式 Ax+ By+ C> 0(或v 0)表示直線 Ax+ By+ C=0某一 側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域.二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的平面點(diǎn)集 的交集，即各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分.(2) 線性規(guī)劃：求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問 題，稱為線性規(guī)劃問題，例如，z=a

17、x+ by，其中x，y滿足下列條件：A1x+ B” + C > 0(或w 0)A 2x + B2 y+ C20(或w 0)S(*)A nx + Bnx+ Cn0(或w 0)求z的最大值和最小值，這就是線性規(guī)劃問題，不等式組(*)是一組對(duì)變量x、y的線性約束條件，z=ax+ by叫做線性目標(biāo)函數(shù).滿足線性約束條件的解(x，y)叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域，使線性目標(biāo)函數(shù)取得最大值和 最小值的可行解叫做最優(yōu)解.三、曲線和方程1 定義在選定的直角坐標(biāo)系下，如果某曲線C上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f（x，y）=0的實(shí)數(shù)解建立了如下關(guān)系： 曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f（x ，y）=0的解（

18、一點(diǎn)不雜）；以方程f（x，y）=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線 C上的點(diǎn)（一點(diǎn)不漏）.這時(shí)稱方程f（x，y）=0為曲線C的方程；曲線C為方程f（x，y）=0的曲線（圖形）.設(shè)P=具有某種性質(zhì)（或適合某種條件）的點(diǎn)，Q=（x，y）|f（x ，y）=0，若設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（X。，y°），則用集合的觀點(diǎn)，上述定義中的兩條可以表述為：（1）M p= （x°，y°） Q，即 P Q ;（2）（x0，y0） Q= M P，即 Q P.（1）（X0，y°） Q= m p；以上兩條還可以轉(zhuǎn)化為它們的等價(jià)命題（逆否命題）:（2）M（X。，y0）Q.顯然，當(dāng)且僅當(dāng)P Q且Q P，即

19、P=Q時(shí)，才能稱方程f（x，y）= 0 為曲線C的方程；曲線C為方程f（x，y）=0的曲線（圖形）.2.曲線方程的兩個(gè)基本問題（1）由曲線（圖形）求方程的步驟： 建系，設(shè)點(diǎn)：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用變數(shù)對(duì) （x，y）表示曲線上任意一點(diǎn)M的 坐標(biāo)； 立式：寫出適合條件p的點(diǎn)M的集合p=M|p（M）； 代換：用坐標(biāo)表示條件p（M），列出方程f（x，y）=0 ； 化簡(jiǎn)：化方程f（x，y）=0為最簡(jiǎn)形式； 證明：以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).上述方法簡(jiǎn)稱“五步法”，在步驟中若化簡(jiǎn)過程是同解變形過程；或最簡(jiǎn)方程 的解集與原始方程的解集相同，則步驟可省略不寫，因?yàn)榇藭r(shí)所求得的最簡(jiǎn)方 程就是所求曲線的方程

20、.由方程畫曲線（圖形）的步驟： 討論曲線的對(duì)稱性（關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)）；方程組f（x，y） 一 °的解是曲線與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)； 求截距：= 0f （x， v） = 0方程組 _0y的解是曲線與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)； 討論曲線的范圍；列表、描點(diǎn)、畫線.3. 交點(diǎn)求兩曲線的交點(diǎn)，就是解這兩條曲線方程組成的方程組.4. 曲線系方程過兩曲線f 1（x，y）=0和f2（x，y）=0的交點(diǎn)的曲線系方程是f 1（x，y） + 入 f2（x，y）=0（入 R）.四、圓1. 圓的定義平面內(nèi)與定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合（軌跡）叫圓.2. 圓的方程（1）標(biāo)準(zhǔn)方程（x a）2+ （y b） 2=r2. （a，b

21、）為圓心，r為半徑. 特別地：當(dāng)圓心為（0，0）時(shí)，方程為x2 + y2=r2一般方程 x2+ y2 + Dx+ Ey+ F=0配方（x即（y鏟D2 E-4F當(dāng)D2 + E2 - 4F > 0時(shí)，方程表示以(一D ,-)為圓心，以2 2D2 E2 -4F為半徑的圓；2當(dāng)D2 + E2 - 4F = 0時(shí)，方程表示點(diǎn)(一D，-)2 2當(dāng)D2 + E 4FV0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)解，無軌跡.參數(shù)方程 以(a , b)為圓心，以r為半徑的圓的參數(shù)方程為(6為參數(shù))特別地，以(0 , 0)為圓心，以r為半徑的圓的參數(shù)方程為x = r cos 6y = rsin 6(6為參數(shù))(1) 點(diǎn)在圓外二(2)

22、點(diǎn)在圓上二(3) 點(diǎn)在圓內(nèi)二d> r; d = r; dv r.3. 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系設(shè)點(diǎn)到圓心的距離為d，圓的半徑為r.4. 直線與圓的位置關(guān)系|Aa Bb C| d = / 2 2 設(shè)直線 I : Ax+ By+ C=0和圓 C: (x a)2+ (y b)2=r2，貝UA B(1) 相交二 直線與圓的方程組成的方程組有兩解，>0或dv r;(2) 相切二 直線與圓的方程組成的方程組有一組解，= 0或d = r;(3) 相離直線與圓的方程組成的方程組無解，<0或d> r.5. 求圓的切線方法 2 2(1)已知圓 x + y + Dx+ Ey+ F=0.若已知切點(diǎn)(X

23、。，y°)在圓上，則切線只有一條，其方程是x°x 二 y°yD(x X。)2E(y y°)F20.Xc + xVc + y當(dāng)(X。，y°)在圓外時(shí)，X°x+ y°y+ D(2 ) + E- ) + F = 0表示 過兩個(gè)切點(diǎn)的切點(diǎn)弦方程. 若已知切線過圓外一點(diǎn)(x。，y。)，則設(shè)切線方程為y y°=k(x X。)，再利用相切條件求k，這時(shí)必有兩條切線，注意不要漏掉平行于y軸的切線. 若已知切線斜率為k，則設(shè)切線方程為y=kx+ b,再利用相切條件求b，這時(shí) 必有兩條切線.(2)已知圓 x2+ y2=r2.若已知切點(diǎn)

24、P°(x。，y。)在圓上，貝U該圓過P。點(diǎn)的切線方程為X0X + y°y=r2.已知圓的切線的斜率為k，圓的切線方程為y二kx ± n k21.6 圓與圓的位置關(guān)系已知兩圓圓心分別為 O、Q,半徑分別為ri、宀，貝U(1) 兩圓外切二 |O1O2|= r1 + r2;(2) 兩圓內(nèi)切 =|O1O2|=|r1 r2|;(3) 兩圓相交二 |r1 r21 v |O1O2|< r1 + r2.圓錐曲線單元知識(shí)總結(jié)一、圓錐曲線1橢圓(1) 定義 定義1:平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn) F1、F2的距離之和等于 常數(shù)(大于IF1F2I)，這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫橢圓(這兩個(gè)定點(diǎn)叫焦

25、點(diǎn)).定義2:點(diǎn)M與一個(gè)定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離的比c數(shù)e= - (0 < e< 1)時(shí)，這個(gè)點(diǎn)的軌跡是橢圓.是常a(2)圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程圖8 1的標(biāo)準(zhǔn)方程為:圖8 2的標(biāo)準(zhǔn)方程為:+x2ax2b7 +b? = 1(a>b> 0)=1(a> b> 0)J< Ml 0<6珀)叫°7 Bz”圖日-g(3) 幾何性質(zhì)條件M|MF|+|MFI=2a 2a>|F1F2|“ |MF|MF>| “M| 點(diǎn)M到l1的距離點(diǎn)M到12的距離e? ° e 1標(biāo)準(zhǔn)方程tx2 y22= 1(a>b>°)a b2

26、2X2+與= 1(a>b>C)b a頂點(diǎn)Ai(a，0), A2(a，0)Bi(°，一b), B(0, b)A1(0，a, A2(0 , a) Bi( b, 0), E2(b, 0)軸對(duì)稱軸:x軸，y軸.長(zhǎng)軸長(zhǎng)1鈿=25,短軸長(zhǎng)|§|=2»隹占八、八、Fi( C,°), F2(C,0)F1(0，一C),F2(0 , C)焦距|F1F2|=2c(O 0), c2=dr b離心率e= -(0 v ev 1)a準(zhǔn)線方程2 2iaiall : X =； l 2 : x =CC2 2 aah : y =;丨2 : y =CC焦點(diǎn)半徑|MF 11= a +

27、 ex0 , |MF 2| = a ex0|MF 補(bǔ)=a + ey。,|MF 2 | = a ey 0點(diǎn)和橢圓 的關(guān)系>外2 22 + =1二(x 0, y 0)在橢圓上abv內(nèi)切線方程(k為切線斜率2 L2y = kx 土寸a2/ + b2(k為切線斜率2 2,2y = kx ± V b2k2 + a2xox , yoy 12十.21ab(x 0 , y 0)為切點(diǎn)xox , yoy 1.2十21ba(x o , y o)為切點(diǎn)切點(diǎn)弦 方程(x0 ,y0)在橢圓外x0x | yoy - 1 ab(x0 ,y0)在橢圓外xox | yoy - 1ba弦長(zhǎng)公式|x 2 x1 1 + k 或 |y 1 y 2 1 +2其中(x1 , y1), (x2 , y2)為割弦端點(diǎn)坐標(biāo)，k為割弦所在直線的斜率2.雙曲線（1）定義定義1:平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)Fi、F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)（小于|FiF）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線（這兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn)）. 定義2:動(dòng)點(diǎn)到一定點(diǎn)的距離與它到一條定直線的距離之比是常數(shù)e（e > 1）時(shí)，這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線（這定點(diǎn)叫做雙