1、泛函分析期末復(fù)習(xí)提要一、距離空間與拓?fù)淇臻g(一)教學(xué)內(nèi)容1. 距離空間的基本概念：定義與例子、收斂性、距離空間的連續(xù)映射與等距。2. 距離空間中的點(diǎn)集：開集與閉集、稠密子集，可分距離空間。3. 完備距離空間：Cauchy列，完備性、閉球套定理、綱，綱定理、距離空間完備化。4. 壓縮映射原理：不動(dòng)點(diǎn)，壓縮映射原理、壓縮原理的一些應(yīng)用。5拓?fù)淇臻g的基本概：拓?fù)淇臻g的定義、拓?fù)浠?、拓?fù)淇臻g中的連續(xù)映射，同胚、分離公理。6緊性和距離空間的緊性：緊性的概念、緊空間的連續(xù)映射。7距離空間的緊性：列緊集，全有界集、Arzela定理。重點(diǎn) 掌握距離空間的基本概念、 距離空間中的點(diǎn)集、 完備距離空間、 壓縮映射

2、原理、拓?fù)淇臻g的基本概念、緊性和距離空間的緊性。難點(diǎn) 完備距離空間、 壓縮映射原理。(二)教學(xué)基本要求1.理解距離空間、距離空間中的點(diǎn)集等基本概念。2.了解完備距離空間的概念，掌握壓縮映射原理的證明。3.理解拓?fù)淇臻g的基本概念及其運(yùn)算性質(zhì)。二、賦范線性空間(一)教學(xué)內(nèi)容1. 賦范空間的基本概念：賦范空間的定義、賦范空間的基本性、凸集、賦范空間的例。2. 空間L(p³1)：Holder不等式與Minkowski不等式、空間pLp(E)(p³1)、空間L¥(E)。3. 賦范空間進(jìn)一步的性質(zhì)：賦范空間的子空間、賦范空間的完備化、賦范空間的商空間、賦范空間的乘積、賦范線性

3、空間的基本概念、等價(jià)范數(shù)。4. 有窮維賦范空間。重點(diǎn) 賦范空間的定義、賦范空間的基本性、凸集、賦范空間的例、Holder不等式與Minkowski不等式、空間L(E)(p³1)、空間L(E)、賦范空間的子空間、賦范空間的完備化、賦范空間的商空間、賦范空間的乘積、賦范線性空間的基本概念、等價(jià)范數(shù)。難點(diǎn) Holder不等式與Minkowski不等式、賦范空間的完備化、空間p¥Lp(E)(p³1)、空間L¥(E)。(二)教學(xué)基本要求1.理解賦范空間的定義、賦范空間的基本性、凸集、賦范空間的子空間、賦范線性空間的基本概念、等價(jià)范數(shù)。2.熟練掌握Holder不等式

4、與Minkowski不等式。三、有界線性算子(一)教學(xué)內(nèi)容1. 有界線性算子與有界線性泛函：定義與例、有界線性算子空間。2. Banach-Steinhaus定理及其某些應(yīng)用。3. 開映射定理與閉圖像定理：逆算子、線性算子的譜、開映射定理、閉圖像定理。4Hahn-Banach定理及其推論：Hahn-Banach定理、共軛空間與共軛算子。5某些賦范空間上有界線性泛函的一般形式：空間Ca,b上的有界線性泛函、空間La,b(1<p<¥)上的有界線性泛函、空間c上的有界線性泛函。6自反性與弱收斂：自反性、弱收斂。7緊算子：定義、緊算子的基本性質(zhì)。重點(diǎn) 有界線性算子空間、逆算子、線

5、性算子的譜、開映射定理、閉圖像定理、空間Ca,b上的有界線性泛函、空間La,b(1<p<¥)上的有界線性泛函、空間c上的有界線性泛函、定義、緊算子的基本性質(zhì)。難點(diǎn) Hahn-Banach定理、共軛空間與共軛算子。(二)教學(xué)基本要求1.了解定義與例、有界線性算子空間。2.理解Banach-Steinhaus定理、逆算子、線性算子的譜、開映射定理、閉圖像定理。3.理解空間Ca,b上的有界線性泛函、空間La,b(1<p<¥)上的有界線性泛函、空間c上的有界線性泛函。4.了解自反性、弱收斂。四、Hilbert空間(一)教學(xué)內(nèi)容1. 內(nèi)積空間的基本性質(zhì)。2.

6、正交性，正交系：正交性、正交系、可分空間的同構(gòu)。3. Riesz表示定理，Hilbert空間的共軛空間：Riesz表示定理、空間的共軛空間。4. Hilbert空間中的自共軛緊算子。重點(diǎn) 內(nèi)積空間的基本性質(zhì)、正交性、正交系、可分空間的同構(gòu)、Riesz表示定理、空間的共軛空間、Hilbert空間中的自共軛緊算子。 PPP難點(diǎn) Riesz表示定理、空間的共軛空間。(二)教學(xué)基本要求1. 了解內(nèi)積空間的基本性質(zhì)、正交性、正交系。2. 理解可分空間的同構(gòu)、Riesz表示定理、空間的共軛空間。3. 理解Hilbert空間中的自共軛緊算子。五、拓?fù)渚€性空間(一)教學(xué)內(nèi)容1. 拓?fù)渚€性空間的基本性質(zhì)：定義、

7、分離性、平衡集，有界集、距離化、有界線性算子。2. 半范數(shù)、局部凸空間：半范數(shù)、局部凸空間。3. 弱拓?fù)洌悍蛛x定理、拓?fù)渚€性空間上的弱拓?fù)?、共軛空間上的弱拓?fù)?、凸集的端點(diǎn)。重點(diǎn) 拓?fù)渚€性空間的基本性質(zhì)、半范數(shù)、局部凸空間、分離定理、拓?fù)渚€性空間上的弱拓?fù)?、共軛空間上的弱拓?fù)?、凸集的端點(diǎn)。難點(diǎn) 分離定理、拓?fù)渚€性空間上的弱拓?fù)?、共軛空間上的弱拓?fù)?、凸集的端點(diǎn)。(二)教學(xué)基本要求1.了解定義、分離性、平衡集，有界集、距離化、有界線性算子。2.理解半范數(shù)、局部凸空間。3.理解分離定理、拓?fù)渚€性空間上的弱拓?fù)洹⒐曹椏臻g上的弱拓?fù)?、凸集的端點(diǎn)。六 Banach代數(shù)(一)教學(xué)內(nèi)容1. Banach定義與例。2. 正則點(diǎn)與譜：定義、譜的性質(zhì)。3. 極大理想與商代數(shù)：極大理想、商代數(shù)。4交換Banach代數(shù)的基本定理：連續(xù)線性可乘