1、第18、19課時 周一、周二2010-3-22、23 課題：1.5 定積分的概念三維目標：知識與技能：通過求曲邊梯形的面積和變速直線運動的路程，了解定積分的背景；借助于幾何直觀體會定積分的基本思想，了解定積分的概念，能用定積分法求簡單的定積分3.理解掌握定積分的幾何意義和性質；過程與方法：通過問題的探究體會逼近、以直代曲的數學思想方法。情感態(tài)度與價值觀：通過分割、逼近的觀點體會定積分的來歷，使學生從本質上理解定積分的幾何意義，從而激發(fā)學生學習數學的興趣。教學重點：定積分的概念、用定義求簡單的定積分、定積分的幾何意義教學難點：定積分的概念、定積分的幾何意義教學過程：一創(chuàng)設情景問題：我們在小學、初

2、中就學習過求平面圖形面積的問題。有的是規(guī)則的平面圖形，但現實生活中更多的是不規(guī)則的平面圖形。對于不規(guī)則的圖形我們該如何求面積？比如浙江省的國土面積。此問題在學生九年級中已有涉及，在九年級時學生了解過以下求不規(guī)則面積的方法：方法1 將圖形放在坐標紙上，也即將圖形分割，看它有多少個“單位面積”。方法2 將圖形從內外兩個方面用規(guī)則圖形(或規(guī)則圖形的組合)逼近。方法3 將這塊圖形用一個正方形圍住，然后隨機地向正方形內扔“點”(如小石子等小顆粒)，當點數P足夠大時，統(tǒng)計落入不規(guī)則圖形中的點數A，則圖形的面積與正方形面積的比約為。方法4“稱量”面積：在正方形區(qū)域內均勻鋪滿一層細沙，分別稱得重量是P(正方形

3、區(qū)域內細沙重)、A(所求圖形內細沙重)，則所求圖形的面積與正方形面積的比是重量之比。二合作探究問題一 曲邊梯形的面積 如圖，陰影部分類似于一個梯形，但有一邊是曲線的一段，我們把由直線和曲線所圍成的圖形稱為曲邊梯形如何計算這個曲邊梯形的面積？ 探究1：分割，怎樣分割？分割成多少個？分成怎樣的形狀？有幾種方案？ （分割）提出自己的看法，同伴之間進行交流。探究2：采用哪種好？把分割的幾何圖形變?yōu)榇鷶档氖阶?。（近似代替）、（求和）寫出面積求和式。老師巡視，給予指導，即時糾正學生中的運算錯誤。及時實物投影比較三種求和式的優(yōu)劣，規(guī)定近似代替的原則。探究3：如何用數學的形式表達分割的幾何圖形越來越多？ （取

4、極限）寫出分割無限多時，相應的數學含義。 探究4：采用過剩求和與不足求和所得到的結果一樣，其意義是什么？（夾逼定理的意義）思考：（1）曲邊梯形與“直邊圖形”的區(qū)別？ （2）能否將求這個曲邊梯形面積S的問題轉化為求“直邊圖形”面積的問題？分析：曲邊梯形與“直邊圖形”的主要區(qū)別：曲邊梯形有一邊是曲線段，“直邊圖形”的所有邊都是直線段“以直代曲”的思想的應用例如：求圖中陰影部分是由拋物線，直線以及軸所圍成的平面圖形的面積S。把區(qū)間分成許多個小區(qū)間，進而把區(qū)邊梯形拆為一些小曲邊梯形，對每個小曲邊梯形“以直代取”，即用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，得到每個小曲邊梯形面積的近似值，對這些近似值求和，

5、就得到曲邊梯形面積的近似值分割越細，面積的近似值就越精確。當分割無限變細時，這個近似值就無限逼近所求曲邊梯形的面積S也即：用劃歸為計算矩形面積和逼近的思想方法求出曲邊梯形的面積解：（1）分割在區(qū)間上等間隔地插入個點，將區(qū)間等分成個小區(qū)間： ， 記第個區(qū)間為，其長度為分別過上述個分點作軸的垂線，從而得到個小曲邊梯形，他們的面積分別記作： ， 顯然，（2）近似代替記，如圖所示，當很大，即很小時，在區(qū)間上，可以認為函數的值變化很小，近似的等于一個常數，不妨認為它近似的等于左端點處的函數值，從圖形上看，就是用平行于軸的直線段近似的代替小曲邊梯形的曲邊（如圖）這樣，在區(qū)間上，用小矩形的面積近似的代替，即

6、在局部范圍內“以直代取”，則有 （3）求和由，上圖中陰影部分的面積為= = = = 從而得到的近似值= （4）取極限分別將區(qū)間等分8，16，20，等份（如圖），可以看到，當趨向于無窮大時，即趨向于0時，趨向于，從而有從數值上看出這一變化趨勢： 問題：如果不是在區(qū)間的兩個端點取，而是在每一個區(qū)間中間取任意一點作為高，會有怎樣的結果？求曲邊梯形面積的四個步驟:第一步：分割在區(qū)間中任意插入各分點，將它們等分成個小區(qū)間，區(qū)間的長度，第二步：近似代替?！耙灾贝　保镁匦蔚拿娣e近似代替小曲邊梯形的面積，求出每個小曲邊梯形面積的近似值第三步：求和第四步：取極限。（說明：最后所得曲邊形的面積不是近似值，而是

7、真實值）問題二 汽車行駛的路程 汽車以速度組勻速直線運動時，經過時間所行駛的路程為如果汽車作變速直線運動，在時刻的速度為（單位：km/h），那么它在01(單位：h)這段時間內行駛的路程（單位：km）是多少？分析：與求曲邊梯形面積類似，采取“以不變代變”的方法，把求勻變速直線運動的路程問題，化歸為勻速直線運動的路程問題把區(qū)間分成個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上，由于的變化很小，可以近似的看作汽車作于速直線運動，從而求得汽車在每個小區(qū)間上行駛路程的近似值，在求和得（單位：km）的近似值，最后讓趨緊于無窮大就得到（單位：km）的精確值（思想：用化歸為各個小區(qū)間上勻速直線運動路程和無限逼近的思想方法求出勻變速

8、直線運動的路程）解：1分割 在時間區(qū)間上等間隔地插入個點，將區(qū)間等分成個小區(qū)間：， 記第個區(qū)間為其長度為 把汽車在時間段，上行駛的路程分別記作：，顯然， （2）近似代替 當很大，即很小時，在區(qū)間上，可以認為函數的值變化很小，近似的等于一個常數，不妨認為它近似的等于左端點處的函數值，從物理意義上看，即使汽車在時間段上的速度變化很小，不妨認為它近似地以時刻處的速度作勻速直線運動，即在局部小范圍內“以勻速代變速”于是用小矩形的面積近似的代替，則有 （3）求和 由得，= = = = 從而得到的近似值= （4）取極限當趨向于無窮大時，即趨向于0時，趨向于，從而有思考 結合求曲邊梯形面積的過程，你認為汽車

9、行駛的路程與由直線和曲線所圍成的曲邊梯形的面積有什么關系？歸納得到 一般地，如果物體做變速直線運動，速度函數為，那么我們也可以采用分割、近似代替、求和、取極限的方法，利用“以不變代變”的方法及無限逼近的思想，求出它在ab內所作的位移問題三 定積分的概念 從前面求曲邊圖形面積以及求變速直線運動路程的過程發(fā)現，它們都可以通過“分割、近似代替、求和、取極限得到解決，且都歸結為求一個特定形式和的極限， 事實上，許多問題都可以歸結為求這種特定形式和的極限定積分的概念 一般地，設函數在區(qū)間上連續(xù)，用分點將區(qū)間等分成個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上取一點，作和式：當）時，上述和式無限接近某個常數，這個常數叫做函數在

10、區(qū)間上的定積分。記為： 即=其中函數叫做 ，叫做 變量，區(qū)間為 區(qū)間，積分 ，積分 。說明：（1）定積分是一個常數 （2）用定義求定積分的一般方法是：分割：等分區(qū)間；近似代替：取點；求和：；取極限：（3）曲邊圖形面積：；變速運動路程定積分的幾何意義 從幾何上看，如果在區(qū)間a,b上的函數連續(xù)且恒有。那么定積分表示由直線（），和曲線所圍成的曲邊梯形的面積。 定積分的性質根據定積分的定義，不難得出定積分的如下性質：性質1 性質2 （其中k是不為0的常數） （定積分的線性性質）性質3 （定積分的線性性質）性質4 （定積分對積分區(qū)間的可加性）說明：推廣： 推廣: 性質解釋：性質4性質1三典例分析例1.利用定積分定義，證明，其中a,b均為常數且a<b.24xyO842例2 用定積分表示陰影部分的面積（不要求計算）例3（1）計算定積分 （2）四鞏固提高1、定積分 （c為常數）的幾何意義是 2、由y=sinx, x=0,x=,y=0所圍成圖形的面積寫成定積分的形式是 3、定積分