1、小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程(三年級(jí))本教程共30講第30講 包含與排除同學(xué)們對(duì)這個(gè)題目可能很陌生，為了搞清楚什么是“包含與排除”，大家先一起回答兩個(gè)問(wèn)題：(1) 兩個(gè)面積都是4厘米2的正方形擺在桌面上(見(jiàn)左下圖)，它們遮蓋住桌面的面積是8厘米2嗎？(2)一個(gè)正方形每條邊上有6個(gè)點(diǎn)(見(jiàn)右上圖)，四條邊上一共有24個(gè)點(diǎn)嗎？聰明的同學(xué)馬上就會(huì)發(fā)現(xiàn)：(1)兩個(gè)正方形的面積和是8厘米2，現(xiàn)在它們有一部分重疊了。因此蓋住桌面的面積應(yīng)當(dāng)從兩個(gè)正方形的面積和中減去重疊的這部分面積，所以蓋住桌面的面積應(yīng)少于8厘米2。(2)四個(gè)角上的點(diǎn)每個(gè)點(diǎn)都在兩條邊上，因此被重復(fù)計(jì)算了，在求四條邊上共有多少點(diǎn)時(shí)，應(yīng)當(dāng)減去重復(fù)計(jì)算的點(diǎn)

2、，所以共有 6×4-4 20(個(gè))點(diǎn)。這兩個(gè)問(wèn)題，在計(jì)算時(shí)，都采用了“去掉”重復(fù)的數(shù)值(面積或個(gè)數(shù))的方法。一般地，若已知A，B，C三部分的數(shù)量(見(jiàn)右圖)，其中C為A，B的重復(fù)部分，則圖中的數(shù)量就等于A B- C。因?yàn)锳，B有互相包含(重復(fù))的部分C，所以，在求A和B合在一起的數(shù)量時(shí)，就要在AB中減去A和B互相包含的部分C。這種方法稱為包含排除法。實(shí)際上，我們前面已經(jīng)遇到過(guò)包含與排除的問(wèn)題。如，第10講“植樹(shù)問(wèn)題”的例3和例4，只不過(guò)那時(shí)我們沒(méi)有明確提出“包含排除法”。例1 把長(zhǎng)38厘米和53厘米的兩根鐵條焊接成一根鐵條。已知焊接部分長(zhǎng)4厘米，焊接后這根鐵條有多長(zhǎng)？解：因?yàn)楹附硬糠譃?/p>

3、兩根鐵條的重合部分，所以，由包含排除法知，焊接后這根鐵條長(zhǎng)38 53- 4 87(厘米)。例2某小學(xué)三年級(jí)四班，參加語(yǔ)文興趣小組的有28人，參加數(shù)學(xué)興趣小組的有29人，有12人兩個(gè)小組都參加。這個(gè)班有多少人參加了語(yǔ)文或數(shù)學(xué)興趣小組？分析與解：如上頁(yè)左下圖所示，A圓表示參加語(yǔ)文興趣小組的人，B圓表示參加數(shù)學(xué)興趣小組的人，A與B重合的部分(陰影部分)表示同時(shí)參加兩個(gè)小組的人。圖中A圓不含陰影的部分表示只參加語(yǔ)文興趣小組未參加數(shù)學(xué)興趣小組的人，有28-1216(人)；圖中B圓不含陰影的部分表示只參加數(shù)學(xué)興趣小組未參加語(yǔ)文興趣小組的人，有29-1217(人)(見(jiàn)上頁(yè)右下圖)。由此得到參加語(yǔ)文或數(shù)學(xué)興趣

4、小組的有16 12 17 45(人)。根據(jù)包含排除法，直接可得28 29- 12 45(人)。例3 某班共有46人，參加美術(shù)小組的有12人，參加音樂(lè)小組的有23人，有5人兩個(gè)小組都參加了。這個(gè)班既沒(méi)參加美術(shù)小組也沒(méi)參加音樂(lè)小組的有多少人？分析與解：與例2對(duì)比，本例已知全班總?cè)藬?shù)，如果能仿照例2求出參加了美術(shù)或音樂(lè)小組的人數(shù)，那么只需用全班總?cè)藬?shù)減去這個(gè)人數(shù)，就得到所求的人數(shù)。根據(jù)包含排除法知，該班至少參加了一個(gè)小組的總?cè)藬?shù)為12 23- 5 30(人)。所以，該班未參加美術(shù)或音樂(lè)小組的人數(shù)是46-30=16(人)。綜合列式為46- ( 12 23- 5) 16(人)。例4 三年級(jí)科技活動(dòng)組共有

5、63人。在一次剪貼汽車模型和裝配飛機(jī)模型的定時(shí)科技活動(dòng)比賽中，老師到時(shí)清點(diǎn)發(fā)現(xiàn)：剪貼好一輛汽車模型的同學(xué)有42人，裝配好一架飛機(jī)模型的同學(xué)有34人。每個(gè)同學(xué)都至少完成了一項(xiàng)活動(dòng)。問(wèn)：同時(shí)完成這兩項(xiàng)活動(dòng)的同學(xué)有多少人？分析與解：因423476，7663，所以必有人同時(shí)完成了這兩項(xiàng)活動(dòng)。由于每個(gè)同學(xué)都至少完成了一項(xiàng)活動(dòng)，根據(jù)包含排除法知，4234-(完成了兩項(xiàng)活動(dòng)的人數(shù))=全組人數(shù)，即76-(完成了兩項(xiàng)活動(dòng)的人數(shù))63。由減法運(yùn)算法則知，完成兩項(xiàng)活動(dòng)的人數(shù)為76-6313(人)。例5 在前100個(gè)自然數(shù)中，能被2或3整除的數(shù)有多少個(gè)？分析與解：如右圖所示，A圓內(nèi)是前100個(gè)自然數(shù)中所有能被2整除的

6、數(shù)，B圓內(nèi)是前100個(gè)自然數(shù)中所有能被3整除的數(shù)，C為前100個(gè)自然數(shù)中既能被2整除也能被3整除的數(shù)。前100個(gè)自然數(shù)中能被2整除的數(shù)有100÷2=50(個(gè))。由 100÷3 33 1知，前 100個(gè)自然數(shù)中能被 3整除的數(shù)有 33個(gè)。由 100÷(2×3) 164知，前 100個(gè)自然數(shù)中既能被2整除也能被3整除的數(shù)有16個(gè)。所以A中有50個(gè)數(shù)，B中有33個(gè)數(shù)，C中有16個(gè)數(shù)。因?yàn)锳，B都包含C，根據(jù)包含排除法得到，能被2或3整除的數(shù)有50 33- 16 67(個(gè))。 練習(xí)301.三年級(jí)四班組織了一次象棋和軍棋的棋類比賽，參加象棋比賽的有35人

7、，參加軍棋比賽的有24人，有16人兩項(xiàng)比賽都參加了。這個(gè)班參加棋類比賽的共有多少人？2.某校一個(gè)歌舞表演隊(duì)里，能表演獨(dú)唱的有10人，能表演跳舞的有18人，兩種都能表演的有7人。這個(gè)表演隊(duì)共有多少人能登臺(tái)表演歌舞？3.一班有45人，其中26人參加了數(shù)學(xué)競(jìng)賽，22人參加了作文比賽，12人兩項(xiàng)比賽都參加了。一班有多少人兩項(xiàng)比賽都沒(méi)有參加？4.甲、乙兩家合住在一套單元房里。甲家能夠使用的面積(包括廚房、廁所、走廊等，下同)有56米2，乙家能夠使用的面積有65米2，甲、乙兩家都能使用的面積有30米2。求這套單元的使用面積。5.在自然數(shù)1100中，能被3或5中任一個(gè)整除的數(shù)有多少個(gè)？6.在自然數(shù)1100中，不能被2，3中任一個(gè)整除的數(shù)有多少個(gè)？答案與提示 練習(xí)301.43人。解：3524-16=43(人)。2.21人。解：1018-7=21(人)。3.9人。解：45-(2622-12)=9(人)。4.91米2。解：5665-30=91(米2)。5.47個(gè)。解： 100÷3=