1、 李微分方程數(shù)值解習題解答1-1 如果，則稱是的駐點（或穩(wěn)定點）.矩陣對稱（不必正定），求證是的駐點的充要條件是：是方程組 的解證明:由的定義與內(nèi)積的性線性性質(zhì),得 必要性:由,得,對于任何,有,由線性代數(shù)結(jié)論知,充分性: 由,對于任何,即是的駐點.1-2補充: 證明的不同的廣義導數(shù)幾乎處處相等.證明:設(shè),為的廣義導數(shù),由廣義導數(shù)的定義可知,對于任意,有兩式相減,得到由變分基本引理,幾乎處處為零,即幾乎處處相等.補充:證明的連續(xù)性條件(1.2.21)證明: 設(shè),由不等式,其中習題:1 設(shè)為的一階廣義導數(shù),試用類似的方法定義的階導數(shù))解:一階廣義導數(shù)的定義,主要是從經(jīng)典導數(shù)經(jīng)過分部積分得到的關(guān)系

2、式來定義,因此可得到如下定義: 對于,若有,使得對于任意的,有則稱有階廣義導數(shù),稱為的階廣義導數(shù),并記注:高階廣義導數(shù)不是通過遞推定義的,可能有高階導數(shù)而沒有低階導數(shù).2.利用的完全性證明是空間.證明:只證的完全性.設(shè)為的基本列,即因此知都是中的基本列(按的范數(shù)).由的完全性,存在,使,以下證明(關(guān)鍵證明)由不等式,有對于任意的,成立由取極限得到即,即,且 故中的基本列是收斂的,是完全的.3.證明非齊次兩點邊值問題證明:邊界條件齊次化令,則滿足齊次邊界條件.滿足的方程為,即對應(yīng)的邊值問題為 (P)由定理知,問題與下列變分問題等價求其中.而而從而則關(guān)于的變分問題等價于:求使得其中4就邊值問題（1

3、.2.28）建立虛功原理解:令,則滿足等價于:應(yīng)用分部積分,還原,于是,邊值問題等價于:求,使得,成立注:形式上與用去乘方程兩端,應(yīng)用分部積分得到的相同.5試建立與邊值問題等價的變分問題.解:取解函數(shù)空間為,對于任意用乘方程兩端,應(yīng)用分部積分,得到而上式為定義,為雙線性形式.變分問題為:求,1-4 1.用方法求邊值問題的第次近似,基函數(shù)解:(1)邊界條件齊次化:令,則滿足齊次邊界條件,且第次近似取為,其中滿足的方程為又由三角函數(shù)的正交性,得到而于是得到最后得到2.在題1中,用代替右邊值條件,是用方法求解相應(yīng)問題的第次近似,證明按收斂到,并估計誤差.證明:對應(yīng)的級數(shù)絕對收斂,由的完全性知極限就是解,其誤差估計為3.就邊值問題(1.2.28)和基函數(shù),寫出方程解:邊界條件齊次化,取, 對應(yīng)的微分方程為對應(yīng)的變分方程為變分方程為取,則方程為取,具體計算, ,即解:得到方程組為特別取,有求解得到其解為Ch2橢圓與拋物型方程有限元法1.1 用線性元求下列邊值問題的數(shù)值解:此題改為解: 取,為未知數(shù).形式的變分方程為,其中,又因此在單元中,應(yīng)用仿射變換(局部坐標)節(jié)點基函數(shù)為取,則計算得代數(shù)方程組為代如求值.取,未知節(jié)點值為,方程為應(yīng)用局部坐標表示,系數(shù)矩陣為取,2.就非齊次第三邊值條件