1、1.6微積分基本定理同步練習(xí)基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練、選擇題（每小題3分，共18分）1.( 2013 江西高考)若S1 =i Xdx，s2=r -dx, S3=f exdx則S1, S2, S3的大小關(guān)系為A. Si <S2<S3B. S2<Si<S3C. S2<S3<SiD. S3<S2<Si【解題指南】根據(jù)微積分基本定理，分別求出S2, S3的值，進(jìn)行比較即可.11【解析】選B.因?yàn)?amp;ax3=(23-13)=<3;a 11 a as2=lnx|：=ln2-ln1=ln2<1； s3=ex| 2=&2- e>3.以 S2&

2、lt;Si<S3.【變式訓(xùn)練】設(shè)anf' xdx, b= x2dx, c1 x3dx,則a,b, c的大小關(guān)系是（）A. c>a>bB. a>b>cC a=b>cD a>c>b【解析】選b=-x3| 0=-B.TX，c=-x4| 0 h.所以 a>b>c.2.（ 2014 東莞高二檢測(cè)）已知積分I ' （kx+1）dx=k,則實(shí)數(shù)k=()A. 2B.- 2【解析】選A.因?yàn)閨 (kx+1)dx=k, Jo所以-所以'k+1=k,所以k=2.2C. 1D.- 1=k.3.下列定積分計(jì)算正確的是（A. Lsinxd

3、x=4JTTC. J H _ 2；dx=ln 一” IT【解析】選C.B.丨2xdx=1D.丨3x2dx=3sin xdx=- cosx| -itx2x 12 dx= | 0=log2e,ln2(Y)dx=(x-lnx)|e=1ln2=ln-223 1|l 3x dx=x | j =2.4. 若| 56x| dxw 2016，則正數(shù)a的最大值為(A. 6B. 56C. 36D.2016【解析】選 A.| 56x| dx=256xdx,=2 xx2| 0=56a2w 2016,2a2w 36, 0<aw 6./X- 1,-1 < X < 1,25. 設(shè) f(x)="丄

4、則匚i f( x) dx=( ax3 1a3A. 1B.C.-2 2D. 2【解析】選C.因?yàn)閒(x)在卜1 , 2上分段連續(xù)，所以f( x) dx=| (x-1)dx+|：dx2=(-x)|2+(-丄)1x2段上定積分再相加,【誤區(qū)警示】對(duì)于分段函數(shù)求積分可根據(jù)定積分的性質(zhì)先求出每- 需注意函數(shù)在對(duì)應(yīng)區(qū)間上的連續(xù)性.6. 定積分 I1 . | x2- 2x| dx等于()A. 1B. 2C. 3D.【解析】選D. |l | /-2x| dx=|(x2-2x)dx+| (2x-Qdx+|(x2- 2x) dx=(3_%2)|心2_*3)|0 (3_%2)|；3334 4 4=+=43 3 3二

5、、填空題(每小題4分，共12分)7. ( 2013 湖南高考)若丨x2dx=9,則常數(shù)T的值為【解題指南】結(jié)合公式f(x)dx=F(b)- F(a)，其中F' (x)=f(x)，來(lái)計(jì)算積分上限值.【解析】x2dx=：=T3=9,所以 T=3.答案：38.已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且So=|(1+2x)dx，則a5+a6=【解析】S10=|(1+2x)dx=(x+x2)| 0=3+9=12.因?yàn)閍n是等差數(shù)列，所以，Sw= 一 - =5( a5+a6)=12,2- 12 所以 a5+a6=.答案：一59.( 2014 長(zhǎng)沙高二檢測(cè))f(x)=sinx+cosx,則丨3f( x)

6、dx=【解析】 丨(sinx+cosx)dx=(- cosx+sinx)|a2兀 2=2.ircos-2+ sin-cos (一 寸)+ sin答案：2【一題多解】因?yàn)?f(x)=sinx+cosx二妙匹7T所以"乜 f(x) dx =- i/gcos黑-I-2Z=-】cos n +-， cos (-;) =-二一 + 二一2 答案：2 三、解答題(每小題10分，共20分)10.計(jì)算下列定積分:xxxX2(1門(mén) _ dx. |(2-1 仆)dx.石+JC【解析】（1） dx=" 三3=（-x）dx=（|x2 一我）|=；：£_ J：-一162 2 1178-+ =

7、-,3 26(2)因?yàn)?y=2-| 1-x|=r2所以 |( 2-| 1-x|) dx- 21 1 2 2=i(1+如+(3-x)dx=(x+2x2)| 0畑+護(hù) 124一3.【拓展提升】巧化簡(jiǎn)求積分在求定積分時(shí)，要對(duì)被積函數(shù)先化簡(jiǎn)、變形后再求定積分，這是求定積分的首要原若不化簡(jiǎn)，可能導(dǎo)致求積分過(guò)于則，特別是被積函數(shù)中含有三角函數(shù)式時(shí)更應(yīng)注意這一點(diǎn),復(fù)雜，或根本無(wú)法求出11.設(shè)f(x)= ax2+bx+c(a*0) , f(1)=4, f，(1)=1, | 'f(x)19dx=，求 f( x).6【解題指南】由題意，求函數(shù)的解析式就是求三個(gè)參數(shù)a，b, c的值，由三個(gè)條件列出ax3 +

8、 |bx2 + ex) R方程組，即可解得.【解析】因?yàn)閒（ 1 ）= 4，所以a+b+c=4，f' (x)=2ax+b,因?yàn)?f，(1)=1,所以 2a+b=1,' f(x)1 119=a+b+c_,3 26由可得a=-1, b=3, c=2, 所以 f（ x）=- x2+3x+2.I能力提升訓(xùn)練 。M分紳M分|、選擇題（每小題4分，共16分）A. 0B. 4C.8D. 16L h f(x) dx 等于1. （ 2014 天津高二檢測(cè)）已知f（x）為偶函數(shù)且f（x）dx=4，則【解析】選C.因?yàn)閒(x)為偶函數(shù),所以在y軸兩側(cè)的圖象對(duì)稱(chēng)所以對(duì)應(yīng)的面積相等所以原式=2 |f(x

9、)dx=2x 4=8.2. 已知二次函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示，則它與 x軸所圍圖形的面積為()A.B. 一C.-532【解題指南】解答本題可先求出函數(shù)解析式，再利用積分求解【解析】選B.根據(jù)函數(shù)的圖象可知二次函數(shù)y=f(x)圖象過(guò)點(diǎn)(-1, 0) , (1, 0) , (0, 1),從而可知二次函數(shù)y=f(x)=- x2+1，所以它與x軸所圍圖形的面積為_(kāi)(-x2+1)dx=【上H5k【變式訓(xùn)練】直線X=, x=與曲線y=sinx, y=cosx圍成平面圖形的面積為 .4 4rSir【解析】直線x= , x=一與曲線y=sinx,4 4y=cosx圍成平面圖形如圖，故圖形的面積為S= L

10、(sinx-cosx) dx5 二=-(cosx+sinx)| 44尸COS X答案：2二_2 13 15 1一3. （2014 濟(jì)南高二檢測(cè)）設(shè)a=|. dx, b= | dx, c=|.dx，則下列關(guān)系式成立的XXX是（）b a cB. < <3 2 5a e b D. < <2 5a3 = ln3, c=(lnx)| 5 =ln5.工b匕A. 一<一<2 3 5e a b C. < <5 2a【解析】選C.因?yàn)椋↖nx） ' =,X所以 a=(lnx)| 2 = ln2, b=( lnx)|因?yàn)?，所?J-"，所以 ln

11、.】 <ln 遷， 所以空<二，所以> ；232 3因?yàn)槎?,，二八二， 所以 ln - ?<ln-二，InS ln2所以<,52c acab所以 < .所以< < .24.( 2014 江西高考)若f(x)= x5 25 2 3f( x) dx，則 1 f(x) dx=()JoA.- 1B.-C.D. 1【解題指南】因?yàn)镮f（x）dx是一個(gè)常數(shù)，所以可根據(jù)微積分基本定理構(gòu)造以I f（x）dx為未知數(shù)的方程，解之可得【解析】選B.f( x) dx=c,則 c=|(x2+2c)dx= .1 ：=_ +2c,解得二、填空題（每小題5分，共10分）5.

12、計(jì)算:(2| x|+ 1)dx=.【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=2|x|+1是偶函數(shù)，所以 |(2|x|+1)dx=2(2x+1)dxJ-2J。=2 X (x2+x)=12.答案：126. 函數(shù)f( x)= sin( 3 x+0 )的導(dǎo)函數(shù)y=F (x)的部分圖象如圖所示，其中，P為圖象與y軸的交點(diǎn)，A, C為圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，B為圖象的最低點(diǎn).(1) 若護(hù)一，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(Oj，則3 =.(2) 若在曲線段ABC與x軸所圍成的區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)在ABC內(nèi)的概率為【解題指南】(1)利用點(diǎn)P在三角函數(shù)的圖象上求 3 .(2)求出三角形面積及曲邊圖形的面積，代入幾何概型公式即得時(shí),次(【解析

13、】(1) y=f' (x)= 3 cos( 3 x+$ )，當(dāng)0 =，點(diǎn)P的坐標(biāo)為Ir 33 c3 cos = ，所以 3 =3.6 2T JT(2)由圖知AC-=,2 a1SaABC= AC 2n3 =,2設(shè)A, C的橫坐標(biāo)分別為a, b.設(shè)曲線段ABC與x軸所圍成的區(qū)域的面積為 S,則S=f(x)dx|=|f(x)|5|=| sin( 3 b+ $ )- sin( 3 a+ )|= 2,由幾何概型知該點(diǎn)在 ABC內(nèi)的概率為P=S 4答案:(1)3(2)，：三、解答題(每小題12分，共24分)7. 已知Si為直線x=0, y=4-tS' =4t2- 4t=4t(t-1),令S

14、' =0得t=0(舍去)或t=1,當(dāng)0<t<1時(shí)，S' <0, s單調(diào)遞減，當(dāng)1<t<2時(shí)，S' >0, S單調(diào)遞增，所以當(dāng)t=1時(shí)，Smin=2.8. 已知 f(x)= I (12t+4a)dt, F(a)=f( x)+ 3a2 dx,求函數(shù) F( a)的最小值.及丫=4-/所圍成圖形的面積，5為直線x=2, y=4-t2及y=4-x2所圍成圖形的面積(t為常數(shù)).(1) 若t=時(shí)，求 S2.(2) 若t (0, 2)，求S1+S2的最小值1.10-2x【解析】(1)當(dāng)t=時(shí)，S2=2-( 4-x2) dx=3=-(蠢 1).(2)

15、t (0, 2)，Si=l( 4-x2)-( 4-12) dx=(t2x-【解題指南】這里函數(shù)f(x), F(a)都是以積分形式給出的，可以先用微積分基本定理求出f (x)與F(a)，再利用二次函數(shù)求出 F(a)的最小值.)| 0=-,(4-12)-( 4-x2) dx1 3 2223=(x3-t2x)| t =-2t2+t3,3-4 B所以 S=0+S2=t3-2t2+,31【解析】因?yàn)?f(x)= I一(12t+4a)dt=(6t2+4at)'2 2 2 2 2(6x2+4ax+a2) dx2=6x2+4ax-( 6a2- 4a2)= 6x2+4ax- 2a2,F(a)= |f(x

16、)+3a2=(2x3+2ax2+a2x) |=2+2a+a=a2+2a+2=( a+1) 2+1 > 1.所以當(dāng)a=-1時(shí)，F(xiàn)( a)的最小值為1.【變式訓(xùn)練】已知函數(shù)f(x)= |t(t-4) dt.(1)若不等式f (x)+2x+2<m在0, 2內(nèi)有解，求實(shí)數(shù) m的取值范圍.若函數(shù)g(x)= f(x)+a-在區(qū)間0, 5上沒(méi)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.=x3- 2X2【解析】(1)因?yàn)?f(x)=丨 t( t- 4) dt= - )1 ._ 所以 fz (x)=x2-4x不等式 f' (x)+2x+2<m可化為 m>x2-2x+2因?yàn)椴坏仁絝' (x)+2x+2<m在0, 2內(nèi)有解, 所以 m>(x2-2x+2)min(x 0, 2).因?yàn)?x2-2x+2=(x-1)2+1,所以當(dāng) x 0, 2時(shí)，(x2-2x+2)min=1 ,所以m>1,所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為(1, +m).