1、1991年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題一、填空題(每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上.)(1) 設(shè) y =1 n(1 +3),則 dy =.2(2) 曲線y的上凸區(qū)間是.3)X質(zhì)點以速度tsin(t2)米每秒作直線運動，則從時刻t1 -秒到t2 = #7秒內(nèi)質(zhì)點所經(jīng)過的路程等于(5)1 r 1 -ex hm01 x一0xex二、選擇題(每小題3分，滿分15分.每小題給岀的四個選項中 字母填在題后的括號內(nèi).),只有一項符合題目要求，把所選項前的(1)若曲線23y =x ax b和2-1 xy在點(1,1)處相切，其中a, b是常數(shù)，則()(A) a= 0,b = -2 (B)

2、a =1,b = -3(C) a-3,b = 1(D) a - -1,b - -1設(shè)函數(shù)x2 0蘭x蘭1f(x) =,記 F(x)2x,1 ex W2,x=j0 f(t)dt,0 蘭 x 蘭 2,則()0遼 x1(B)(A) F (x)T21 x22x ,1x233£F(x)二£,(C) F(x) =232xx2x ,1 ：x2 32設(shè)函數(shù)f (x)在內(nèi)有定義，滄=0是函數(shù)f(x)的極大點，則()(A) x0必是f (x)的駐點(B) -x0必是- f (-X)的極小點27x22x ,1：x2623x亍2(D) F(x)=r1*2(C) _Xo必是-f (x)的極小點(D)

3、對一切x都有f(X)空f(Xo)曲線y =()(A)沒有漸近線(B)僅有水平漸近線(C)僅有鉛直漸近線(D)既有水平漸近線又有鉛直漸近線(5)如圖，X軸上有一線密度為常數(shù),長度為I的細桿，有一質(zhì)量為 m的質(zhì)點到桿右端的距離為a ,已知引力系數(shù)為k,則質(zhì)點和細桿之間引力的大小為()(A):誥嚴(B)04dx0 (a -X)、? kmA2 ；(a x)2dx(D)22*dx0 (a +x)2三、(每小題5分，滿分25分.)x =tcostd2y(1)設(shè)心曲求卅dx4計算 J x(1 x)求limX )0x - sin xx2(eX -1)(4)求 xsin2xdx.(5)求微分方程xy y = x

4、eX滿足y(1) = 1的特解.四、(本題滿分9分)利用導(dǎo)數(shù)證明：當x 1時，有不等式ln(1 x) 匚 成立.ln x 1 + x五、(本題滿分9分)求微分方程 嚴 嚴二x cosx的通解.六、(本題滿分9分)曲線y = (x -1)(x -2)和x軸圍成一平面圖形，求此平面圖形繞 y軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積.七、(本題滿分9分)x2x如圖，A和D分別是曲線y = e和y = e 上的點，AB和DC均垂直x軸，且AB : DC =2:1 , AB cl,求點B和C的橫坐標，使梯形ABCD的面積最大.1991年全國碩、填空題(i)【答案】八、(本題滿分9分)設(shè)函數(shù)f(X)在(-3T.)3兀

5、計算 f (x)dx .)sin x ,且 f (x) = x, x 二0,二),壬一考試數(shù)學(xué)二試題解析(每小題3分，滿分15 分In3-x dx3x 1【解析】由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，即y = (f (x)的微分為dy二(f (x) f (x)dx ,有n3 (-1)dxln 3 ,【答案】('I【解析】求函數(shù) y = f (x)的凹凸區(qū)間,只需求岀y”，若y：0,則函數(shù)圖形為上凹，若丄2y “ : 0,則函數(shù)圖形為上凸，由題可知xx dx. 1 1因為4e»0 ,所以當x20時y*0,函數(shù)圖像上凸，即x2像上凸.故曲線上凸區(qū)間為 (- I, I).【答案】1【解析】用極限法求

6、廣義積分x2x2 22 :：: x ：丄2時，函數(shù)圖2 2y = -2e(-2x)e(_2x)=4e (x-lim (皿丄)1=1.b二 b bim如也b心b11【答案】-2【解析】這是定積分的應(yīng)用設(shè)在t ' dt時刻的速度為t sin(t2),則在dt時間內(nèi)的路程為ds =tsin(t2)dt,所以從時刻1 航 =_-cos(t2)2 苗（5）【答案】-1【解析】這是一個 1-型未定式，分子分母同乘以e 2 ,得Q01 11-e'e -1lim - = lim1x ）0x -0 'x exxe x 11 1為簡化計算，令t,則x,原式可化為xt1 -te x 1e 1

7、01lim y lim t1.x0-t_. e 0 1xe x 11t二、選擇題（每小題3分,滿分15分.）（1）【答案】（D）【解析】兩函數(shù)在某點處相切，則在該點處的切線的斜率相等，即在該點處的導(dǎo)數(shù)相等對兩函數(shù)分別對 x求導(dǎo),得y=2x，a,則該曲線在點（1,-1）處的導(dǎo)數(shù)為y心=2，a.2y 二y3 3xy2y ,即 y 二3y2 -3xy2,則曲線在點（1,-1）處的導(dǎo)數(shù)為兩導(dǎo)數(shù)相等，有2 a =1,即a = -1.(-1)322 -3 1 (-1)又因為曲線 y =x2 ax b 過點（1,T）,所以有 一1 =1 a b =1 -1 b 二b,b 二-1. 所以選項（D）正確.【答案

8、】（B）【解析】這是分段函數(shù)求定積分.f (x) = x2,所以 F (x)=1x3當 1 ： x 空 2時，f （x） = 2 -x,所以1二11(cos二-cos)(-1-0)2 222 2x -1x2上1 +ex +1lim y = lim - = lim -71,所以y=1為水平漸近線.x譏：x亦：1 _eX譏：ex _1所以選(D).【相關(guān)知識點】鉛直漸近線：如函數(shù) y = f (x)在其間斷點x = x0處有l(wèi)im f (x)=,則x = x0是函 -M。數(shù)的一條鉛直漸近線；水平漸近線：當lim_ f (x) = a,(a為常數(shù))，則y = a為函數(shù)的水平漸近線 (5)【答案】(A

9、)【解析】如圖建立坐標系，則X x dx中，dx長度的細桿的質(zhì)量為 丄dx,與質(zhì)點的距離為 a-x,0蘭x蘭13所以F(x)=彳32,應(yīng)選(B).7x 2 ._2x ,1 ： x _ 2 62【答案】(B)【解析】方法一：用排除法.由于不可導(dǎo)點也可取極值，如f(x) = -X-1,在x0=1處取極大值，但是x0=1不是f ( X)- - x -1的駐點，所以(A)不正確；注意到極值的局部性，即極值不是最值，所以(D)也不正確；對于f(X)=-|X-1|,在X。=1處取極大值，但- X。- -1并非是-f(X)=|X-1|的極小值點，所 以(C)也不成立；故選(B).方法二：證明(B)是正確的，

10、因為X。= 0 ,不妨設(shè)Xo 0,則f(X。)為極大值，則在X。的某個領(lǐng)域內(nèi)有f(Xo)f(X。_ ：X)；函數(shù)y二-f(-x)與函數(shù)y = f(x)關(guān)于原點對稱，所以必有f (X。)： - f (-X。二' x),即在-x0的某個領(lǐng)域內(nèi)- f ( -X。)為極小值，故(B)是正確的【答案】(D)【解析】函數(shù)的定義域為X =。，所以函數(shù)的間斷點為 X =0,2 21+eex +1lim y = limr = lim 2,所以x =。為鉛直漸近線x。'xt 1 _e xp ex _10 kmLdx'故選(A)-故兩點間的引力為 dF二如2,積分得F(a x)同理應(yīng)用微元法

11、可知，若以I的中點為原點,則質(zhì)點的坐標為(a 丄,0),故212丄 l2 (a x)2-dx ；2若以I的左端點為原點，則質(zhì)點的坐標為(a I,0),故Fl kmJ ,2 dx .(a l - x)故(B)、(C)、(D)均不正確，應(yīng)選(A). 三、(每小題5分,滿分25分.)(1)dydx【解析】這是個函數(shù)的參數(shù)方程_ dy / dt _ sin t tcost dx / dt cost -tsin t2 t2(cost -tsint)3【相關(guān)知識點】參數(shù)方程所確定函數(shù)的微分法:如果x(t),則屯= ly=d(t)dx収(t)【解析】用換元法求定積分令 t = x ,則 x 二 t2, dx

12、 二 2tdt ,則-ln1) =2ln 4 2【解析】利用等價無窮小和洛必達法則當Xr 0時，有sin xx,exL 1 x ,所以limH比才向于酸洛lim1x 0 x2(ex -1) x 0x3x 幻于=lim3x2x a2 x2sin 23x2=limx )0 3x【解析】用分部積分法求不定積分121小1x xsin 2x cos2x C .(5)【解析】所給方程是一階線性方程ex.通解為1x1xx1xx(xde - C) (xe - e dx C) (xe -e C).X 'XLX1x _ 1代入初始條件y(1)=1得C=：1,所以特解為yex.x x【相關(guān)知識點】一階線性非

13、齊次微分方程申 p(x)y =q(x)的通解為< P(x)dx( q(x)eP(x)dxdx C),其中 C 為常數(shù).四、(本題滿分9分)【解析】首先應(yīng)簡化不等式，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律.當 x 1 時,原不等式即(1 x)ln(1 x) . xln x,即(1 x)ln(1 x) xln x . 0.證法一：令f (x) =(1 x)ln(1 x) - xln x ,則只需證明在 x 1時f (x) 0即可，可利用函數(shù)的單調(diào)性證明，對于f(x)有x +1 f (x)=ln(1 x) 1lnx1=ln( ).xX +1 因x 1,故1,即f (x) O所以在(1,七)上f(x)是嚴格遞增函數(shù)，所以

14、xf (x) f (1)=2ln 20,故(1 x)ln(1x)-xlnx 0,所以當x 1時，有不等式ln(1 x) L 成立.ln x 1 + x證法二：當x 1時,原不等式即(1 x)l n(1 x) xl nx,不等式左右兩端形式一致，故令f (x) = xln x ,則 f (x) = ln x 10(x1),所以 f ( x) = x ln x在 x 1 時嚴格單調(diào)遞增，故f (x 1) f (x)，即(1 x)l n(1x) xl nx.所以當x 1時,有不等式ln(1 x) 二成立.ln x 1 +x五、(本題滿分9分)【解析】微分方程 y ' y = x cosx對應(yīng)

15、的齊次方程 y ： y = 0的特征方程為r 2 1 = 0 ,特征根為1,2 = ±i,故對應(yīng)齊次通解為 G cosx +C2sin x .方程y y = x必有特解為Y1二ax，b ,代入方程可得a = 1,b = 0 .方程y ' y =cosx的右端 ex cos ： x二cosx，二 -1 = i為特征根，必有特解1 Y2 = x Acosx x Bsin x ,代入方程可得 A = 0, B2Y 由疊加原理，原方程必有特解 丫 =丫 +丫2 =x + _sin x.2、 1所以原方程的通解為y = G cosx C2sin x xxsin x.2【相關(guān)知識點】關(guān)于

16、微分方程特解的求法如果f(x)二Pm(x)ex,則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y p(x)yq(x)y二f(x)具有形如y* =xkQm(x)eX的特解，其中Qm(x)與Pm(x)同次(m次)的多項式，而k按九不是特征方程的根、是特征方程的單根或是特征方程的重根依次取為0、 1或2.如果f (x) =eXp(x)cosBx + Pn(x)sin bx,則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y p(x)y q(x)y = f (x)的特解可設(shè)為y* =xkeKRm)(x)coscox +瓷)(x)sin cox,其中Rm)(x)與R常(x)是m次多項式，m = max J, n?,而k按 r (或-i

17、)不是特征方程的根、或是特征方程的單根依次取為0或1.六、(本題滿分9分)【解析】利用定積分求旋轉(zhuǎn)體的體積，用微元法，曲線為一拋物線，與x軸的交點是 捲=1,一 31x2 = 2,頂點坐標為(一，).2 4方法一：考慮對x積分，如圖中陰影部分繞 y軸旋轉(zhuǎn)一周，環(huán)柱體的體積為2其中dx為dx； 0的高階無窮小，故可省略，且y為負的，故 y = y,即 dV = 2兀xydx = -2兀x(x 1)(x 2)dx .把x從1-； 2積分得-_2=2-(0 丄)=42方法二：考慮對y的積分，如圖中陰影部分繞 y軸旋轉(zhuǎn)一周的體積為拋物線兩半曲線分別繞y軸旋轉(zhuǎn)一周后的體積差，即其中，捲，x2為Y二y與拋

18、物線的交點，且x2x!,把丫 = y代入拋物線方程 y = (x - 1)(x - 2),解得3 - ；1 4y 3；1 4y人，X2022故旋轉(zhuǎn)體體積為 V(x2 -x-i )dy.把x-i ,x2的值代入化簡，得'4i 4 324V = ；3二.1 4ydy 斗 |(1 4y)2七、(本題滿分9分)【解析】可以利用函數(shù)的極值求解C的橫坐標分別為xi,x,因為I AB卜：1,所以Xi :： 0, x 0.依題設(shè)AB : DC= 2:1,所以有e51 =2e'x,兩邊同時取自然對數(shù)，得xln2-2x,而 BC=x-(ln2-2x)=3x-ln2,(x0),所以梯形ABCD的面積為S(ex e°x)(3x -In 2)=丄(2尹 e)(3x_l n2)(3x-l n2)e'x.2 2 23求函數(shù)S (3x - In 2)e'x,( x 0