1、題目： Taylor定理的妙用 郭威 PB07210203摘要： 分析了Taylor公式的產(chǎn)生以及Taylor定理在高等數(shù)學(xué)（尤其是一元微分?jǐn)?shù)學(xué)）以及線性代數(shù)中的應(yīng)用，揭示出它極其重要的地位。正文： 在分析函數(shù)的某些局部性質(zhì)時(shí)，通常是在這個(gè)局部范圍內(nèi)，用一些構(gòu)造簡(jiǎn)單函數(shù)去近似代替比較復(fù)雜的函數(shù)，以簡(jiǎn)化所研究的問題。而多項(xiàng)式是結(jié)構(gòu)最簡(jiǎn)單的一種函數(shù)。這是因?yàn)橛?jì)算一個(gè)多項(xiàng)式的值只要進(jìn)行加法和乘法兩種運(yùn)算。因此，作為構(gòu)造簡(jiǎn)單的函數(shù)自然首先應(yīng)該選取多項(xiàng)式。于是就得了著名的Taylor公式：，它被稱為函數(shù)在點(diǎn)的階Taylor多項(xiàng)式。而Taylor定理即為：其中：稱（1）為Taylor展開的Peano余項(xiàng)，

2、稱（2）為L(zhǎng)egrange余項(xiàng)。如果在Taylor公式中令，便得到，其中，且易知，這是Taylor公式一個(gè)極為重要的特殊情形，稱為Maclaurin公式。Taylor公式，Taylor定理的應(yīng)用十分廣泛，大概可以分為以下幾類，先從Maclaurin公式說起。一、求函數(shù)的泰勒展開式1、 求函數(shù)的帶Peano余項(xiàng)的泰勒展開式（Maclaurin 展開式）例、求函數(shù)的Maclaurin 展開式 解：由于在處有任意階的導(dǎo)數(shù)，所以 ，其中。擺在我們面前的首要問題是如何簡(jiǎn)便地把算出來。由得出；由，得出。在恒等式的兩邊，對(duì)求階導(dǎo)數(shù)，利用Leibniz公式，得 將代入上式，得到 因?yàn)?，所以立即得到其中代入原?/p>

3、，便得出即同理還可以計(jì)算出的Maclaurin展開式。 但是，Peano余項(xiàng)的Taylor定理只適合于研究函數(shù)在一個(gè)給定的點(diǎn)近旁的近似行為，而不便于討論函數(shù)在大范圍內(nèi)的性質(zhì)。為了克服這一缺點(diǎn)，需要將余項(xiàng)“量化”，從而便引入了Lagrange型的余項(xiàng)。2、 求函數(shù)帶Lagrange型余項(xiàng)的Taylor展開式（Maclaurin展開式）例. 求在點(diǎn)的Taylor展開式 解：由于，于是的Maclaurin展開式中，將換成，就得到其中 盡管連帶Peano余項(xiàng)的Taylor公式對(duì)沒有定量估計(jì)，只有定性了解，即當(dāng)時(shí)，它是比更高級(jí)的無窮小，但可依據(jù)這點(diǎn)來求極限。二、用帶Peano型余項(xiàng)的Taylor公式求極

4、限例1、 求先看分母其中因此原極限等價(jià)于因?yàn)?= 原極限= 用Lhospital法則也可解此題，但需要連續(xù)三次使用該法則，不如這里的辦法直接。例2、 求解：設(shè)兩邊取對(duì)數(shù)，得利用等式，得根據(jù)可得 = = =于是 =因而從而例3、設(shè) 且，證明證：因，所以帶Peano余項(xiàng)的Taylor公式將此公式與題給等式相比較，得即 = 則= 故 = 因?yàn)?，故證明Taylor定理Lagrange余項(xiàng)時(shí)所用方法與Lagrange定理類似。的確，Taylor公式是Lagrange中值公式的一個(gè)重要的推廣。在Taylor公式中，只須令n=0，便可得到中值公式。因此Taylor定理的適用范圍要比中值定理更加廣泛。在遇到已

5、知函數(shù)可導(dǎo)的階數(shù)較高（常是二階或二階以上），同時(shí)還給出若干個(gè)已知點(diǎn)的函數(shù)值或?qū)?shù)值。常選已知函數(shù)值或一階導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)作為展開點(diǎn)（這樣可使一階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)消失）。然后再將已知函數(shù)值的各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入展開式，進(jìn)行運(yùn)算，最后利用介值定理或零值定理證明。歸納一下，有以下幾道例題。三證明含高階導(dǎo)函數(shù)的中值命題例1. 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間-1，1上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且,證明：在開區(qū)間（-1，1）至少存在一點(diǎn)，使=3.證：由于，將在處展開，由于Maclaurin公式得=+ + (0，) 將和分別代入上式，得+ - ，-1<<0+ + , 0<<1兩式相減，可得+=6設(shè)和m分別是在，上的最大值和

6、最小值，顯然有，m+再由連續(xù)函數(shù)的介值定理知，至少存在一點(diǎn)，（-1，1）使=+=3例2、設(shè)在區(qū)間-a,a(a>0)上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，(1) 寫出的帶Lagrange余項(xiàng)的一階Maclaurin公式(2) 證明在-a,a上至少存在一點(diǎn)，使a3=3解：(1)由于有，將在處展開，對(duì)任意-a,a，有 +=+, 0, (2) =+ =因?yàn)樵?a,a上連續(xù)，故對(duì)任意的-a,a,有mM，其中M, m分別為在-a,a上的最大值與最小值，由上式，得=mm=M 即 mM因在-a,a上連續(xù)，由介值定理知，至少存在一點(diǎn)-a,a使= 即 =3此外，Taylor還可用于證明不等式，尤其是在能給出或能推知函數(shù)在某點(diǎn)

7、的函數(shù)值f()及在該點(diǎn)的低導(dǎo)數(shù)值，Taylor定理發(fā)揮的威力更加顯著。四、用Taylor公式證明不等式我們來看以下幾個(gè)例子：例1、設(shè)在區(qū)間a,b上>0,試證對(duì)于a,b中的任意點(diǎn). ，恒有，其中，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)=.= 時(shí)成立。證：設(shè)=，據(jù)Taylor定理，有=+2+0<<0, =1.2n因?yàn)?x)>0,故+ =1.2n當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，“=”成立，于是+.+ +(+.+ -)=即得 例2、設(shè)在0，1上二階可導(dǎo)，且f(0)=f(1)=0, =-1，證明：（0，1），使8證：因?yàn)樵?,1上連續(xù)，必取到最小值，設(shè)=顯然（0，1），因?yàn)榭蓪?dǎo)，故=0 （Fermat定理）再由在點(diǎn)一階T

8、aylor公式，=+2 =+2 若0<,由 =8 （0<<）若<<1,由=8 （<<1）綜上，（0，1），使8例3、設(shè)在0,1上二階可導(dǎo)，且=，1，求證：<1證：設(shè)為在（0，1）內(nèi)取得最大值的一點(diǎn)，則=0，且=，由一階Taylor公式，有=+，則 =+ =+ （0<<a<1） =+ =+ (0<<a<1)于是得 + +因此 +=如同求， ，可將在處展成Taylor展開式，利用展開式的唯一型等方法求解。五、同求同一點(diǎn)的不同階的導(dǎo)數(shù)值。例1、 設(shè)在原點(diǎn)的鄰域內(nèi)二階可導(dǎo)，且=，求，以及解：對(duì)原式兩邊取對(duì)數(shù)，得即而，知

9、因而由上式得到 即其中是時(shí)的無窮少。從而有另一方面有由Taylor展開的唯一性，有，最后例2、設(shè)在原點(diǎn)的鄰域內(nèi)二階可導(dǎo)，且， 求，并計(jì)算極限 解： = = 因而有 即 而= = Taylor定理，Taylor展開在高等數(shù)學(xué)、微積分的一元微分學(xué)中有很多妙用，而且，它在解決線性代數(shù)中的某些問題也同樣功不可沒。來看一個(gè)例子。六、用Taylor展開解決線性代數(shù)中的問題 例. 設(shè)方陣A=，求方陣B滿足條件=A 解：我們?nèi)菀卓闯觯篈=I+N,其中N=滿足條件=0由的Taylor展開式 = = 知道 其中是某個(gè)多項(xiàng)式，將代入可知N=B=則易驗(yàn)證=A最后，再來回顧一下：在一個(gè)給定點(diǎn)的近旁，將函數(shù)近似的利用多項(xiàng)式來代替，因此Taylor定理成為研究函數(shù)在一點(diǎn)近旁的行為的有力工具，這也是它最重要作用。利用帶Peano余項(xiàng)的Taylor定理，可以很方便地計(jì)算許多“不定型”的極限，可以比較徹底地研究函數(shù)的極值。帶Lagrange余項(xiàng)的Taylor定理，可以從理論上討論函數(shù)的單調(diào)性、凸性，由此可以證明一些不等式。既可以利用Taylor定理來計(jì)算函數(shù)在一點(diǎn)上的近似值，也可以在整體上（即在一個(gè)區(qū)間上）用多項(xiàng)式來逼近一個(gè)比較復(fù)雜的函數(shù)，同時(shí)還可以進(jìn)行誤差估計(jì)，唯一需要保證的就是函數(shù)必須在一定范圍內(nèi)有適當(dāng)高階的導(dǎo)函數(shù)。參考文獻(xiàn)1、高等數(shù)學(xué)導(dǎo)論上冊(cè)中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)高等數(shù)學(xué)研究