1、第五講 線性代數(shù)中的數(shù)值計(jì)算問題【引引 例例 】求下列三階線性代數(shù)方程組的近似解5426255452321321321xxxxxxxxxMATLAB程序?yàn)椋篈=2 -5 4;1 5 -2;-1 2 4；b=5;6;5；x=Ab在MATLAB命令窗口，先輸入下列命令構(gòu)造系數(shù)矩陣A和右端向量b：A=2 -5 4;1 5 -2;-1 2 4A = 2 -5 4 1 5 -2 -1 2 4b=5;6;5b = 5 6 5然后只需輸入命令x=Ab即可求得解x：x=Abx = 2.7674 1.1860 1.3488一、 特殊矩陣的實(shí)現(xiàn)1.零矩陣零矩陣:所有元素值為零的矩陣稱為零矩陣。零矩陣可以用zero

2、s函數(shù)實(shí)現(xiàn)。zeros是MATLAB內(nèi)部函數(shù)，使用格式如下：zeros(m)：產(chǎn)生m m階零矩陣；zeros(m,n)：產(chǎn)生m n階零矩陣，當(dāng)m=n時(shí)等同于zeros(m)；zeros(size(A)：產(chǎn)生與矩陣A同樣大小的零矩陣。一、 特殊矩陣的實(shí)現(xiàn)常見的特殊矩陣有零矩陣、幺矩陣、單位矩陣、三角形矩陣等，這類特殊矩陣在線性代數(shù)中具有通用性；還有一類特殊矩陣在專門學(xué)科中有用，如有名的希爾伯特(Hilbert)矩陣、范德蒙(Vandermonde) 矩陣等。2.幺矩陣幺矩陣:所有元素值為1的矩陣稱為幺矩陣。幺矩陣可以用ones函數(shù)實(shí)現(xiàn)。它的調(diào)用格式與zeros函數(shù)一樣。【例例1 1】 試用one

3、s分別建立32階幺矩陣、和與前例矩陣A同樣大小的幺矩陣。用ones(3,2) 建立一個3 2階幺陣：ones(3,2) % 一個32階幺陣ans =1 1 1 1 1 1一、 特殊矩陣的實(shí)現(xiàn)3.單位矩陣單位矩陣:主對角線的元素值為1、其余元素值為0的矩陣稱為單位矩陣。它可以用MATLAB內(nèi)部函數(shù)eye建立，使用格式與zeros相同。4.數(shù)量矩陣數(shù)量矩陣:主對角線的元素值為一常數(shù)d、其余元素值為0的矩陣稱為數(shù)量矩陣。顯然，當(dāng)d=1時(shí)，即為單位矩陣，故數(shù)量矩陣可以用eye(m)*d或eye(m,n)*d建立。一、 特殊矩陣的實(shí)現(xiàn)5.對角陣對角陣:對角線的元素值為常數(shù)、其余元素值為0的矩陣稱為對角陣

4、。我們可以通過MATLAB內(nèi)部函數(shù)diag，利用一個向量構(gòu)成對角陣；或從矩陣中提取某對角線構(gòu)成一個向量。使用格式為diag(V)和diag(V,k)兩種。6.用一個向量V構(gòu)成一個對角陣設(shè)V為具有m個元素的向量，diag(V)將產(chǎn)生一個mm階對角陣，其主對角線的元素值即為向量的元素值；diag(V,k)將產(chǎn)生一個nn(n=m+|k|，k為一整數(shù))階對角陣，其第k條對角線的元素值即為向量的元素值。注意：當(dāng)k0，則該對角線位于主對角線的上方第k條；當(dāng)k0，該對角線位于主對角線的下方第|k|條；當(dāng)k=0，則等同于diag(V)。用diag建立的對角陣必是方陣。一、 特殊矩陣的實(shí)現(xiàn)【例例2 2】已知向量

5、v，試建立以向量v作為主對角線的對角陣A；建立分別以向量v作為主對角線兩側(cè)的對角線的對角陣B和C。MATLAB程序如下：v =1;2;3; % 建立一個已知的向量AA=diag(v)A= 1 0 0 0 2 0 0 0 3B=diag(v,1)B = 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0C=diag(v,-1)C = 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 % 按各種對角線情況構(gòu)成相應(yīng)的對角陣A、B和C一、 特殊矩陣的實(shí)現(xiàn)7.從矩陣中提取某對角線我們也可以用diag從矩陣中提取某對角線構(gòu)成一個向量。設(shè)A為m n階矩陣，diag(A)將從矩陣A中提取

6、其主對角線產(chǎn)生一個具有min(m,n)個元素的向量。diag(A,k)的功能是：當(dāng)k0，則將從矩陣A中提取位于主對角線的上方第k條對角線構(gòu)成一個具有n-k個元素的向量；當(dāng)k0，則將從矩陣A中提取位于主對角線的下方第|k|條對角線構(gòu)成一個具有m+k個元素的向量；當(dāng)k=0，則等同于diag(A)。一、 特殊矩陣的實(shí)現(xiàn)【例例3 3】 已知矩陣A，試從矩陣A分別提取主對角線及它兩側(cè)的對角線構(gòu)成向量B、C和D。MATLAB程序如下：A=1 2 3;4 5 6; % 建立一個已知的23階矩陣A% 按各種對角線情況構(gòu)成向量B、C和DB=diag(A)B = 1 5C=diag(A,1)C = 2 6D=di

7、ag(A,-1)D = 4一、 特殊矩陣的實(shí)現(xiàn)8.上三角陣：使用格式為triu(A)、triu(A,k)設(shè)A為mn階矩陣，triu(A)將從矩陣A中提取主對角線之上的上三角部分構(gòu)成一個m n階上三角陣；triu(A,k)將從矩陣A中提取主對角線第|k|條對角線之上的上三角部分構(gòu)成一個mn階上三角陣。注意：這里的k與diag(A,k)的用法類似，當(dāng)k0，則該對角線位于主對角線的上方第k條；當(dāng)k0，該對角線位于主對角線的下方第|k|條；當(dāng)k=0，則等同于triu (A)一、 特殊矩陣的實(shí)現(xiàn)【例例4 4】試分別用triu(A)、triu(A,1)和、triu(A,-1)從矩陣A提取相應(yīng)的上三角部分構(gòu)

8、成上三角陣B、C和D。MATLAB程序如下：A=1 2 3;4 5 6;7 8 9;9 8 7; % 一個已知的43階矩陣A% 構(gòu)成各種情況的上三角陣B、C和DB=triu(A)B = 1 2 3 0 5 6 0 0 9 0 0 0C=triu(A,1)D=triu(A,-1)一、 特殊矩陣的實(shí)現(xiàn)9.下三角陣：使用格式為tril(A)、tril(A,k)tril的功能是從矩陣A中提取下三角部分構(gòu)成下三角陣。用法與triu相同。10.空矩陣空矩陣在MATLAB里，把行數(shù)、列數(shù)為零的矩陣定義為空矩陣。空矩陣在數(shù)學(xué)意義上講是空的，但在MATLAB里確是很有用的。例如A=0.1 0.2 0.3;0.4

9、 0.5 0.6;B=find(A1.0)B = 這里 是空矩陣的符號，B=find(A1.0)表示列出矩陣A中值大于1.0的元素的序號。當(dāng)不能滿足括號中的條件時(shí)，返回空矩陣。另外，也可以將空矩陣賦給一個變量，如：B= B = 一、 特殊矩陣的實(shí)現(xiàn)二、矩陣的特征值 與特征向量對于NN階方陣A，所謂A的特征值問題是：求數(shù)和N維非零向量x（通常為復(fù)數(shù)），使之滿足下式：A. x= x則稱為矩陣A的一個特征值（特征根），而非零向量x為矩陣A的特征值所對應(yīng)的特征向量。對一般的N N階方陣A，其特征值通常為復(fù)數(shù)，若A為實(shí)對稱矩陣，則A的特征值為實(shí)數(shù)。二、矩陣的特征值與特征向量MATLAB提供的內(nèi)部函數(shù)ei

10、g可以用來計(jì)算特征值與特征向量。eig函數(shù)的使用格式有五種，其中常見的有E=eig(A)、 V,D= e i g(A)和V,D=eig(A,nobalance)三種，另外兩種格式用來 計(jì) 算 矩 陣 的 廣 義 特 征 值 與 特 征 向 量 ：E=eig(A,B)和V,D=eig(A,B)。二、矩陣的特征值與特征向量(1) E=eig(A)：由eig(A)返回方陣A的N個特征值，構(gòu)成向量E；(2) V,D=eig(A)：由eig(A)返回方陣A的N個特征值，構(gòu)成NN階對角陣D，其對角線上的N個元素即為相應(yīng)的特征值，同時(shí)將返回相應(yīng)的特征向量賦予NN階方陣V的對應(yīng)列，且A、V、D滿足AV=V D

11、；(3) V,D=eig(A,nobalance)：本格式的功能與格式(2)一樣，只是格式(2)是先對A作相似變換(balance)，然后再求其特征值與相應(yīng)的特征向量；而本格式則事先不作相似變換；二、矩陣的特征值與特征向量(4) E=eig(A,B)：由eig(A,B)返回NN階方陣A和B的N個廣義特征值，構(gòu)成向量E。(5) V,D=eig(A,B)：由eig(A,B)返回方陣A和B的N個廣義特征值，構(gòu)成N N階對角陣D，其對角線上的N個元素即為相應(yīng)的廣義特征值，同時(shí)將返回相應(yīng)的特征向量構(gòu)成NN階滿秩矩陣，且 滿足AV=B V D。二、矩陣的特征值與特征向量【例例5 5】試用格式(1)求下列對

12、稱矩陣A的特征值；用格式(2)求A的特征值和相應(yīng)的特征向量，且驗(yàn)證之。 A = 1.0000 1.0000 0.5000 1.0000 1.0000 0.2500 0.5000 0.2500 2.0000 ;執(zhí)行eig(A)將直接獲得對稱矩陣A的三個實(shí)特征值：二、矩陣的特征值與特征向量eig(A)ans = -0.0166 1.4801 2.5365而下列命令則將其三個實(shí)特征值作為向量賦予變量E：E=eig(A)E = -0.0166 1.4801 2.5365二、矩陣的特征值與特征向量三、行列式的值MATLAB提供的內(nèi)部函數(shù)det用來計(jì)算矩陣的行列式的值。設(shè)矩陣A為一方陣(必須是方陣)，求矩

13、陣A的行列式值的格式為：det(A)。注意：本函數(shù)同樣能計(jì)算通過構(gòu)造出的稀疏矩陣的行列式的值。關(guān)于如何構(gòu)造稀疏矩陣，將在本章最后一節(jié)介紹。三、行列式的值【例例6 6】利用隨機(jī)函數(shù)產(chǎn)生一個三階方陣A，然后計(jì)算方陣之行列式的值。A=rand(3)A = 0.9501 0.4860 0.4565 0.2311 0.8913 0.0185 0.6068 0.7621 0.8214det(A)ans = 0.4289四、 矩陣求逆及其 線性代數(shù)方程組求解1 . 矩陣求逆矩陣求逆若方陣A,B滿足等式A*B = B*A = I (I為單位矩陣)則稱A為B的逆矩陣，或稱B為A的逆矩陣。這時(shí)A，B都稱為可逆矩陣

14、(或非奇異矩陣、或滿秩矩陣)，否則稱為不可逆矩陣(或奇異矩陣、或降秩矩陣)。四、矩陣求逆及其線性代數(shù)方程組求解【例例7 7】試用inv函數(shù)求方陣A的逆陣A-1賦值給B，且驗(yàn)證A與A-1是互逆的。A=1 -1 1;5 -4 3;2 1 1;B=inv(A)B = -1.4000 0.4000 0.2000 0.2000 -0.2000 0.4000 2.6000 -0.6000 0.2000A*Bans = 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000B*Aans = 1.0000 0.0000 0.0000 0.0

15、000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000四、矩陣求逆及其線性代數(shù)方程組求解2. 矩陣求逆解法矩陣求逆解法利用求系數(shù)矩陣A的逆陣A-1，我們可以得到矩陣求逆解法。對于線性代數(shù)方程組Ax=b，等號兩側(cè)各左乘A-1，有：A-1Ax=A-1b由于A-1A=I，故得：x=A-1b四、矩陣求逆及其線性代數(shù)方程組求解【例例8 8】試用矩陣求逆解法求解例6.20中矩陣A為系數(shù)矩陣的線性代數(shù)方程組Ax=b的解。A=1 -1 1;5 -4 3;2 1 1;b=2;-3;1;x=inv(A)*bx = -3.8000 1.4000 7.2000四、矩陣求逆及其線性代數(shù)方程組求解3

16、. 直接解法直接解法對于線性代數(shù)方程組Ax=b，我們可以運(yùn)用左除運(yùn)算符“”象解一元一次方程那樣簡單地求解： x=Ab當(dāng)系數(shù)矩陣A為N*N的方陣時(shí)，MATLAB會自行用高斯消去法求解線性代數(shù)方程組。若右端項(xiàng)b為N*1的列向量，則x=Ab可獲得方程組的數(shù)值解x（N*1的列向量）；若右端項(xiàng)b為N*M的矩陣，則x=Ab可同時(shí)獲得同一系數(shù)矩陣A、M個方程組數(shù)值解x（為N*M的矩陣），即x(:,j)=Ab(:,j)，j=1,2,M。四、矩陣求逆及其線性代數(shù)方程組求解132321112345111xxx543321112345111yyy四、矩陣求逆及其線性代數(shù)方程組求解解法解法1：分別解方程組 (1)Ax=b1；(2)Ay=b2A=1 -1 1;5 -4 3;2 1 1;b1=2;-3;1;b2=3;4;-5;x=Ab1x = -3.8000 1.4000 7.2000y=Ab2 -3.6000 -2.2000 4.4000得兩個線性代數(shù)方程組的解： (1) x1= -3.8， x2= 1.4， x3= 7.2； (2) y1