1、向量注:向量不能比較大小，因為方向沒有大小4. 零向量：長度為零的向量叫零向量零向量只有一個，其方向是任意的5. 單位向量：長度等于 1 個單位的向量單位向量有無數(shù)個，每一個方向都有一個單位向量6. 共線向量:方向相同或相反的非零向量，叫共線向量任一組共線向量都可以移到同一直線 上.規(guī)定:0與任一向量共線.注:共線向量又稱為平行向量7. 相反向量：長度相等且方向相反的向量二、向量的運(yùn)算（一）運(yùn)算定義1向量的加減法， 實(shí)數(shù)與向量的乘積，兩個向量的數(shù)量積，這些運(yùn)算的定義都是自然的”，它們都有明顯的物理學(xué)的意義及幾何意義其中向量的加減法運(yùn)算結(jié)果仍是向量，兩個向量數(shù)量積運(yùn)算結(jié)果是數(shù)量。研究這些運(yùn) 算，

2、發(fā)現(xiàn)它們有很好地運(yùn)算性質(zhì)，這些運(yùn)算性質(zhì)為我們用向量研究問題奠定了基礎(chǔ)，向量確實(shí)是一個好工具特別是向量可以用坐標(biāo)表示，且可以用坐標(biāo)來運(yùn)算，向量運(yùn)算問題可以完全坐標(biāo)化刻劃每一種運(yùn)算都可以有三種表現(xiàn)形式：圖 形 、 符 號 、 坐 標(biāo) 語 言 。 主 要 內(nèi) 容 列 表 如 下 :運(yùn)算圖形語言付號語言坐標(biāo)語言加法與 減法B壬raOA+OB=OC?OB -OA=AB、 一記OA=X*，yi），OB=（xi，y2）則 OOB=（xi+x2，yi+y2）OB-OA= （x2-xi，y2-yi） 一?0A+AB=OB實(shí)數(shù)與 向量的 乘積AAZRB?TAB=入a入 R、T 記a=（x，y）T貝“入a=（入 x

3、，入 y）亠J兩個向 量的數(shù) 量積Ta b=a qcoqa，b）記a = （xi，yi），b=（x2，y2）f T（二）運(yùn)算律知識清單一、向量的有關(guān)概念1向量：既有大小又有方向的量叫做向量向線段的長度）.2向量的表示方法斗耳沖字母表示法.向量的大小叫向量的模（也就是用來表示向量的有幾何表示法:如a,b,c,|（等.:用一條有向線段表示向量AB,CD等.:在平面直角坐標(biāo)系中.如 ，向量OA的起點(diǎn) 0 為在坐標(biāo)原點(diǎn)，終點(diǎn) A 坐標(biāo)為坐標(biāo)表示法x, y,則x,y稱為OA的坐標(biāo),記為OA=x, y.注：向量既有代數(shù)特征，又有幾何特征，它是數(shù)形兼?zhèn)涞暮霉ぞ咿?.相等向量：長度相等且方向相同的向量.向量可

4、以自由平移，平移前后的向量相等兩向量a與b相等，記為a =b.注:兩向量a,b的數(shù)量積運(yùn)算結(jié)果是一個數(shù)abcosr其中-a,b;）,這個數(shù)的大小與加法：a b =b a（交換律）;（a b） a （b c）（結(jié)合律）4 4444444實(shí)數(shù)與向量的乘積：（a b）= a/ b；C”一 一.）a = a九-a；（丄a）=（止）a兩個向量的數(shù)量積：ab=ba ；（入a） b=a（入b）=入（ab）；T T T T T T T（a+b） C=a -C+bC注：根據(jù)向量運(yùn)算律可知，兩個向量之間的線性運(yùn)算滿足實(shí)數(shù)多項式乘積的運(yùn)算法則， 遷移實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可以簡化向量的運(yùn)算，2 2例如（ab）2=_ 2 a

5、b b（三）運(yùn)算性質(zhì)及重要結(jié)論 .t平面向量基本定理：如果ei,e2是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么對于這個平面內(nèi)任一 向量a丁且只有一對實(shí)數(shù) 人，入2,使 a = +入2e?，稱入e+幾 2：為ei,e2的線性組合。1其中q,e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的基底T；2平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個不共線向量e,q的方向分解為兩個向量的和，并且這種分解是唯一的這說明如果a -川幾22且a =，rq：；也2色,那么1也=23當(dāng)基底e，e2是兩個互相垂直的單位向量時，就建立了平面直角坐標(biāo)系，因此平面向量基本定理實(shí)際上是平面向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)向量坐標(biāo)與點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系： 當(dāng)向量起點(diǎn)在原點(diǎn)時， 定義向量坐標(biāo)

6、為終點(diǎn)坐標(biāo)，AB坐標(biāo)為終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)一、7T T坐標(biāo)語言為：設(shè)非零向量a = x1,y1,b=為,y2,則a/b：=f x x2即，或 xiy2-X2yi=0,在這里，實(shí)數(shù)入是唯一存在的，當(dāng)a與b同向時，入0 ；當(dāng)a與by = y2二|T TT T異向時，入0?？?1=旦，入的大小由a及b的大小確定。因此，當(dāng)a,b確定時，入的符號與 I b|大小就確定了 這就是實(shí)數(shù)乘向量中入的幾何意義。兩個向量垂直的充要條件T Ta b=0坐標(biāo)語言：設(shè)非零向量兩個向量數(shù)量積的重要性質(zhì)：1a=|a|2即|a|= a（求線段的長度）;* f T T2a _ b =科七=0（垂直的判斷）;正確即若 A（x, y）

7、,則 OA = （x,y）;當(dāng)向量起點(diǎn)不在原點(diǎn)時，向量坐標(biāo)，即若 A （Xi,yi） , B （X2,y2）,則AB=（X2-xi,y2-yi） 兩個向量平行的充要條件符號語言：ab = a二，b（b = 0）（xi,y”=入（X2,y2）,符號語言：a _ b：=呻TT Ta二Xi, yi,b = X2,y2，則a _ bXjX?yi y0長度、角度等問題，由此可以看到向量注:兩向量a,b的數(shù)量積運(yùn)算結(jié)果是一個數(shù)abcosr其中-a,b;）,這個數(shù)的大小與以上結(jié)論可以（從向量角度）有效地分析有關(guān)垂直、 知識的重要價值.COS T=（求角度）。兩個向量的長度及其夾角的余弦有關(guān)b cos二叫做向

8、量b在a方向上的投影(如圖)數(shù)量積的幾何意義是數(shù)量積a b等于a的模與b在a方向上的投影的積如果R(Xi,yJ,P2(X2,y2),則RP2=(X2花2 yj, PP2 =J(X2二Xi)L(y2二yj2,這就是平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式課前預(yù)習(xí)1. 在 L ABCD 中，2. 平面內(nèi)三點(diǎn)A(0, -3),B(3,3), C(x,-1)若ABII BC,貝 U X 的值為 13. 設(shè) a , b , c 是任意的非零平面向量，且相互不共線，貝 U:一 TTTTTTTTTT(a b)c-(c a)b=0|a|-|b|v|a-b|(b c)a_(c a)b 不與 c 垂直 (3a+2b) (3a_2b

9、 )=9|a |2- 4 b |2中, 真命題是T Ta b4. OAB 中,OA= a ,OB= b ,OP=p，若p=t(), t R,則點(diǎn) P 在/ AOB|a| |b|平分線所在直線上5._已知 a = (x,3 ),b =( 2,4 ),a 丄 b，則實(shí)數(shù) x=_ 66._已知 a + b=(2, 8),a b珂-6, 4 則 a=_(-2,-6)_ , b=_(4,-2)_,a與b的夾角的余弦值是.10 _7 .在 OAB 中，OA = (2cos二,2sin：),OB = (5cos - ,5sin -),若OA OB= -5,則-5酉28.已知 ABC 中，A (2, -1)

10、, B (3, 2) , C (-3 , -1), BC 邊上的高為 AD , 求點(diǎn) D 和向量AD坐標(biāo)。D(1,1)AD=(-1,2)典型例題一、平面向量的實(shí)際背景與基本概念例 1如圖，設(shè) O 是正六邊形的中心，分別寫出圖中與 的模相等的向量以及方向相同的向量。SOAB=注:兩向量a,b的數(shù)量積運(yùn)算結(jié)果是一個數(shù)abcosr其中-a,b;）,這個數(shù)的大小與解：AD,BE,EB,CFCB,EF例 5已知 a = (4, 2), b = (6, y),且 a II b，求 y . 3二、平面向量的線性運(yùn)算例 2如圖，在平行四邊形 ABCD 中，AB = a , AD =b , 你能用 a, b 表

11、示向量AC=a+b,DB= a-b變式 1：如圖，在五邊形 ABCDE 中，T TCD =c ,EA = d，試用 arCE=a+b+ dIAAB二 a ,BC二 b ,i電 b , c , d 表示向量CE和.EDE=-a- b- c- d變式 2:已知OA=a,OB=b,OC=C,OD=d,且四邊形 ABCD 為平行四邊形,貝 Uab+cd=0變式 4：已知 a、b 是非零向量，則|a|=|b|是(a+b)與(a b)垂直的充要條件變式 5:在四邊形 ABCD 中，AB=a+2b,BC= 4a b,CD= 5a 3b,其中 a、b 不共線，則四邊形 ABCD 為梯形例 3.如圖，已知任意兩

12、個非零向量 a、b ,試作OA二 a + b,OB二 a + 2b,OC二 a+ 3b,你能判斷 A、B、C 斗點(diǎn)之間的位置關(guān)系嗎？為什么？A、B 斗三點(diǎn)共線OA + OC斗OB變式 1:已知OA二 a + 2b,OB=2a + 4b,OC =3a + 6b(其中 a、b 是兩個任意非零向量)，證明：A、B、C 三點(diǎn)共線.證明：AB = OB OA= a + 2b,AC = OC OA= 2a + 4b, AC =2AB所以，A、B、C 三點(diǎn)共線.變式 2:已知點(diǎn) A、B、C 在同一直線上，并且OA=a + b,OB=(m-2)a + 2b,OC=(n，1)a + 3b (其中 a、b 是兩個

13、任意非零向量)，試求 m、n 之間的關(guān)系.b 是兩/個士意非AB = OB OA= a + 2b,AC = OC - OA= 2a + 4b,n=2m-6例 4已知四邊形 ABCD,點(diǎn) E、F、G、H 分別是 AB、BC、CD、DA 的中點(diǎn)，求 證：EF二HG變式 1:已知任意四邊形ABCD 的邊 AD 和 BC 的中點(diǎn)分別為 E、F,求證:AB DC =2EF.、平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示BDCA變式 1:與向量 a = (12, 5)平行的單位向量為 I12,仝(或 L12,-匕3 13丿V 1313y變式 2:1已知 a =(1,2), b = (x,1 )，當(dāng) a+2b 與 2a b

14、 共線時，x值為2變式 3:已知 A(0,3)、B(2,0)、C( 1,3)與AB 2AC方向相反的單位向量是(01)變式 4：已知 a = (1 , 0), b = (2, 1).試問：當(dāng) k 為何實(shí)數(shù)時，ka b 與 a+3b1平行，平行時它們是同向還是反向？k=- 反向3例 6設(shè)點(diǎn) P 是線段RP2上的一點(diǎn)，R、F2的坐標(biāo)分別為, y1, x2, y2.(1) 當(dāng)點(diǎn) P 是線段PF2上的中點(diǎn)時，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)；(X1+X2,y1+y2)2 2(2) 當(dāng)點(diǎn) P 是線段 PR 的一個三等分點(diǎn)時，求 P 的坐標(biāo)(空匕 ,2yY2)33四、平面向量的數(shù)量積例 7已知 |a| = 6, |b|

15、= 4 且 a 與 b 的夾角為 60，求(a + 2b) (a-3b)已知；=3, b =4, a b a 2b =23,那么a與b夾角為 120_變式 2：已知向量 a 和 b 的夾角為 60, | a | = 3, | b | = 4,貝 U( 2a -b) a 等于 12變式 3:在厶 ABC 中，已知 |AB|=4 , |AC|=1 , SAAB=3，則ABAC等干土 2變式 1:變式 2:OB= b,(3：已知兩點(diǎn) M3,2, N-5,-5 ,忒網(wǎng)，則P點(diǎn)坐標(biāo)是-1 冷如圖，設(shè)點(diǎn) P、則OP二3Q 是線段 AB 的三等分點(diǎn)，若OA，OQ =專(用弘弘b表示)變式 1:A變式 4：設(shè)

16、向量 2te1- 7e2與向量 e - te2的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù) t 的取值范圍.tv 0 且土2例&已知|a| = 3, |b| = 4 且 a 與 b 不共線，k 為何實(shí)數(shù)時，向量 a + kb 與 a-k b 互相垂直？k=_34變式 1:已知 a 丄 b , |a|= 2, |b| = 3,且向量 3a + 2b 與 ka-b 互相垂直，則 k 的值為3_2_變式 2：已知|a|= 1, |b| = 2 且(a-b)丄 a,則 a 與 b 夾角的大小為_二4_ .例 9已知 a = (4, 2),求與向量 a 垂直的單位向量的坐標(biāo).(-丄,上)(丄,-?) -：.5:丿5.5

17、.5變式 1:若 i = (1,0), j =(0,1)，則與 2i+3j 垂直的向量是一 3i+2j 或 3i 2j變式 2：已知向量 a =(1,1) , 6 =(2, -3)，若ka -2b與a垂直，則實(shí)數(shù) k= 1變式 3:若非零向量 a,b 互相垂直，則下列各式中一定成立的是(B )A.a b=a-bB. |a b|=|a-b|f -* 千C.(a b)(a -b)=0D. (a -b)2=0變式 4：已知向量a=(3,4), b=( 2,x),c=(2,y)且 a/ b, a 丄 c.求例 10.已知 A (1 , 2), B (2, 3), C (-2 , 5),試判斷 ABC 的形狀，并給出證明.直角三角形變式 1： O 是 ABC 所在的平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足ABC 一定為直角三角形變式 2：已知 A、B、C