1、一、平面二連桿機器人手臂運動學 平面二連桿機械手臂如圖1所示，連桿1長度，連桿2長度，連桿3長度為。建立如圖1所示的坐標系，其中，為基礎坐標系，固定在基座上，、為連體坐標系，分別固結在連桿1、連桿2、連桿3上并隨它們一起運動。關節(jié)角順時針為負逆時針為正。 1 2 P ABCD 圖1平面雙連桿機器人示意圖1、用簡單的平面幾何關系建立運動學方程連桿2末段與中線交點處一點P在基礎坐標系中的位置坐標： （1）2、用D-H方法建立運動學方程假定、垂直于紙面向外。從到的齊次旋轉變換矩陣為： （2）從到的齊次旋轉變換矩陣為： （3）從到的齊次旋轉變換矩陣為： （3）從到的齊次旋轉變換矩陣為： （4）那么，連

2、桿2末段與中線交點處一點P在基礎坐標系中的位置矢量為： （5）即， （6）結論：（6）與用簡單的平面幾何關系建立運動學方程（1）相同。補充：正解用于仿真，逆解用于控制建立以上運動學方程后，若已知個連桿的關節(jié)角，就可以用運動學方程求出機械手臂末端位置坐標，這可以用于運動學仿真。3、平面二連桿機器人手臂逆運動學二、平面二連桿機器人手臂的速度雅可比矩陣速度雅可比矩陣的定義：從關節(jié)速度向末端操作速度的線性變換。現(xiàn)已二連桿平面機器人為例推導速度雅可比矩陣。 上面的運動學方程兩邊對時間求導，得到下面的速度表達式： （17）把上式寫成如下的矩陣形式： （18）令上式中的末端位置速度矢量，關節(jié)角速度矢量， 矩

3、陣就是速度雅可比矩陣，實現(xiàn)從關節(jié)角速度向末端位置速度的轉變。（18）式可以寫成：速度雅可比矩陣可以進一步寫成： （19）其中， （20）由此可知雅可比矩陣的定義： （21）三、平面二連桿機器人手臂的動力學方程推倒動力學方程的方法很多，各有優(yōu)缺點。拉格朗日方法思路清晰、不考慮連桿之間的內力，是推倒動力學方程的常用方法。下面推導圖1所示的平面雙連桿機器人的動力學方程。圖1中所示連桿均為均質桿，其轉動慣量分別是和。1、求兩連桿的拉格朗日函數(shù)（1）求系統(tǒng)總動能連桿1的動能為： （21）求連桿2質心D處的線速度：對連桿2質心位置求導得到其線速度。連桿2質心位置為： （22）連桿2質心速度為： （23）

4、（24）連桿2的動能： (25)系統(tǒng)總動能： （26）（2）求系統(tǒng)總勢能 系統(tǒng)總勢能為： （27）（3）求拉格朗日函數(shù) （28）（4）列寫動力學方程 按照拉格朗日方程，對應關節(jié)1、2的驅動力矩分別為： （29） （30） 同理： （31）聯(lián)合（30）、（31）式，將動力學方程寫成如下矩陣形式： （32）四、平面二連桿機器人手臂的軌跡規(guī)劃軌跡規(guī)劃就是已知起點和終點的位置速度加速度等參數(shù)確定中間點的相應參數(shù)的過程。軌跡規(guī)劃是機器人完成規(guī)定任務所必需的。它分為關節(jié)空間的軌跡規(guī)劃和直角坐標空間的軌跡規(guī)劃、以及基于動力學的軌跡規(guī)劃等幾種類型。關節(jié)空間的軌跡規(guī)劃就是已知某連桿起點和終點的角位置角速度角加速

5、度等參數(shù)確定中間點的相應參數(shù)的過程。如圖所示，一兩自由度機械手，已知兩連桿起點和終點的關節(jié)角，確定中間位置的關節(jié)角。（1）非歸一化和歸一化問題（2）末端位置的軌跡、關節(jié)空間軌跡規(guī)劃的缺點。 三次多項式軌跡規(guī)劃 舉例：要求一個軸機器人的第一關節(jié)在秒之內從初始角度運動到終端角度，用三次多項式計算在第、秒時的關節(jié)角。五次多項式軌跡規(guī)劃拋物線過渡的線性運動軌跡規(guī)劃（略）具有中間點以及用拋物線過渡的線性運動軌跡規(guī)劃（略）高次多項式運動軌跡規(guī)劃（略）直角坐標空間的軌跡規(guī)劃（1）所有用于關節(jié)空間的軌跡規(guī)劃方法都可以用于直角坐標空間軌跡規(guī)劃；（2）直角坐標軌跡規(guī)劃必須不斷進行逆運動學運算，以便及時得到關節(jié)角。這個過程可以歸納為以下計算循環(huán)：（a）將時間增加一個增量；（b）利