1、16.4 角的平分線角的平分線一、教學目標1.使學生掌握角平分線定理及其逆定理，培養(yǎng)學生探索知識的能力。2.使學生了解能利用角平分線定理及其逆定理證明角或線段相等。3.滲透點的集合的數(shù)學思想。從事物特殊性入手，總結歸納事物的一般性。體現(xiàn)在研究問題時注意純粹性與完備性，準確、全面地思考問題。二、教學重點和難點1.重點：（1）角平分線的性質和判定。（2）點到角的邊的距離要強調垂直關系。2.難點：（1）分清文字命題中的題設（已知）和結論，掌握證明題格式。（2）把角平分線看作點的集合。三、教學方法引導學生發(fā)現(xiàn)、探索、研究問題，歸納結論的方法。四、教學手段利用投影儀、教具（等腰三角形紙片）使教學反饋速度

2、快、直觀。五、教學過程（一）復習提問1.角平分線的概念，角平分線與三角形的角平分線的區(qū)別和聯(lián)系。2.點到直線（或射線）距離的意義。（二）引入新課第一冊已經(jīng)介紹過角的平分線的概念，那么它有什么重要性質呢？怎樣找到這個角的平分線？同學們首先看（教具）。（1）有一張剪好的紙片，怎樣找這個角的平分線？（引導學生回答）。（2）大家知道，只要把紙片對折，使角的兩邊疊合在一起，把紙片展開后的折痕就是這個角的平分線，如圖348。如果我們把對折的紙片繼續(xù)折一次，然后把紙片展開，就會出現(xiàn)兩條折痕，如圖349中的PM和PN，不難發(fā)現(xiàn)，這兩條折痕的長相等，而且這種等長的折痕我們可以找出無數(shù)對。由此可見，角的平分線除了

3、有平分角的性質，還有其它的性質，這節(jié)我們就來研究這個問題。（三）講解新課定理1 在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。要向學生講明，證明這個定理，首先要分清題設和結論，既為寫已知、求證做準備，又為引入逆命題及討論原、逆命題的關系打基礎，然后把條件和結論具體化，符號化，寫出已知、求證和證明。題設：一個點在一個角的平分線上。結論：它到角的兩邊的距離相等。已知：OC是AOB的平分線，點P在OC上，PDOA，PEOB，垂足分別是D、E，（如圖350）求證：PDPE。證明：PDOA，PEOB（已知），PDOPEO90（垂直的定義）。在PDO和PEO中，PDOPEO（已知），AOCBOC（已知），O

4、POP（公共邊），PDO PEO（AAS）。PDPE（全等三角形的對應邊相等）。定理應用所具備的條件和定理的作用：條件有三個，角的平分線，點在該平分線上，垂直距離。作用是證明線段相等。如圖351，填寫使BCBD成立所需的條件： ， BCBD。猜想圖351中，由BCAC于點C，BDAD于點D，BCBD，可以得到什么結論？用文字語言概括上述猜想，并說明這個命題與定理1有什么聯(lián)系與區(qū)別？定理2 到一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上。引導學生分析條件、結論，畫出圖形，寫出已知、求證和證明。已知：PDOA，PEOB，垂足分別是D、E，PDPE，如圖352。求證：點P在AOB的平分線上。證明：

5、經(jīng)過點P作射線OC。PDOA，PEOB（已知），PDOPEO90（垂直定義）。在RtPDO和RtPEO中，OPOP（公共邊），PDPE（已知），RtPDO RtPEO（HL）。AOCBOC（全等三角形的對應角相等）。OC是AOB 的平分線。 想一想：在一個角的內部，除角平分線上的點以外，還能找到“到角的兩邊距離相等”的點嗎？為什么？在角平分線上，是否有“到角的兩邊距離不相等的點”呢？為什么？由定理1、2可知，在一個角內，到角的兩邊距離相等的點，都在這個角的平分線上；反過來，角的平分線上的點到角的兩邊距離相等。于是得到下面的結論：角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合。此結論為以后研究軌跡打下基礎。例：已知：如圖353，四邊形ABCD中，ABBC，ADDC，B、D為垂足，線段AC平分C，求證：BCDC。分析：要證BCDC，須證點C在A平分線上，須證12，即證903904，這由已知條件線段AC平分C便可得證（利用投影儀）。小結：（1）定理1是角平分線的性質定理，只要證出一射線是某角的平分線，就可知道它上面的點到角的兩邊距離相等，利用它可以證明線段相等；定理2是角平分線的判定定理，只要證出一個點到角的兩邊距離相等，就可以判定該點與頂點聯(lián)線是這個角的平分線，