1、解解 直直 角角 三三 角角 形形 的的 應(yīng)應(yīng) 用用內(nèi)江市西林中學(xué)內(nèi)江市西林中學(xué) 劉勇軍劉勇軍中考專題復(fù)習中考專題復(fù)習2011 年年 11 月月 一、利用解直角三角形的知識來解決實際應(yīng)用問題，是一、利用解直角三角形的知識來解決實際應(yīng)用問題，是中考的一大類型題，主要涉及測量、航空、航海、工程等中考的一大類型題，主要涉及測量、航空、航海、工程等領(lǐng)域，解答好此類問題要先理解以下幾個概念：領(lǐng)域，解答好此類問題要先理解以下幾個概念： 1 仰角、俯角；仰角、俯角； 2 方向角；方向角； 3 坡角、坡度；坡角、坡度； 4 水平距離、垂直距離等。水平距離、垂直距離等。 （依據(jù)題意畫出示意圖，根據(jù)條件求解。）（

2、依據(jù)題意畫出示意圖，根據(jù)條件求解。） 二、解實際問題常用的兩種思維方法：二、解實際問題常用的兩種思維方法： （1）切割法：把圖形分成一個或幾個直角三角形進）切割法：把圖形分成一個或幾個直角三角形進行解決。行解決。 （2）輔助線法：此方法大都通過作輔助線段來實現(xiàn)。）輔助線法：此方法大都通過作輔助線段來實現(xiàn)。知識點：知識點：D15例例1 1 求求tan30的值，可構(gòu)造如圖所示的直角三角形進行計的值，可構(gòu)造如圖所示的直角三角形進行計算：作算：作RtABC，使，使C=90，斜邊，斜邊AB=2，直角邊，直角邊AC=1，那么那么BC= ，tan30= . 問：在此圖基礎(chǔ)上，請通過添加適當問：在此圖基礎(chǔ)上，

3、請通過添加適當?shù)妮o助線，可求出的輔助線，可求出tan15的值。的值。請簡要寫出你添加的輔助線和求出的請簡要寫出你添加的輔助線和求出的tan15的值。的值。 33331BCACACB1230解：延長解：延長CB至至D，使，使BD=AB，連結(jié)，連結(jié)AD，則，則D=15tan15= 。32DCACACB1230DExx132332例例2 2 如圖，某建筑物如圖，某建筑物BC直立于水平地面，直立于水平地面，AC=9米要建造米要建造階梯階梯AB，使每階高不超過，使每階高不超過20厘米，則此階梯最少要建厘米，則此階梯最少要建 _ 階（最后一階的高不足階（最后一階的高不足20厘米時，按一階計算；厘米時，按一

4、階計算； 取取1.732） 3ACB30解：在解：在RtACB中，中，C=90， BC=ACtan30=9 =3 =5.196 此階梯的階數(shù)此階梯的階數(shù)= 26（階）。（階）。 故填上故填上26。 2 . 0196. 53339米米AOFBC例例3 3 某市在某市在“舊城改造舊城改造”中計劃在市內(nèi)一塊如圖所示的三角形中計劃在市內(nèi)一塊如圖所示的三角形空地上種植某種草皮以美化環(huán)境，已知這種草皮每平方米售價空地上種植某種草皮以美化環(huán)境，已知這種草皮每平方米售價a元，則購買這種草皮至少需要（元，則購買這種草皮至少需要（ ） A、450a元元 B、225a元元 C、150a元元 D、300a元元 h30

5、米20米150解：如圖所示，作出此三角形的高解：如圖所示，作出此三角形的高h。 則則S= ACBDsin（180150） = 3020 =150（平方米）（平方米） 購買這種草皮至少需要購買這種草皮至少需要150a元。故選（元。故選（C）。）。212121ABCD例例4 4 為了申辦為了申辦2010年冬奧會，須改變哈爾濱市的交通狀況。在年冬奧會，須改變哈爾濱市的交通狀況。在街面拓寬工程中，要砍掉一棵樹街面拓寬工程中，要砍掉一棵樹AB，在地面上事先劃定以，在地面上事先劃定以B為圓心，半徑與為圓心，半徑與AB等長的圓形危險區(qū)。現(xiàn)在某工人站在離等長的圓形危險區(qū)?，F(xiàn)在某工人站在離B點點3米遠的米遠的D

6、處測得樹的頂端處測得樹的頂端A點的仰角為點的仰角為60，樹的底部，樹的底部B點點的俯角為的俯角為30。問距離。問距離 B點點8米遠的保護物是否在危險區(qū)內(nèi)？米遠的保護物是否在危險區(qū)內(nèi)？CDBE3060A73. 13 解：過點解：過點C作作CE AB于于E.在在RtCBE中中,tan30=BE=CE tan30=在在RtCAE中中,tan60=AE=CE tan60=AB=AE+EB= 6.92(米）米） 8(米）米）距離距離 B點點8米遠的保護物不在危險區(qū)米遠的保護物不在危險區(qū).333CEBECEAE343米例例5，如圖，海上有一燈塔，如圖，海上有一燈塔P，在它，在它周圍周圍3海里處有暗礁，海里

7、處有暗礁， 一艘客輪以一艘客輪以9海里海里/時的速度由西向東航行，行至時的速度由西向東航行，行至A點處測得點處測得P在它的北偏東在它的北偏東60的方的方向，繼續(xù)行駛向，繼續(xù)行駛20分鐘后，到達分鐘后，到達B處又處又測得燈塔測得燈塔P在它的北偏東在它的北偏東45方向，方向，問客輪不改變方向繼續(xù)前進有無觸礁問客輪不改變方向繼續(xù)前進有無觸礁的危險？的危險？解：過P作PCAB于C點，據(jù)題意知： AB=926=3，PAB=90-60=30， PBC=90-45=45，PCB=90 PC=BC 在RtAPC中， PC3 客輪不改變方向繼續(xù)前進無觸礁危險3PCPCPCACABBCPC tan30=，333

8、33,32PCPCPC 即=，例例6,6,如圖，公路如圖，公路MN和公路和公路PQ在點在點P處交會，且處交會，且QPN=30，點點A處有處有一所中學(xué)，一所中學(xué)，AP=160米，（米，（1 1）假設(shè)拖拉機行駛時，周）假設(shè)拖拉機行駛時，周圍圍100米以內(nèi)會受到噪聲的影響，那么拖拉機在公路米以內(nèi)會受到噪聲的影響，那么拖拉機在公路MN上沿上沿PN方向行駛時，學(xué)校是否會受到噪聲影響？請說明理由（方向行駛時，學(xué)校是否會受到噪聲影響？請說明理由（2 2）如果受影響，已知拖拉機的速度為如果受影響，已知拖拉機的速度為18千米千米/時，那么學(xué)校受影響時，那么學(xué)校受影響的時間為多少秒？的時間為多少秒？ 解題點撥解題

9、點撥 （1） 作作ABMN于于B，求，求出出AB，若，若AB100米，則受影響，若米，則受影響，若AB100米，則不受影響米，則不受影響. .MPQNAB30160解解（1）作作ABMN，B為垂足。為垂足。 在在RtABP中中 ABP=90，APB=30， AP=160米，米， AB= AP=80米米 點點A到直線到直線MN的距離小于的距離小于100米。米。 這所中學(xué)會受到噪聲的影響。這所中學(xué)會受到噪聲的影響。21MPQNACDB（2）如圖，如果以點）如圖，如果以點A為圓心，為圓心，100米為半徑畫圓，那么米為半徑畫圓，那么圓圓A和直線和直線MN有兩個交點，設(shè)交點分別為有兩個交點，設(shè)交點分別為

10、C、D，連結(jié)，連結(jié)AC、AD，那么，那么AC=AD=100（米）。（米）。 根據(jù)勾股定理和垂徑定理，根據(jù)勾股定理和垂徑定理，CB=DB = =60（米），（米）， CD=120（米）（米） 學(xué)校受噪聲影響的時間學(xué)校受噪聲影響的時間t=120米米18千米千米/時時= 時時=24秒。秒。 2280100 1150解題點撥解題點撥 （2 2） 既然受影響，既然受影響，怎樣求受影響的時間呢？因拖拉怎樣求受影響的時間呢？因拖拉機速度已知，故應(yīng)求學(xué)校在受噪機速度已知，故應(yīng)求學(xué)校在受噪聲影響時拖拉機行駛的路程，即聲影響時拖拉機行駛的路程，即以以A為圓心，為圓心，100米為半徑畫圓米為半徑畫圓A，則則A交交M

11、N于于C、D兩點，弦兩點，弦CD的長為所求的路程。的長為所求的路程。小結(jié)：小結(jié)：1、將實際問題經(jīng)提煉數(shù)學(xué)知識，建立數(shù)學(xué)模、將實際問題經(jīng)提煉數(shù)學(xué)知識，建立數(shù)學(xué)模 型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。2、設(shè)法尋找或構(gòu)造可解的直角三角形，尤其、設(shè)法尋找或構(gòu)造可解的直角三角形，尤其 是對于一些非直角三角形圖形，必須添加是對于一些非直角三角形圖形，必須添加 適當?shù)妮o助線，才能轉(zhuǎn)化為直角三角形的適當?shù)妮o助線，才能轉(zhuǎn)化為直角三角形的 問題來解決。問題來解決。 1.由于過度采伐森林和破壞植被，我國部分地區(qū)頻頻遭受沙由于過度采伐森林和破壞植被，我國部分地區(qū)頻頻遭受沙塵暴侵襲。近日，塵暴侵襲。近日，A城氣象局測得

12、沙塵暴中心在城氣象局測得沙塵暴中心在A城的正南方向城的正南方向240km的的B處，以每小時處，以每小時12km的速度向北偏東的速度向北偏東30方向移動，距沙塵暴中心方向移動，距沙塵暴中心150km的范圍為受影響區(qū)域。的范圍為受影響區(qū)域。附加題附加題（1）A城是否受到這次沙塵暴的影響，為什么？城是否受到這次沙塵暴的影響，為什么？（2）若）若A城受這次沙塵暴的影響，那么遭受影響的時間有多城受這次沙塵暴的影響，那么遭受影響的時間有多長？長？解（解（1）：過）：過A作作ACBM,垂足為垂足為C,在在RtABC中，中， B = 30, AC= AB = x 240 = 1201212AC = 120 1

13、50A城受到沙塵暴影響城受到沙塵暴影響 由于過度采伐森林和破壞植被，我國部分地區(qū)頻由于過度采伐森林和破壞植被，我國部分地區(qū)頻頻遭受沙塵暴侵襲。近日，頻遭受沙塵暴侵襲。近日，A城氣象局測得沙塵暴中心在城氣象局測得沙塵暴中心在A城城的正南方向的正南方向240km的的B處，以每小時處，以每小時12km的速度向北偏東的速度向北偏東30方向移動，距沙塵暴中心方向移動，距沙塵暴中心150km的范圍為受影響區(qū)域。的范圍為受影響區(qū)域。附加題附加題（1）A城是否受到這次沙塵暴的影響，為什么？城是否受到這次沙塵暴的影響，為什么？（2）若）若A城受這次沙塵暴的影響，那么遭受影響的時間有多長？城受這次沙塵暴的影響，那

14、么遭受影響的時間有多長？ABCEFM解（解（2）：設(shè)點）：設(shè)點E、F是以是以A為圓心，為圓心，150km為半徑的圓與為半徑的圓與BM的交點，由題意得：的交點，由題意得：CE = AE2 AC2 = 90EF = 2CE = 2 x 90 = 180A城受到沙塵暴影響的時間為城受到沙塵暴影響的時間為18012 = 15小時小時答：答：A城將受到這次沙塵暴影響，城將受到這次沙塵暴影響，影響的時間為影響的時間為15小時。小時。2.如圖，在觀測點如圖，在觀測點E測得小山上鐵塔頂測得小山上鐵塔頂A的仰角的仰角為為60，鐵塔底部，鐵塔底部B的仰角為的仰角為45已知塔高已知塔高AB=20m，觀察點，觀察點E到地面的距離到地面的距離EF=35m，求，求小山小山BD的高（精確到的高（精確到0.1m，31.732）2解：如圖，過C點作CEAD于Cx-x 解得x=10AB=AC-BC， 即20=33BD=BC+CD=BC+EF3設(shè)BC=x，則EC=BC=x 在RtACE中，AC=x，+103+10+3545+101.73262.3（m） 所以小山BD的高為623m=103.如圖，有一位同學(xué)用一個有如圖，有一位同學(xué)用一個有30角的直角三角板估測他們角的直角三角板估測他們學(xué)校的旗桿學(xué)校的旗桿AB