1、-1-第三章 空間向量與立體幾何-2-3.1空間向量及其運算-3-3.1.1空間向量及其加減運算課前篇自主預(yù)習(xí)【思考1】類比平面向量的概念,能否給出空間向量的概念?答案能.在空間,把具有大小和方向的量叫做空間向量.1.空間向量及其表示(1)定義:在空間,把具有大小和方向的量叫做空間向量.向量的大小叫做向量的長度或模.(2)表示:幾何表示法,用有向線段表示;字母表示法,用a,b,c,表示或用表示向量的有向線段的起點和終點的字母表示.課前篇自主預(yù)習(xí)特別提醒注意區(qū)分有向線段與向量.向量可用有向線段來表示,但是有向線段不是向量,它只是向量的一種表示方法.課前篇自主預(yù)習(xí)2.空間向量的相關(guān)概念(1)零向量

2、:長度為0的向量叫做零向量,記為0.(2)單位向量:模為1的向量稱為單位向量.(3)相反向量:與向量a長度相等而方向相反的向量稱為a的相反向量,記為-a.(4)相等向量:方向相同且模相等的向量稱為相等向量.名師點撥1.空間向量的表示方法,以及零向量、單位向量、相等向量、相反向量等概念與平面向量相同.2.凡涉及空間兩個向量的問題,平面向量中有關(guān)結(jié)論仍然適用它們.3.兩個向量的關(guān)系:空間向量是具有大小與方向的量,兩個向量只有相等與不相等之分,而無大小之分.課前篇自主預(yù)習(xí)【做一做1】 下列命題正確的是()A.若向量a與b的方向相反,則稱向量a與b為相反向量B.零向量沒有方向C.若a是單位向量,則|a

3、|=1D.若向量m,n,p滿足m=n,n=p,則不一定有m=p解析單位向量是指模等于1的向量,所以若a是單位向量,則必有|a|=1,即C項正確.答案C課前篇自主預(yù)習(xí)【思考2】下面給出了兩個空間向量a、b,作出b+a,b-a.課前篇自主預(yù)習(xí)3.空間向量的加減運算及其運算律 特別提醒1.首尾相接的若干向量之和等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量.2.首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個封閉圖形,則它們的和是零向量.課前篇自主預(yù)習(xí)A.a+b-cB.c-a-bC.c+a-bD.c+a+b答案B 課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一探究二當(dāng)堂檢測探究一空間向量及相關(guān)概念的理解探究一空間向量及相關(guān)概念的理解 課堂篇探究學(xué)

4、習(xí)探究一探究二當(dāng)堂檢測解析錯誤,在同一條直線上的單位向量,方向可能相同,也可能相反,故它們不一定相等;正確,零向量的模等于0,模等于0的向量只有零向量;答案 課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一探究二當(dāng)堂檢測反思感悟空間向量概念的辨析(1)向量的兩個要素是大小與方向,兩者缺一不可;(2)單位向量的方向雖然不一定相同,但長度一定為1;(3)兩個向量的模相等,則它們的長度相等,但方向不確定,即兩個向量(非零向量)的模相等是兩個向量相等的必要不充分條件;(4)由于方向不能比較大小,因此“大于”“小于”對向量來說是沒有意義的,但向量的模是可以比較大小的.課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一探究二當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練1下列說法正確的是()

5、A.若|a|=|b|,則a,b的長度相同,方向相同或相反B.若向量a是向量b的相反向量,則|a|=|b|C.兩個向量相等,若它們的起點相同,則其終點不一定相同D.若|a|b|,|b|c|,則ac解析兩個向量是相反向量時,它們的模必相等,故B項正確.答案B課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一探究二當(dāng)堂檢測探究二空間向量的加法與減法運算探究二空間向量的加法與減法運算例2 如圖,已知長方體ABCD-ABCD,化簡下列向量表達(dá)式,并在圖中標(biāo)出化簡結(jié)果的向量.思路分析根據(jù)空間向量加法及減法運算法則求解.課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一探究二當(dāng)堂檢測反思感悟1.空間向量加法、減法運算的兩個技巧(1)巧用相反向量:向量加減法的三角形法

6、則是解決空間向量加法、減法運算的關(guān)鍵,靈活應(yīng)用相反向量可使有關(guān)向量首尾相接,從而便于運算.(2)巧用平移:利用三角形法則和平行四邊形法則進(jìn)行向量的加法運算時,務(wù)必要注意和向量、差向量的方向,必要時可采用空間向量的自由平移獲得更準(zhǔn)確的結(jié)果.2.化簡空間向量的常用思路(1)分組:合理分組,以便靈活運用三角形法則、平行四邊形法則進(jìn)行化簡.(2)多邊形法則:在空間向量的加法運算中,若是多個向量求和,還可利用多邊形法則,若干個向量的和可以將其轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量求和.(3)走邊路:靈活運用空間向量的加法、減法法則,盡量走邊路(即沿幾何體的邊選擇途徑).課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一探究二當(dāng)堂檢測課堂篇探究學(xué)習(xí)探究

7、一探究二當(dāng)堂檢測思維辨析思維辨析 一題多變空間向量的加法、減法運算課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一探究二當(dāng)堂檢測課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一探究二當(dāng)堂檢測解(1)根據(jù)六棱柱的性質(zhì)知四邊形BB1C1C,DD1E1E都是平行四邊形,課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一探究二當(dāng)堂檢測(2)因為六邊形ABCDEF是正六邊形,所以BCEF,BC=EF,又因為E1F1EF,E1F1=EF,所以BCE1F1,BC=E1F1,所以BCE1F1是平行四邊形,方法總結(jié)在進(jìn)行減法運算時,可將減去一個向量轉(zhuǎn)化為加上這個向量的相反向量,而在進(jìn)行加法運算時,首先考慮這兩個向量在哪個平面內(nèi),然后與平面向量求和一樣,運用向量運算的平行四邊形法則、三角形法則及多邊形法則來求.課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一探究二當(dāng)堂檢測1.“兩個非零空間向量的模相等”是“兩個空間向量相等”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析兩個向量相等是指兩個向量的模相等并且方向相同,因此“兩個非零向量的模相等”是“兩個向量相等”的