1、特殊平行四邊形課后練習主講教師：傲德題一：下列說法中，正確的是()A對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形B對角線相等的四邊形是平行四邊形 C四條邊相等的四邊形是菱形D矩形的對角線一定互相垂直題二：如圖，四邊形 ABCD 中，ABCD則下列說法中，不正確的是( A當 AB=CD，AO=DO 時，四邊形 ABCD 為矩形B. 當 AB=AD，AO=CO 時，四邊形 ABCD 為菱形C. 當 ADBC，AC=BD 時，四邊形 ABCD 為正方形D. 當 ABCD，AC=BD 時，四邊形 ABCD 為等腰梯形)，在四邊形 ABCD 中，點 E、F 是對角線 BD 上的兩點，且 BE=FD題三：(1)

2、若四邊形 AECF 是平行四邊形，求證：四邊形 ABCD 是平行四邊形；(2) 若四邊形 AECF 是菱形，那么四邊形 ABCD 也是菱形嗎？為什么？(3)若四邊形 AECF 是矩形，試四邊形 ABCD 是否為矩形，不必寫理由題四：如圖，任意四邊形 ABCD，對角線 AC、BD 交于 O 點，過各頂點分別作對角線 AC、BD 的平行線，四條平行線圍成一個四邊形 EFGH試想當四邊形 ABCD 的形狀發(fā)生改變時，四邊形 EFGH 的形狀會有哪些變化？完成以下題目：(1) 當 ABCD 為任意四邊形時，EFGH 為；當 ABCD 為矩形時，EFGH 為；當 ABCD 為菱形時，EFGH 為；當 A

3、BCD 為正方形時，EFGH 為；(2) 請對(1)中你所寫的結(jié)論進行證明(3) 反之，當用上述方法所圍成的平行四邊形 EFGH 分別是矩形、菱形時，相應(yīng)的原四邊形 ABCD 必須滿足怎樣的條件？第 - 1 - 頁題五：如圖，在梯形 ABCD 中，ADBC，AD=5cm，BC=8cm，M 是 CD 的中點，P 是 BC 邊上的一動點(P 與 B，C 不重合)，連接 PM 并延長交 AD 的延長線于 Q(1) 試說明PCMQDM；(2) 當 P 在 B、C 之間運動到什么位置時，四邊形 ABPQ 是平行四邊形？并說明理由題六：如圖，矩形 ABCD 中，AB=5cm，BC=10cm，動點 M 從點

4、 D 出發(fā)，按折線 D-C-B 方向以 2cm/s的速度運動，動點 N 從點 D 出發(fā)，沿 DA 方向以 1cm/s 的速度向點 A 運動動點 M、N 同時出發(fā)， 當一個點到達終點時，另一個點也隨即停止運動(1)若點 E段 BC 上，且 BE=4cm，經(jīng)過幾秒鐘，點 A、E、M、N 組成平行四邊形？(2)動點 M、N 在運動的過程中，線段 MN 是否經(jīng)過矩形 ABCD 的兩條對角線的交點？如果線段 MN過此交點，請求出運動的時間；如果線段 MN 不過此交點，請說明理由題七：在矩形 ABCD 的各邊 AB，BC，CD 和 DA 上分別選取點 E，F(xiàn)，G，H，使得 AE=AH=CF=CG，如果 A

5、B=60，BC=40，求四邊形 EFGH 的最大面積題八：已知：在矩形 ABCD 中，AB=10，BC=12，四邊形 EFGH 的三個頂點 E、F、H 分別在矩形ABCD 邊 AB、BC、DA 上，AE=2(1) 如圖 1，當四邊形 EFGH 為正方形時，求GFC 的面積；(2) 如圖 2，當四邊形 EFGH 為菱形，且 BF=a 時，求GFC 的面積(用含 a 的代數(shù)式表示)；第 - 2 - 頁(3)在(2)的條件下，GFC 的面積能否等于 2？請說明理由題九：ABC 是等邊三角形，點 D 是射線 BC 上的一個動點(點 D 不與點 B、C 重合)，ADE 是以AD 為邊的等邊三角形，過點

6、E 作 BC 的平行線，分別交射線 AB、AC 于點 F、G，連接 BE(1) 如圖 a 所示，當點 D段 BC 上時求證：AEBADC；探究四邊形 BCGE 是怎樣特殊的四邊形？并說明理由；(2) 如圖 b 所示，當點 D 在 BC 的延長線上時，直接寫出(1)中的兩個結(jié)論是否成立；(3) 在(2)的情況下，當點 D 運動到什么位置時，四邊形 BCGE 是菱形？并說明理由題十：兩塊完全相同的三角板(ABC) 和三角板(A1B1C1) 如圖 放置在同一平面上(C=C1=90°，ABC=A1B1C1=60°)，斜邊重合若三角板不動，三角板在三角板所在的平面上向右滑動，圖是滑動

7、過程中的一個位置(1) 在圖中，連接 BC1、B1C，求證：A1BC1AB1C；(2) 三角板滑到什么位置(點 B1 落在 AB 邊的什么位置)時，四邊形 BCB1C1 是菱形？說明理由題十一：如圖，已知，在四邊形 ABCD 中，ADBC，BD 平分ABC，A=120°，CD= 4，ABC=DCB，求 BC 的長第 - 3 - 頁題十二：已知：如圖，四邊形 ABCD 中，ADBC，AB= 4，BC=6，CD=5，AD=3求：四邊形 ABCD的面積第 - 4 - 頁特殊平行四邊形課后練習參考題一： C詳解：A對角線互相垂直且相等的四邊形不能判定正方形，故本選項錯誤； B對角線互相平分的

8、四邊形是平行四邊形，故本選項錯誤； C四邊相等的四邊形是菱形，故本選項正確； D矩形的對角線互相平分且相等，不一定垂直，故本選項錯誤；故選C 題二： C詳解：選項A 的結(jié)論正確，AB=CD 可判定為平行四邊形，AO=DO 可判定對角線相等，故是矩形；選項B 的結(jié)論正確，AB=AD 可判定ABD 為等邊三角形，AO=CO 可判定CDB 也為等邊三角形，故是菱形； 選項C 的結(jié)論錯誤，判定結(jié)果為矩形，不一定是正方形；選項D 的結(jié)論正確，對角線相等的梯形是等腰梯形； 故選C題三： 見詳解詳解：連 AC，設(shè) AC、BD 相交于點 O，(1) 四邊形 AECF 是平行四邊形，OE=OF，OA=OC，BE

9、=FD，OB=OD四邊形 ABCD 是平行四邊形；(2) 四邊形 AECF 是菱形，OE=OF，OA=OC，ACBDBE=FD，OB=OD四邊形 ABCD 是菱形；(3) 四邊形 ABCD 不是矩形題四： 見詳解詳解：(1)平行四邊形；菱形；矩形；正方形；(2) 結(jié)合圖形，聯(lián)想特殊四邊形的特征及識別很容易發(fā)現(xiàn)，其中的橋梁為 AC、BD當 ABCD 為任意四邊形時，EFGH 為平行四邊形EHACFG，EFBDGH，四邊形 EFGH 為平行四邊形若 ABCD 為矩形，則 EFGH 為菱形EHACFG，EFBDGH四邊形 EACH，ACGF，EFBD，BDHG，EFGH 均為平行四邊形EH=AC=F

10、G，EF=BD=GH四邊形 ABCD 為矩形AC=BDEH=AC=FG=EF=BD=GH四邊形 EFGH 為菱形(3) 當平行四邊形 EFGH 是矩形時，四邊形 ABCD 必須滿足：對角線互相垂直 當平行四邊形 EFGH 是菱形時，四邊形 ABCD 必須滿足：對角線相等題五： 見詳解詳解：(1)ADBC，QDM=PCM，M 是 CD 的中點，DM=CM，第 - 5 - 頁DMQ=CMP，PCMQDM；(2)當四邊形 ABPQ 是平行四邊形時，PB=AQ，B=AD+QD，8-CP=5+CP，CP=(8-5)÷2=1.5 ，當 PC=1.5 時，四邊形 ABPQ 是平行四邊形 題六： 見

11、詳解詳解：(1)點 N 只在 AD 上運動，當點 M 運動到 BC 邊上的時候，點 A、E、M、N 才可能組成平行四邊形， 即 2.5t7.5，設(shè)經(jīng)過 t 秒，四點可組成平行四邊形分兩種情形：當 M 點在 E 點右側(cè)，如圖：此時 AN=EM，則四邊形 AEMN 是平行四邊形，DN= t，CM=2t -5，AN=10- t，EM=10- 4-(2t -5)，10- t =10- 4-(2t -5)，解得：t =1，2.5t7.5，t =1 舍去；當 M 點在 B 點與 E 點之間，如圖， 則 MC=2t -5，BM=10-(2t -5)=15-2t，ME= 4-(15-2t)=2t -11，2t

12、 -11=10-t，解得 t =7，此時符合，當 t =7 秒時，點 A、E、M、N 組成平行四邊形；(2)動點 M、N 在運動的過程中，線段 MN 能經(jīng)過矩形 ABCD 的兩條對角線的交點，此時 M 在 BC 上，如圖，四邊形 ABCD 是矩形，OA=OC，ADBC，NAO=MCO，在ANO 和CMO 中，NAO=MCO，AO=OC，AON=COM，ANOCMO(ASA)，AN=CM，設(shè) N 運動的時間是 t 秒，則 10-t=2t -5，解得：t =5，即動點 M、N 在運動的過程中，線段 MN 能經(jīng)過矩形 ABCD 的兩條對角線的交點，此時運動的時間是 5 秒題七： 1250詳解：設(shè) A

13、E=AH=CF=CG=x，四邊形 EFGH 的面積是 S 由題意，BE=DG=60-x，BF=DH=40-x，則第 - 6 - 頁SAHE =SCGF = 1 x2，SDGH =SBEF = 1 (60-x)(40-x)，2所以四邊形 EFGH 的面積為：2S=60×40 -x2 -(60-x)(40-x)= -2x2 +(60+40)x= -2(x-25)2當 x=25 時，S 最大值=1250 題八： 見詳解詳解：(1)如圖 1，過點 G 作 GMBC 于 M在正方形 EFGH 中，HEF=90°，EH=EF，AEH+BEF=90°，AEH+AHE=90

14、76;，AHE=BEF，又A=B=90°，AHEBEF，同理可證：MFGBEF，GM=BF=AE=2，F(xiàn)C=BC-BF=10，SGFC =10，(2)如圖 2，過點 G 作 GMBC 于 M連接 HFADBC，AHF=MFH，EHFG，EHF=GFH，AHE=MFG又A=GMF=90°，EH=GF，AHEMFGGM=AE=2(0x 40)；11SGFC= FC GM=(12-a)×2=(12 -a)22(3) GFC 的面積不能等于 2，點 H 在 AD 上，菱形邊長 EH 的最大值為 2 37 ，BF 的最大值為 2又因為函數(shù) SGFC =12-a 的值隨著 a

15、 的增大而減小，所以 SGFC 的最小值為 122 21 又122 21 2，GFC 的面積不能等于 221 ，題九： 見詳解詳解：(1)ABC 和ADE 都是等邊三角形，AE=AD，AB=AC，EAD=BAC=60°又EAB=EAD-BAD，DAC=BAC-BAD，EAB=DAC，AEBADC(SAS)方法一：由得AEBADC，ABE=C=60° 又BAC=C=60°，ABE=BAC，EBGC 又EGBC，四邊形 BCGE 是平行四邊形方法二：證出AEGADB，得 EG=AB=BCEGBC，四邊形 BCGE 是平行四邊形(2) 都成立(3) 當 CD=CB (C

16、AD=30°或BAD=90°或ADC=30°) 時，四邊形 BCGE 是菱形 理由：方法一：由得AEBADC，BE=CD，又CD=CB，BE=CB由得四邊形 BCGE 是平行四邊形，四邊形 BCGE 是菱形 方法二：由得AEBADC，BE=CD第 - 7 - 頁又四邊形 BCGE 是菱形，BE=CB，CD=CB方法三：四邊形 BCGE 是平行四邊形，BECG，EGBC，F(xiàn)BE=BAC=60°，F(xiàn)=ABC=60°，F(xiàn)=FBE=60°，BEF 是等邊三角形 又AB=BC，四邊形 BCGE 是菱形，AB=BE=BF，AEFG，EAG=30&

17、#176;，EAD=60°，CAD=30° 題十： 見詳解詳解：(1)三角板(ABC)和三角板(A1B1C1)是兩塊完全相同的三角板，AC=A1C1，AB=A1B1，A=A1，在圖中 A1B=AB1，A1BC1AB1C；(2)點 B1 落在 AB 邊的中點理由：，由已知條件知 BC=B1C1，BCB1C1，四邊形 BCB1C1 是平行四邊形，要使四邊形 BCB1C1 是菱形，則 BC=CB1，ABC=A1B1C1=60°，BCB1 為等邊三角形，BB1=B1C=BC，1又A=30°，在直角三角形 ABC 中，BC= AB，21BB1= AB，點 B1 落在 AB 邊的中點2題十一： 8詳解：ADBC，A=120°，ABC=180°-120°=60° ，11BD 平分ABC，DBC=ABC=×60°=30