1、:號學(xué):名姓中國礦業(yè)大學(xué)(北京)2022級?高等數(shù)學(xué)期中試題?題號-一-二二三四五六七總分得分閱卷人填空題(每空3分，共30分)1.設(shè)y ex(ci sinx C2 cosx)為某個二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解,那么該方程為y 2y' 2y 0。2.y1x, y2x ex,y3 1 x ex是二階非齊次線性微分方程方程_xy p(x)y q(x) y f (x)的三個解，那么該方程的通解y GeC2x。3.設(shè)三向量a,b,c兩兩垂直,且1,詁丨遷，|C|1，那么 |a b c|=2。9.線有 2 條1 1 20dy ySinx dx(1 COS1)。210.設(shè)空間區(qū)域為：x2y2z

2、2R2，那么.x2y2z2dvR4、(10分)求微分方程y 6y 9y 9 e3x的通解解：該方程所對應(yīng)的齊次方程的特征方程為齊次方程的通解為Y GC2x)e3x由于r 0不是特征根，而rr2 6r 9 0 ,解得 *3是二重根，故原方程的一個特解為力 A,y；Bx2e3x，于是 A 佃 £所以通解為y (g C2x)e3x 1 - x2e3x2三、(10分)求直線丿三在平面1 1 1:x y 2z 10上的投影直4.設(shè)一平面過原點(diǎn)及點(diǎn)(6, -3，2)，且與平面4x2z 8垂直，那么此平線L繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面的方程:級年業(yè)專5.6.面方程為 2x 2y 3z 0。函數(shù)f(x

3、,y)設(shè)方程F(x:院學(xué)x v 10解:直線L的一般式為:y z 10故過直線L的平面束方程可設(shè)為疋的連續(xù)區(qū)域02y4x乙y z) 0確定了隱函數(shù)z z(x, y)，其中F具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，貝 U 二二二 1。x y7. 函數(shù)u ln(x , y2 z2)在點(diǎn)A(1,0,1)處沿A指向點(diǎn)B(3, 2,2)方向的方向?qū)?shù)為12。8. 在曲線x t,yt2,z t3的所有切線中，與平面x 2y z 4平行的切x y 1 (y z 1)0,整理后得 x (1)y z 10.同時滿足條件11 20,解得 2 ,所求投影直線L的一般式方程為x 3y 2z 1 0,直線的方向向量為(4,2, 1),且過點(diǎn)(

4、0,0,)x y 2z 1021z _將其化為標(biāo)準(zhǔn)式可得-2421x 4t參數(shù)式為y 2t ,那么L繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面的方程為1x 、：16t2(1 t)2 cosy 2tz、：16t2 (丄 t)2 sin 2四、(10分)設(shè)zf(ex,y)， 其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求x2dz 與一z。x y解： dz fdxydx xdy2 2x(e f12x1f2 )dxf2dyx由此得由二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，得-(丄 f2)x x212 2 2xyz2.求原點(diǎn)到橢圓144x y z 1解：目標(biāo)函數(shù)為d(x, y,z)1的最遠(yuǎn)與最近距離x2y2z2 ,拉格朗日函數(shù)可設(shè)為2 22 2 2 z 2 y

5、 zF(x, y,z) x y z (x1)44Fx2x2 xoFy2yyo2xFz2zzo,解方程組可得y1222z«2yz1x1 o44xyz 1o7 一 9 8 一 9 8 一 9X2Y2Z2者1 o O(x y z 1),并令五、解以下各題(18分) 2 2 21.求曲面x3 yp z" 4上任意點(diǎn)處的切平面在三個坐標(biāo)軸上截距的平方和.2 1 2 1 2 1解：曲面上切點(diǎn)(Xo,yo,Zo)處的法向量為(-xo 3, yo 3,- zo 3),故過點(diǎn)333經(jīng)驗證這兩個點(diǎn)一個是極大值點(diǎn)，一個是極小值點(diǎn)，由題目本身可知，一定存在最大和最小值，所以最近距離為：d! 1,最

6、遠(yuǎn)距離為：d29六、(18分)計算以下各題1.求由曲線r 2cos所圍均勻薄片對極點(diǎn)的轉(zhuǎn)動慣量。(xo, yo ,zo)的切平面方程為：3x0 3(X X。)|yo(Y yo) |z°3(Z3332由于點(diǎn)(Xo,yo,Zo)在曲面上,所以X03Zo)2 - 3z0o.代入(1)式后化簡可得：2丄 212283Xxo3 3Yyo3 3Zzo3 3截距式為：11Z1 14xo3 4y°?4zo322 2截距平方和為:16(xo3zo?) 64.(1)解：不妨設(shè)薄片密度為4 2 cos4 d"22. z . x2 y2dv ,其中z軸旋轉(zhuǎn)一周而成的區(qū)域.1,那么I8 o

7、2 cosDE是yoz面上的曲線y2)dxdy"22cos解:曲線z y2繞z軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為or2dr所圍平面圖形繞z x2y2，用柱面坐標(biāo)計算三重積分可得：七、(10分)附加題設(shè)二元函數(shù)f(x,y)1r2dr012 zdzr1r2(1 r4)dr 0 2 2 21 'iyarcta n=22Jxy(x, y)(0,0)(x,y)(0,0)討論f(x,y)在(0,0)的連續(xù)性、可偏導(dǎo)性與可微性。解：1連續(xù)性，只需證明爲(wèi))f(x,y)f(0,°)0即可。由于limyarcta n(x,y) (0,0)丿f(0,0)，因此 f(x, y)在(0,0)處連續(xù)。2> 由于 f (x,0)0，所以fx(0,0)0又 f(0,y)0,1y arctan |y|(x,y) (0,0)(x, y) (0,0)y arcta n 丄 lim山 y 02，因此 fy(0,0)-3)只需證明z是否等于fx(0,0)fy (0,0) y o()(其中=xy2)zQ lim0fx(0,0) xfy