1、函數(shù)及其圖象知識拓展【知識拓展】1直角坐標系為什么稱之為笛卡爾坐標系？通過在平面內建立直角坐標系，使平面內的點與有序實數(shù)對成一一對應，從而把平面內關于點的幾何問題轉化成代數(shù)問題進行研究這種解決數(shù)學問題的方法叫坐標法，又叫解析法坐標法是17世紀法國著名數(shù)學家笛卡爾創(chuàng)立的，為紀念他的功績，人們把解析幾何學的基礎直角坐標系稱之為笛卡爾坐標系笛卡爾1596年生于法國的都蘭這位貴族出身的傳奇人物，8歲到16歲在一所著名的公學讀書，20歲大學法律系畢業(yè)但他一生并沒有真正從事法律工作，他既不想繼承家業(yè)，又不想繼續(xù)研究法學，而是喜歡科學、哲學、數(shù)學和生物學笛卡爾認為歐幾里得幾何過于強調證明的技巧性，并過分依賴

2、于圖形，這樣不利于提高人們的想像力，而代數(shù)又完全受法則和公式的約束，這就影響了人們思維的靈活性于是，笛卡爾主張代數(shù)和幾何結合起來，取各科的優(yōu)點他經過長期思考和把代數(shù)應用到幾何上的實踐，終于創(chuàng)立了一種方法，這就是1637年，在他發(fā)表的幾何學里，最早導入運動著的點的坐標的概念，引進了變數(shù)，創(chuàng)立了坐標幾何或解析幾何恩格斯在自然辯證法中曾高度評價說：“數(shù)學中的轉折點是笛卡爾的變數(shù)，有了變數(shù)，運動進入了數(shù)學；有了變數(shù)，辯證法進入了數(shù)學；有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要的了”2怎樣求函數(shù)值的取值范圍？隨著學習的深入，到高中階段，就會出現(xiàn)函數(shù)的定義域、函數(shù)的值域的概念根據(jù)函數(shù)的定義，如果變量y是變量x的

3、函數(shù)，那么當x在允許值范圍內取每一個確定值時，變量y都有惟一確定的值和它對應，我們把對應值叫做自變量取確定值時的函數(shù)值自變量的取值范圍叫做函數(shù)的定義域，函數(shù)值的全體叫做函數(shù)的值域在“精點答疑”問題1012中談了怎樣求函數(shù)中自變量的取值范圍，即函數(shù)的定義域求函數(shù)的值域的方法也比較多，下面介紹兩種較為常見的求法（1）函數(shù)解析式由含自變量x的一次式組成時，先用含y的代數(shù)式表示x，把所得表達式看作一個新的函數(shù)，那么自變量y的取值范圍就是所求函數(shù)的值域例1 求函數(shù)y2x1的值域思路啟迪解析式等號的右邊是x的一次式，所以先用含y的代數(shù)式表示x因為新得的函數(shù)可以看成是以y為自變量，x是y的函數(shù)，所以這個函數(shù)

4、的自變量y的取值范圍全體實數(shù)，就是原來函數(shù)y2x1的值域例2 求的值域.思路啟迪解出x，變形得xyyx1，（y1）xy1因為y1（不然的話，x1x1，即11，不可能），即y10我們把它看成一個新的函數(shù)，其中y是自變量，x是y的函數(shù)因新得到的函數(shù)的自變量y的取值范圍是y1，故原來函數(shù)的值域是y1的實數(shù)（2）函數(shù)解析式由含自變量x的二次式組成時，可以用“判別式法”求函數(shù)的值域例2 求函數(shù)的值域.思路啟迪整理得成以x為未知數(shù)的一元二次方程的一般形式 因不論x取什么實數(shù)值，恒有所以函數(shù)的自變量取值范圍是全體實數(shù)故原來函數(shù)的值域為不大于0的實數(shù)下面各題同學們可以試一試：求下列函數(shù)的值域：3你想進一步了解

5、函數(shù)的定義嗎？關于函數(shù)的定義問題，中學里，在不同的歷史階段采用過不同的定義如“若兩個變量，當?shù)谝粋€變量變化時，第二個變量也相應隨著變化，則第二個變量叫第一個變量的函數(shù)”這個定義是18世紀80年代出現(xiàn)的它在特定的條件下體現(xiàn)了“自變”到“因變”的生動過程，總結了許多函數(shù)的共性，但它沒有提到兩個變量的數(shù)值之間的對應關系，因而沒有揭示函數(shù)的本質特征；同時它強調“變量”“隨著起變化”，縮小了函數(shù)概念的外延例如，不論x取怎樣的實數(shù)值，對應的y值始終是1，在這種情況下，函數(shù)并不依附于變量x的值的選擇這說明，函數(shù)概念中，重要的不是“自變”引起“因變”的現(xiàn)象，而應該是它們的對應關系1718年約翰貝努里首先給出了

6、函數(shù)的“運算定義”，同年尤拉在其著作無窮小分析引論中明確指出：“一個變量的函數(shù)是一個解析表示由這個變量及一些數(shù)或常數(shù)用任何規(guī)定的運算方式結合而成”這個定義強調由函數(shù)解析式給出函數(shù)，這對于用數(shù)學方法來討論函數(shù)的性質，是一個很有利的條件但它排除了圖形、表格和其他形式給出的函數(shù)，同樣縮小了函數(shù)概念的外延19世紀數(shù)學分析迅速發(fā)展，使得函數(shù)的原始概念趨向推廣，作為函數(shù)的主要特征并非它的解析式，也不是某種幾何表示，而是兩個量的數(shù)值間對應關系的存在1837年，法國數(shù)學家狄里赫來較完整地提出函數(shù)定義：“若確定的x的數(shù)值（取自一切可能數(shù)值的集合）對應著確定的y的數(shù)值，則y稱為自變量x的函數(shù)”這個定義被稱為“傳統(tǒng)

7、定義”等到集合論在數(shù)學中占重要地位之后，許多作者對函數(shù)定義利用“集合”和“對應”來敘述，被稱為“近代定義”：“給出了兩個集合M和N，對于集合M的每一個元素x，可以依照某一法則使之對應于集合N的某一個元素y，假定這種對應關系建立了，我們就說在集合M上確定了一個函數(shù)，記作yf（x）”這個定義抓住了函數(shù)概念的本質屬性，揭示了確定一個函數(shù)所具備的三個重要因素：自變量的取值范圍M；函數(shù)值的集合N；對應法則f我國高中數(shù)學現(xiàn)行教材采取了著眼于“傳統(tǒng)定義”，呼應“近代定義”；概念用“傳統(tǒng)”的敘述方法，解釋用近代“集合”和“對應”的觀點，給出的函數(shù)定義很有獨到之處在初中階段我們所學習的函數(shù)定義只是描述性的定義，

8、而不是嚴格的定義4怎樣利用一次函數(shù)的圖象數(shù)形結合解一元一次方程及一元一次不等式？利用一次函數(shù)的圖象解一元一次方程及一元一次不等式，不但可以幫助我們加深理解一元一次方程和一元一次不等式的解的幾何意義，也為今后學習一元二次方程及一元二次不等式的圖象解法奠定一定的基礎例1 利用一次函數(shù)的圖象解方程2x40；解不等式2x40及2x40；這些點的橫坐標都大于2，即x2所以，x2是不等式2x40的解x軸下方所有點的縱坐標都是負數(shù)，即y0；這些點的橫坐標都小于2，即x2所以，x2是不等式2x40的解集；x軸下方所有點的橫坐標的全體是不等式kxb1x及x一32就是不等式x31x的解集在直線x2的左側，兩直線上

9、點的縱坐標滿足這些點的橫坐標都小于2，故x2就是不等式x30時，y1這是一條在第一象限與x軸平行，且到x軸距離為1的一條射線，不包括端點（0，1）當x0時，y1這是一條在第三象限與x軸平行，且到x軸距離為1的一條射線，不包括端點（0，1）在坐標系中分別畫出這兩條射線就得到了函數(shù)的圖象，如圖1350所示例2 畫出函數(shù)y=|x1|的圖象規(guī)范解法 函數(shù)自變量的取值范圍是全體實數(shù)當x10即x1時，yx1；當x10即x1時，yx1通過去絕對值符號，函數(shù)解析式y(tǒng)|x1|可化簡為它的圖象由有公共端點（1，0）的兩條射線組成：一條是直線yx1上當x1的部分，另一條射線是直線yx1上當x1的部分如圖1351所示

10、因對于函數(shù)y|x1|，當x1時，yx1；當x0，x是滿足1x7的正整數(shù)的分母為2知213x是偶數(shù)；又由式子213x中被減數(shù)21是奇數(shù)知減數(shù)3x是奇數(shù);再由式子3x中的3是奇數(shù)知x必須是奇數(shù)從而，x只能在1x7的范圍內取1，3，5所以，不定方程3x2y21的正整數(shù)解為：如果直接根據(jù)x，y都是正整數(shù)的條件進行試驗也可獲解：當x1時，y9；當x3時，y6；當x5時，y3；y值已遞減到0，x不必取比7大的值檢驗了所以不定方程3x2y21的正整數(shù)解為例2 1991年某人的年齡正好等于它的出生年份的數(shù)字之和，求這個人在1991年的年齡是多大思路啟迪顯然，這個人不是在1991年以后出生的，他出生年份的數(shù)字之和不會超過1991=20，即這個人的年齡不超過20歲設這個人出生于19xy年則1991年他的年齡就該是（19xy）歲，而他出生的年份應為（190010xy）年根據(jù)出生年份實際年齡1991，得 （