1、專題檢測（十）空間幾何體、三視圖、表面積與體積A組-“12+4”滿分練、選擇題1.（2019福州市第一學(xué)期抽測）如圖，為一圓柱切削后的幾何體及其正視圖，則相應(yīng)的側(cè)視圖可以是（）幾何體 正視圖解析：選B連接AC,則點P在上、下底面的正投影落在 底面或下底面的正投影為，在前面、后面、左面、右面的 故選Bo3。（2019 武漢市調(diào)研測試）如圖，在棱長為1的正方ABCDABGD中，M為CD的中點，則三棱錐 A。BCM的體積AC或AC上，所以 PAC在上體正投影為。VA BCM =解析：選B由題意，根據(jù)切削后的幾何體及其正視圖，可得相應(yīng)的側(cè)視圖的切口為橢圓故選Boq zPAC在該正2。如圖,在正方體AB

2、CDAB1CD中，P為BD的中點，B.錯誤!A.錯誤!C.錯誤！D.錯誤！解析：選CVABCM=VC-AB限錯誤！Saabm-CC=錯誤！x錯誤！ABxADx。0=錯誤！。故選4,球心到切面圓心的距離為3,則該Co4.設(shè)一個球形西瓜，切下一刀后所得切面圓的半徑為西瓜的體積為（A.100 冗C。錯誤！兀B。錯誤！兀D。錯誤！兀解析：選D因為切面圓的半徑r=4,球心到切面的距離d=3,所以球的半徑R=錯誤！=錯誤！=5,故球的體積V=錯誤！冗R3=錯誤！冗X53=錯誤！冗，即該西瓜的體積為錯誤！冗.故選D.5。（2019屆高三開封高三定位考試）某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為扇形，則該幾何體

3、的體積為（）Ao4兀C.B.2九D.九解析：選B由題意知該幾何體的直觀圖如圖所示，該幾何分，設(shè)底面扇形的圓心角為a,由tana=錯誤！=錯誤！，得a面積為錯誤！X錯誤！X22=錯誤！，則該幾何體的體積為錯誤！X3=體為圓柱的一部=錯誤！，故底面2幾.故選B.6.某圓錐的側(cè)面展開圖是面積為3冗且圓心角為等的扇形，此圓錐的體積為（）3A.九Bo錯誤！Co2兀D.2錯誤！兀解析：選B設(shè)圓錐的母線為R,底面圓的半徑為r,扇形的圓心角為a,則S=錯誤！aR2=錯誤！x錯誤！XR2=3冗，解得R=3,底面圓的半徑r滿足錯誤！=錯誤！，解得r=1,所以這個圓錐的高h=錯誤！=2錯誤！，故圓錐的體積V=錯誤！

4、冗下=錯誤！。故選Bo7.已知矩形ABCDAB=2BC把這個矩形分別以ABBC所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，所成幾何體的側(cè)面積分別記為S,S2,則Si與S的比值等于（）Ao錯誤!B.1C.2D.4解析：選B設(shè)BOa,AB=2a,所以S=2幾a2a=4冗a2,4=2冗,2a.a=4冗a2,別是2和錯誤! 二錐，且三棱錐解析：選B根據(jù)直觀圖可得該幾何體的俯視圖是一個直角邊長分的直角三角形（如圖所示），根據(jù)三視圖可知該幾何體是一個三棱的高為3,所以體積 V=錯誤！ x錯誤！ x 3 =錯誤！.故選Bo）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積和體積分的表面積為12+8+6+16+12+6/2+10 =

5、64 + 6錯誤！。在棱 SD上取一點 D,使彳3DD= 2,連接AD, GD,則該幾何體的體積 V= V昔誤！+ V昔誤！=錯誤！ X 12X4+12X2= 40。故選C.9。（2019 蓉城名校第一次聯(lián)考）已知一個幾何體的正視圖和側(cè)視圖如圖1所示，其俯視圖用斜二測畫法所畫出的水平放置的直觀圖是一個直角邊長為1的等腰直角三角形（如圖2所示），則此幾彳體的體積為 （）A。1Bo錯誤!Co 2Do 2錯誤!8。（2019 廣東省七校聯(lián)考別是（）H-4-HAo 24+ 6，2和 40Co 64+ 砧和 40何現(xiàn)身Bo 24+6錯誤！和72Do 64+6錯誤！和72解析：選 C把三視圖還原成幾何體，

6、如圖所示 .由題意知6)X3X 錯誤！=12。易得 BALSA, BQLSC,且 SA = 4錯誤!12, St誤！ = 8, St誤！ =6, St誤！ = (2 + 6) X4X 錯誤！ = 16,SASAB1 = 3X 4錯誤！ X錯誤！ =6錯誤！，S音誤！ =4X5X錯誤！ =10,S=1。故選BoABCD =所以該幾何體正同周S四邊形St 誤!=(2 +SC = 5,所以山網(wǎng)圖書中提到了一棱EF/ AB若等邊三角形，10 .九章算術(shù)是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，種名為“芻薨”的五面體，如圖所示,四邊形ABCD為矩形，此幾何體中，A及4,EF=2,ADEffiBCF都是邊長為2的

7、則該幾何體的表面積為（）A。8錯誤！Bo8+8錯誤！C。6錯誤！+2錯誤！D.8+6錯誤！+2錯誤！PF± BC 過 F解析：選B如圖所示，取BC的中點P,連接PF,則作FQLAB垂足為Q./AB,因為4ADE和4BCF都是邊長為2的等邊三角形，且EF所以四邊形ABF助等腰,$形，F(xiàn)P/音誤！，則BQ=錯誤！（AB-EF）=1,FQ=錯誤！=錯誤！，所以S梯形EFBFS梯形EFCD=錯誤！X（2+4）X錯誤！=3錯誤！，又SxadE=Sabc產(chǎn)錯誤！X2X錯誤！=錯誤！，S矩形ABCD=4X2=8,所以該幾何體的表面積S=3錯誤！X2+錯誤！X2+8=8+8錯誤！。故選Bo11 .古

8、人采取“用臼舂米”的方法脫去稻谷的外殼，獲得可供食用的大米，用于舂米的臼”多用石頭或木頭制成。一個“臼”的三視圖如圖所示，則鑿去部分（看成一個簡單的組合體）的體積為（）B.72 幾A.63幾C.79兀D.99九解析：選A由三視圖得鑿去部分是圓柱與半球的組合體，其中圓柱的高為5,底面圓的半徑為3,半球的半徑為3,所以組合體的體積為ttX32X5+錯誤！x錯誤！兀x33=63冗。故選A.12。已知三棱錐P-ABC的四個頂點都在球。的表面上，PAL平面ABCABLBC；且PA=8.若平面ABCg。所得截面的面積為9冗，則球。的表面積為（A.10 幾C.50 幾Bo25幾D.100冗解析：選D設(shè)球。的

9、半徑為R,由平面ABCaO所得截面的面積為9兀，得ABC的外接圓的半徑為3.設(shè)該外接圓的圓心為D,因為ABLBC所以點D為AC的中點，所以DC=3。因為PA1平面ABC易證PB!BC所以PC為球。的直徑。又PA=8,所以O(shè)DM昔誤！PA=4,所以R=OO錯誤！=5,所以球。的表面積為S=4冗口=100冗。故選D。二、填空題13。（2019長春市質(zhì)量監(jiān)測一）已知一所有棱長都是錯誤！的三棱錐，則該三棱錐的體積為0示，取BC的0P=錯誤！ x錯誤！ X錯誤！若AA=4, A氏解析：記所有棱長都是錯誤！的三棱錐為P.ABC如圖所中點D,連接ADPQ彳POLAD于點0,則POL平面ABC且錯誤！=錯誤！

10、，故三棱錐P。ABC的體積V=錯誤！Saabc-0P=X（乖2X錯誤！=錯誤！。答案：錯誤!14。如圖，在正三棱柱ABCABC中，D為棱AA的中點.2,則四棱錐B-ACCD的體積為。解析：取AC的中點0連接B0（圖略），則BOLAC所以B0L平面ACCD。因為A氏2,所以B0=錯誤！。因為D為棱AA的中點，AA=4,所以A52,所以S梯形ACCD=錯誤！X（2+4）X2=6,所以四棱錐BoACCD的體積為1X6X錯誤！=2錯誤！。3積最大值是a ,貝 r = 4cos答案：2錯誤！15。如圖，半徑為4的球。中有一內(nèi)接圓柱，則圓柱的側(cè)面0解析：設(shè)圓柱的上底面半徑為r,球的半徑與上底面夾角為a,圓

11、柱的圖為8sina.所以圓柱的側(cè)面積為32冗sin2a當(dāng)且僅當(dāng)a=錯誤！時，sin2a=1,圓柱的側(cè)面積最大，所以圓柱的側(cè)面積的最大值為32九。答案：32冗16. （2019江西省五校協(xié)作體試題）某幾何體的三視圖如圖所示，正視圖是一個上底為2,下底為4的直角梯形，俯視圖是一個邊長為4的等邊三角形，則該幾何體的體積為在AD上取點G棱柱ABC GEF錯誤！ X4錯誤！ x 2ABCD木塊的直木塊在平面 a解析：把三視圖還原成幾何體ABCDEF如圖所示，使得AG=2,連接GHGR則把幾何體ABCDEF分割成三和三棱錐DoGEF所以VkBCDE尸VBCGEF-1-V.GE尸4錯誤！X2+=錯誤！。答案

12、：錯誤!B組-“5+3”提速練1.（2019福州市質(zhì)量檢測）棱長為1的正方體ABCD觀圖如圖所示，平面民過點D且平行于平面ACD,則該內(nèi)的正投影面積是（）A。錯誤!Bo錯誤！錯誤!C.2D01解析：選A棱長為1的正方體ABCDABCD木塊在平面a1so內(nèi)的正投影是三個全等的菱形，如圖，正投影可以看成兩個邊長為、/2的等邊三角形，所以木塊在平面a內(nèi)的正投影面積是2X錯誤！X錯誤！X錯誤！X錯誤！=43.故選A。2。在棱長為3的正方體ABCDABCQ中，P在線段BD上，且錯誤！=錯誤！，M為線段BC上的動點，則三棱錐MPBC勺體積為（）A.1B.錯誤!C。D.與M點的位置有關(guān)解析：選B.錯誤！=錯

13、誤！，點P到平面BCCB的距離是D到平面BCCB距離的錯誤！,即為錯誤！=1.M為線段BC上的點,S»AMBC=錯誤！X3X3=錯誤！，.VmpbC=VMBP錯誤！x錯誤！x1=錯誤！0故選Bo3。（2019重慶市學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研）三棱錐StABC中，SA,SBSC兩兩垂直，已知SA=a,SB=b,SO2,且2a+b=錯誤！，則此三棱錐的外接球的表面積的最小值為（）A。錯誤！B。錯誤！Co4兀D.6九解析：選A由題意，設(shè)三棱錐的外接球的半徑為R,因為SASBSC兩兩垂直，所以以SASBSC為棱構(gòu)造長方體，具體對角線即三棱錐的外接球的直徑，因為SA=a,SB=b,SO2,所以4口=22+產(chǎn)

14、+4=22+錯誤！錯誤！+4=5（21）2+錯誤！，所以a=1時，（4點）=錯誤！，所以三棱錐的外接球的表面積的最小值為錯誤！.故選A.4。（2019洛陽尖子生第二次聯(lián)考）已知正三角形ABC的三個項點都在半徑為2的球面上，球心O到平面ABC勺距離為1,點E是線段AB的中點，過點E作球。的截面，則截面圓面積的最小值是（）A.7Bo2幾4C.錯誤！D.3九解析：選C設(shè)正三角形ABCW中心為0,連接OQOAOA由題意得OO,平面ABC00=1,OA=2,在RtzXOOA中，0A=錯誤！，.AB-3。丁E為AB的中點，.二AE=錯誤！.連接0E則OELAB過點E作球0的截面，當(dāng)截面與0E垂直時，截面圓

15、的面積最小，止匕時截面圓的半徑=錯誤！，可得截面圓面積的最小值為九r2=錯誤！.故選C.5。（2019全國卷I）已知三棱錐P.ABC的四個頂點在球0的球面上，PA=PB=PCABC是邊長為2的正三角形，E,F分別是PAAB的中點，/CEN900,則球0的體積為（）B。 4錯誤!幾D.錯誤！冗A。8錯誤！兀C。2錯誤！兀解析：選D設(shè)P/A=P及PO2a,貝UEF=a,FC=®.EC=3-a2在PE"cos/PEC=錯誤!.*在AEC,cos/AEC=錯誤!.一/PECf/AECS補，.34a2=1,2=錯誤！，故PA=P及PO錯誤屋又.A及BOAO2,.PALPBPC外接球的

16、直徑2R=錯誤！=錯誤！，R=錯誤！，.二V=錯誤！九R3=錯誤！兀X錯誤！錯誤！=錯誤！兀.P到/ ACB兩邊平面ABC的距則 PE! AC, PF故選D。6.（2019全國卷I）已知/AC匡90°,P為平面ABC外一點，PO2,點ACBC的距離均為小,那么P到平面ABC勺距離為。解析：如圖，過點P作POL平面ABC于0,則PO為P到-p-離。/不再過O作OELAC于E,OFLBC于F,連接PCPEPF,源&出一±BC吐"-又PE=PF=錯誤！，所以O(shè)E=OF所以CO為/ACB勺平分線，即/ACO=45°.在RtPEC中，PO2,P9錯誤！，所

17、以CE=1,所以O(shè)&1,所以PO錯誤！=錯誤！=錯誤！.答案：錯誤！7。（2019河南八市重點高中聯(lián)盟測評改編）已知一個高為1的三棱錐，各側(cè)棱長都相等，底面是邊長為2的等邊三角形，則三棱錐的表面積為,若三棱錐內(nèi)有一個體積為V的球，則V的最大值為.解析：該三棱錐側(cè)面的斜高為錯誤！=錯誤！，則S側(cè)=3X錯誤！X2X錯誤！=2錯誤！，S底=r,錯誤！X錯誤！乂2=錯誤！，所以三棱錐的表面積S表=2錯誤！+錯誤！=3錯誤！.由題意知，當(dāng)球與三棱錐的四個面都相切時，其體積最大。設(shè)三棱錐的內(nèi)切球的半徑為則三棱錐的體積V錐=錯誤！S表r=錯誤！S底1,所以邪誤！r=錯誤！，所以r=錯誤！，所以三棱錐

18、的內(nèi)切球的體積最大為Vmax=錯誤！冗3=錯誤！。答案：3錯誤！錯誤！8。已知在正四棱錐S-ABCD中,SA=6錯誤！，那么當(dāng)該棱錐的體積最大時，它的高為解析：設(shè)正四棱錐的底面正方形的邊長為a,高為h,因為在正四棱錐S.ABCD中,SA=6錯誤！，所以錯誤！+h2=108,即a2=2162h2,所以正四棱車t的體積V-abc產(chǎn)錯誤！a2h=72h錯誤！h3,令y=72h錯誤！h3,貝Uy'=722h2,令y'>0,彳#0<h<6,令y'0,得h>6,所以當(dāng)該棱錐的體積最大時，它的高為6.答案：6尊敬的讀者：本文由我和我的同事在百忙中收集整編出來，本文檔在發(fā)布之前我們對內(nèi)容進行仔細校對，但是難免會有不盡如人意之處，如有疏漏之處請指正，希望本文能為您解開疑惑，引發(fā)思考。文中部分文字受到網(wǎng)友的關(guān)懷和支持，在此表示感謝！在往后的日子希望與大家共同進步，成長。ThisarticleiscollectedandcompiledbymycolleaguesandIinourbusyschedule.Weproofreadthecont