1、2.4.1 2.4.1 平面向量數(shù)量積的平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義物理背景及其含義目標導學：目標導學： 1 1、能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，計、能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，計算向量的長度；算向量的長度； 2 2、會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關、會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系。系。向量的夾角：向量的夾角：已知兩個非零向量已知兩個非零向量 和和 ，作，作 ， ，abOAa OBb 則則AOB= AOB= (0(0180)180)叫做向量叫做向量 與與 的夾角的夾角. .ababOabAB當當= 0時，時， 與與 同向；同向；ab當當= 180時，時， 與與 反向；反向；ab

2、當當= 90時，時， 與與 垂直，記作垂直，記作 。ababababab問題問題sF 一個物體在力一個物體在力F 的作用下產(chǎn)生的位移的作用下產(chǎn)生的位移s，那么力那么力F 所做所做的功應當怎樣計算？的功應當怎樣計算？其中力其中力F 和位移和位移s 是向量，是向量， 是是F 與與s 的夾角，而功是數(shù)量的夾角，而功是數(shù)量. | s|F|W cos平面向量的平面向量的數(shù)量積數(shù)量積： 已知非零向量已知非零向量 與與 ，我們把數(shù)量，我們把數(shù)量 叫作叫作 與與 的的數(shù)量積數(shù)量積（或內(nèi)積），記作（或內(nèi)積），記作 ，即規(guī)定，即規(guī)定 |cosa bababa b |cosa ba b 其中其中是是 與與 的夾角，

3、的夾角， 叫做向量叫做向量 在在 方向上（方向上（ 在在 方向上）的方向上）的投影投影. .并且規(guī)定，零向量與任一向量并且規(guī)定，零向量與任一向量的數(shù)量積為零，即的數(shù)量積為零，即 。ab|cos (|cos )bababa00a BB1OAab1| |cosOBb 數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積的幾何意義： 數(shù)量積數(shù)量積 等于等于 的長度的長度 與與 在在 的方向上的的方向上的投影投影 的乘積。的乘積。a b a|aba|cosbBB1OAab思考：向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，那么它什么時候為正，思考：向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，那么它什么時候為正， 什么時候為負呢？什么時候為負呢？由向量數(shù)量積的定義，試完成

4、下面問題：由向量數(shù)量積的定義，試完成下面問題：_._.(3)| _ |.()aba ba baba baba aa ba b ； 反； 若與 同向, 若與 同向, 若與向, 若與向, 填或填或(1)(1)(2)(2)注：常記注：常記 為為 。a a 2a|aa a 0|a b|a b2|a22( )|aa 證明向量證明向量垂直的依據(jù)垂直的依據(jù)例例1.已知已知 ， 的夾角的夾角=120=120， 求求 。| 5,| 4abab 與與a b 解：解：|cos5 4 cos12015 4 ()210= a ba b ;()()();().a bb aaba bababca cb c (1)(1)(2

5、)(2)(3)(3)數(shù)量積的運算規(guī)律：數(shù)量積的運算規(guī)律：12 1A1BABOabCc2B1| |cos|cosOBOBab 11| |cosOAa1122| | |cosABABb 如圖可知：如圖可知：111112| |cos|cos|cosOBOAABabab 12() |cos|cos|cos cabcabcac bc ac b ()abca cb c ()abca cb c ;()()();().a bb aaba bababca cb c (1)(1)(2)(2)(3)(3)思考：等式思考：等式 是否成立？是否成立？()()a b ca b c 數(shù)量積的運算規(guī)律：數(shù)量積的運算規(guī)律：不成

6、立不成立 1 1、兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是向量，符號由、兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是向量，符號由coscos的符號確定；的符號確定； 2 2、兩個向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成、兩個向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成ab;ab;與代數(shù)中的與代數(shù)中的數(shù)數(shù)a ab b不同，書寫時要嚴格區(qū)分；不同，書寫時要嚴格區(qū)分； 3 3、在實數(shù)中，若、在實數(shù)中，若a0a0，且，且ab=0,ab=0,則則b=0b=0；但在數(shù)量積中，；但在數(shù)量積中，若若a0a0，且，且ab=0,ab=0,不能推出不能推出b=0b=0。因為其中。因為其中coscos有可能為有可能為0 0 4 4、已知實數(shù)、已知實數(shù)a a、b b、c

7、 c（b0)b0)，則有，則有ab=bcab=bc得得a=c.a=c.但是有但是有a ab=bb=bc c不能得不能得a=ca=c 5 5、在實數(shù)中（、在實數(shù)中（a ab)c=a(bb)c=a(bc),c),但（但（a ab)c a(bb)c a(bc)c)要注意的是：要注意的是：例例2.我們知道，對任意我們知道，對任意 ，恒有，恒有, a bR22222()2,()().abaabbab abab對任意向量對任意向量 是否也有下面類似的結論？是否也有下面類似的結論？, ,a b 22222()2;()().abaa bbab abab (1)(1)(2)(2)33223(3)()( )3( )3( )( )abaaba bb例例3.已知已知 ， 的夾角的夾角6060， 求求 。| 6,| 4abab 與與(2 ) (3 ),|ababab例例4.已知已知 ，且，且 與與 不共線，不共