1、一、函數(shù)、極限、連續(xù)重要概念公式定理一數(shù)列極限的定義與收斂數(shù)列的性質數(shù)列極限的定義：給定數(shù)列,如果存在常數(shù),對任給,存在正整數(shù),使當時,恒有,那么稱是數(shù)列的當趨于無窮時的極限,或稱數(shù)列收斂于,記為.假設的極限不存在,那么稱數(shù)列發(fā)散.收斂數(shù)列的性質：(1)唯一性：假設數(shù)列收斂,即,那么極限是唯一的(2)有界性：假設,那么數(shù)列有界,即存在,使得對均有.(3)局部保號性：設,且,那么存在正整數(shù),當時,有.(4)假設數(shù)列收斂于,那么它的任何子列也收斂于極限.二函數(shù)極限的定義名稱表達式任給存在當時恒有當時,以為極限當時, 以為極限當時, 以為右極限當時, 以為左極限當時, 以為極限當時, 以為極限三函數(shù)

2、極限存在判別法 (了解記憶)1海涅定理：對任意一串,都有 2.充要條件：(1); (2).3.柯西準那么：對任意給定的,存在,當,時,有.4.夾逼準那么：假設存在,當時,有,且那么.5.單調有界準那么：假設對于任意兩個充分大的,有(或),且存在常數(shù),使(或),那么存在.四無窮小量的比擬 (重點記憶)1.無窮小量階的定義,設.(1)假設,那么稱是比高階的無窮小量.(2).(3)是同階無窮小量.(4),記為.(5)2.常用的等價無窮小量 (命題重點,歷年必考)當時, 五重要定理 (必記內容,理解掌握)定理1 .定理2 .定理3 (保號定理)：,當.定理4 單調有界準那么：單調增加有上界數(shù)列必有極限

3、;單調減少有下界數(shù)列必有極限.定理5 (夾逼定理)：設在的領域內,恒有,且那么定理6 無窮小量的性質：(1)有限個無窮小量的代數(shù)和為無窮小量;(2)有限個無窮小量的乘積為無窮小量;(3)無窮小量乘以有界變量為無窮小量定理7 在同一變化趨勢下,無窮大量的倒數(shù)為無窮小量;非零的無窮小量的倒數(shù)為無窮大量定理8 極限的運算法那么：設,那么(1)(2)(3)定理9 數(shù)列的極限存在,那么其子序列的極限一定存在且就等于該數(shù)列的極限定理10 初等函數(shù)在其定義域的區(qū)間內連續(xù)定理11 設連續(xù),那么也連續(xù)六重要公式 (重點記憶內容,應考必備)(1)(2).(通過變量替換,這兩個公式可寫成更加一般的形式：設,且那么有

4、,)(3)(4)函數(shù)在處連續(xù).(5)當時,以下各函數(shù)趨于的速度(6)幾個常用極限 .七連續(xù)函數(shù)的概念1. 在處連續(xù),需滿足三個條件：在點的某個領域內有定義當時的極限存在.2. 在左連續(xù)：在內有定義,且.3. 在右連續(xù)：在內有定義,且.4. 在內連續(xù)：如果在內點點連續(xù)5. 在內連續(xù)：如果在內連續(xù),且左端點處右連續(xù),右端點處左連續(xù)八連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的性質 (重點記憶內容)1有界性定理：設函數(shù)在上連續(xù),那么在上有界,即常數(shù),對任意的,恒有2最大最小值定理：設函數(shù)在上連續(xù),那么在上至少取得最大值與最小值各一次,即使得：; .3介值定理：假設函數(shù)在上連續(xù),是介于與(或最大值與最小值)之間的任一實數(shù),那

5、么在上至少一個,使得4零點定理：設函數(shù)在上連續(xù),且,那么在內至少一個,使得九連續(xù)函數(shù)有關定理1連續(xù)函數(shù)的四那么運算：連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商(分母在連續(xù)點處的數(shù)值不為零)仍為連續(xù)函數(shù)2反函數(shù)的連續(xù)性：單值、單調增加(減少)的連續(xù)函數(shù),其反函數(shù)在對應區(qū)間上也單值、單調增加(減少)且連續(xù)3復合函數(shù)的連續(xù)性：在點連續(xù),而函數(shù)在點連續(xù),那么復合函數(shù)在點連續(xù)4初等函數(shù)的連續(xù)性：一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內是連續(xù)函數(shù)十間斷點的定義及分類1定義：假設在處,不存在,或無定義,或,那么稱在處間斷,稱為的間斷點2間斷點的分類間斷點的類型條件例子第一類間斷點可去型間斷點是的可去型間斷點跳躍型間斷點是的跳躍型間斷點第二

6、類間斷點無窮型間斷點之一是無窮大是的無窮型間斷點振蕩型間斷點之一不存在且不是無窮大是的振蕩型間斷點一、函數(shù)、極限、連續(xù)一數(shù)列極限的定義與收斂數(shù)列的性質數(shù)列極限的定義：給定數(shù)列,如果存在常數(shù),對任給,存在正整數(shù),使當時,恒有,那么稱是數(shù)列的當趨于無窮時的極限,或稱數(shù)列收斂于,記為.假設的極限不存在,那么稱數(shù)列發(fā)散.收斂數(shù)列的性質：(1)唯一性：假設數(shù)列收斂,即,那么極限是唯一的(2)有界性：假設,那么數(shù)列有界,即存在,使得對均有.(3)局部保號性：設,且,那么存在正整數(shù),當時,有.(4)假設數(shù)列收斂于,那么它的任何子列也收斂于極限.二函數(shù)極限的定義名稱表達式任給存在當時恒有當時,以為極限當時,

7、以為極限當時, 以為右極限當時, 以為左極限當時, 以為極限當時, 以為極限三函數(shù)極限存在判別法 (了解記憶)1海涅定理：對任意一串,都有 2.充要條件：(1); (2).3.柯西準那么：對任意給定的,存在,當,時,有.4.夾逼準那么：假設存在,當時,有,且那么.5.單調有界準那么：假設對于任意兩個充分大的,有(或),且存在常數(shù),使(或),那么存在.四無窮小量的比擬 (重點記憶)1.無窮小量階的定義,設.(1)假設,那么稱是比高階的無窮小量.(2).(3)是同階無窮小量.(4),記為.(5)2.常用的等價無窮小量 (命題重點,歷年必考)當時, 五重要定理 (必記內容,理解掌握)定理1 .定理2

8、 .定理3 (保號定理)：,當.定理4 單調有界準那么：單調增加有上界數(shù)列必有極限;單調減少有下界數(shù)列必有極限.定理5 (夾逼定理)：設在的領域內,恒有,且那么定理6 無窮小量的性質：(1)有限個無窮小量的代數(shù)和為無窮小量;(2)有限個無窮小量的乘積為無窮小量;(3)無窮小量乘以有界變量為無窮小量定理7 在同一變化趨勢下,無窮大量的倒數(shù)為無窮小量;非零的無窮小量的倒數(shù)為無窮大量定理8 極限的運算法那么：設,那么(1)(2)(3)定理9 數(shù)列的極限存在,那么其子序列的極限一定存在且就等于該數(shù)列的極限定理10 初等函數(shù)在其定義域的區(qū)間內連續(xù)定理11 設連續(xù),那么也連續(xù)六重要公式 (重點記憶內容,應

9、考必備)(1)(2).(通過變量替換,這兩個公式可寫成更加一般的形式：設,且那么有,)(3)(4)函數(shù)在處連續(xù).(5)當時,以下各函數(shù)趨于的速度(6)幾個常用極限 .七連續(xù)函數(shù)的概念1. 在處連續(xù),需滿足三個條件：在點的某個領域內有定義當時的極限存在.2. 在左連續(xù)：在內有定義,且.3. 在右連續(xù)：在內有定義,且.4. 在內連續(xù)：如果在內點點連續(xù)5. 在內連續(xù)：如果在內連續(xù),且左端點處右連續(xù),右端點處左連續(xù)八連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的性質 (重點記憶內容)1有界性定理：設函數(shù)在上連續(xù),那么在上有界,即常數(shù),對任意的,恒有2最大最小值定理：設函數(shù)在上連續(xù),那么在上至少取得最大值與最小值各一次,即使得：; .3介值定理：假設函數(shù)在上連續(xù),是介于與(或最大值與最小值)之間的任一實數(shù),那么在上至少一個,使得4零點定理：設函數(shù)在上連續(xù),且,那么在內至少一個,使得九連續(xù)函數(shù)有關定理1連續(xù)函數(shù)的四那么運算：連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商(分母在連續(xù)點處的數(shù)值不為零)仍為連續(xù)函數(shù)2反函數(shù)的連續(xù)性：單值、單調增加(減少)的連續(xù)函數(shù),其反函數(shù)在對應區(qū)間上也單值、單調增加(減少)且連續(xù)3復合函數(shù)的連續(xù)性：在點連續(xù),而函數(shù)在點連續(xù),那么復合函數(shù)在點連續(xù)4初等函數(shù)的連續(xù)性：一切初等函數(shù)在其定義