1、單位：理學院應用數(shù)學物理系計算數(shù)學教研室批準：日期：年月日任課教員：劉靜班次上課日期節(jié)次上課時數(shù)累計時數(shù)教學場所06級電子信息3班07.09.213-42620#B10206級合訓7、8班07.11.193-426236課程名稱：線性代數(shù)章節(jié)名稱：第一章行列式課題：第三講行列式按行按列展開目的、要求：1.行列式的按行按列展開法則；2.掌握行列式的計算方法。難點、重點：行列式按行按列展開法則及其應用器材設備：多媒體設備課前檢查廳P題目學員姓名成績1行列式的定義2行列式的6條重要性質(zhì)教學內(nèi)容：本講主要介紹：1 .行列式的按行（列）展開法則；2 .掌握行列式的計算方法。教學方法與思路：1 .首先介紹

2、余子式和代數(shù)余子式的概念;2 .對于三階行列式，容易驗證：a11a12a13a22a23a21a23a21a23a21a22a23=a11一a12+a13a32a33a31a33a31a33a31a32a33可見一個三階行列式可以轉(zhuǎn)化成三個二階行列式的計算。由此容易想到：一個n階行列式是否可以轉(zhuǎn)化為若干個n1階行列式來計算？3 .給出一個特殊的n階行列式的計算方法，從而給出一個引理；4 .進而介紹行列式的按行（列）展開法則。教學中運用多媒體手段，講解、板書與教學課件相結(jié)合，以講解為教學步驟:1 .介紹余子式和代數(shù)余子式的概念;2 .引理；3 .行列式的按行（列）展開法則；4 .應用舉例。5 .

3、小結(jié)并布置作業(yè)。6行列式按行按列展開、行列式的按行按列展開法則以三階行列式為例，容易驗證：aiia21a31ai2a22a32ai3a23a33a22=aiia32a23a2i_ai2a33a3ia23,a2i+ai3a33a3ia23a33問題：一個n階行列式是否可以轉(zhuǎn)化為若干個n-i階行列式來計算？對于高階行列式也有同樣的結(jié)論。I.余子式：在n階行列式中，將元素a0所在的行與列的元素劃去，其余元素按照原來的相對位置構(gòu)成的n-1階行列式，稱為元素aj的余子式，記作Mj.2 .代數(shù)余子式：元素aj的代數(shù)余子式Aj=（-I）i4jMij.3 .引理：一個n階行列式，如果其中第i行所有元素除aj外

4、都為零，那末這行列式等于aj與它的代數(shù)余子式的乘積,即D=aijAj.這里首先舉一個實例說明其含義。（見多媒體）給出證明（見多媒體）。引ai2aina2ia22a2n定理3D=：;anian2ann=aiiAiai2A2an（i=i,2,n）板書標題于中央i2min一般說來，低階行列式的計算比高階行列式的計算要簡便，行列式的按行（按列）展開則可以實現(xiàn)將高階行列式轉(zhuǎn)化為低階行列式，這正是研究該問題的主要目的。注：行列式的每個元素都分別對應著一個余子式和一個代數(shù)余子式。=a“Aija2jA2jaAnj(j-1,2,n)證明：1）假定行列式D的第一行除a11外都是0,即aia2ania22IIIII

5、Ia2nIIIann由行列式定義，D中僅含下面形式的項(-1)(1/23包上2a3j3IMnjn二51(-1)(1/2川,*抽31|an25min其中（1產(chǎn)j2,j3川,jn）a2j2a3j3|anjn恰是M11的一般項，所以D=a11M11=an(-1)11M11=a11A2）設D的第i行除了兩外都是0,即a11IIIa1jIIIa1n+f+iFD=0IIII0:an1IManjIIIann把D的第i行依次與第i-1行，第i-2行，第2行,第1行進行交換；再將第j列與第j-1列，第j-2歹U,第2歹U,第1列交換，這樣共經(jīng)過（i1）+（j1）=i+j2次交換行與交換列的步驟。由性質(zhì)2,行列式

6、互換兩行（列）行列式變號，得aij*/、小-2D=(T)aT*anjIH0HIIHa-j.IHIHan”IH0aj,n=(T)jaijMijrrann此定理叫做行列式的按行按列展開定理.在計算數(shù)字行列式時，直接應用行列式展開公式并不一定簡化計算,n階行列式換成n個（n-1）階行列式的計3)一般情形D=a11ai1a12ai2HIHIa1nain=ai1a1140+IH+00a12F書II丑IIIIIIa1n0刑+0+ainanian2IIIannan1an201anna11a12HIAna11a1201a1na11a12IIIa1nai10III0+0ai2III0邙1+00HIain3n1a

7、n2IIIannan1an2IIIannan1an2IIIann=ai1A1+ai2Ai2書|(十a(chǎn)inAn證畢。定理4:行列式的任一行（列）的元素與另一行（列）的對應元素的代數(shù)余子式的乘積之各為零，即n工3ijAkj-0,k#i。ji證明：由定理3知，行列式等于某一行的元素分別與它們代數(shù)余子式的乘積之和。算并不減少計算量，只是在行列式中某一行或某一列含有較多的零時，應用展開定理才有意義。但展開定理在理論上是重要的。a11隊III加+44b+44I-ai1ai2111ain在D=+44b+44I-中，如果令第ak1ak2IIIakn+44b+44ban1an2Iann外一行，譬如第k行的元素，

8、則*a12i+ak1ak2ak1Ai1*ak2A2*aknAn=!ak1+ak2i+an1an2右端的行列式含有兩個相同的行，值為0i行的兀素等于另把D轉(zhuǎn)化為1）的情形IIIka1n4rIII4akn!riq利用行列式按Illaknhri4行按列展開定理，IIIann并結(jié)合行列式性綜上，得公式aklAl+ak2A2+111+aknAn（當k=i）（當k=i）質(zhì)，可簡化行列式計算：計算行列式ailAj,a2lA2jD,HianlAnj=0（當l=j）（當l二j）、應用舉例例5:計算行列式31-12513TD=201-11-53-3解:-12-5D=21-55=（-1）-11-54C1十3_11-

9、3-5-511r2+r1-62-50例6計算n階行列式a+bab1a+babDn=1三二+1解：將Dn按第一行展開，得-5-5aba+b時，可先用行列式的性質(zhì)將某一行（列）化為僅含1個非零元素，再按此行（列）展開，變-113-1103010=（-1）130為低一階的行列式，如此繼續(xù)下去，直到化為三階或二-62T25階的式。0.5二40Dn=(ab)Dnl-ab=(ab)DniDn遞推-aDn=b(Dn二1ab0a+bab+1+二,ab1a+b-abDn_2公m-aDn)=.=bn1D2n階寫為-aD1)于是有而D2=(a+b)2-ab,Di=a+b,DnDn-aDn-aDnJ=bn,整理得=b

10、n;Dn-aDnN=bn；Dn/-aDn工=bD2-aD1-b將上述等式兩端分別乘以2n_21,a,a，,a,然后再相加，得到n1Dn-aD1=bnnJn_2n_22abab.abDn-an4D1;bnabn4abn,整理得(n+1)an,Dn=1n+n書b-al.b-a例7證明范得蒙行列式8min11HI1XX2IIIXnDn=X2X2IIIX2n1n4I*n1X1X2IIIXn證明：用數(shù)學歸納法證。當n=2時，D2=X11X2H(Xi-Xj).ni.j.1=X2-X1=Jl.l(Xi-Xj),2.i.j.1(2)設n1階范德蒙德行列式成立，往證n階也成立。11III1111III1XX2IIIXn0X2X1X一XlIHXn-X2X12X2III2Xnrn-MnL0X2J2-X1)X3C(3-X1)IIIXn(Xn-X1)+7_1_斗為2+d.hI-nAX1nX2IIIn_1Xnr23r10X2(X2X1)n-2,X3(X3-X|)IIIXn/(Xn-X1)按第1列展開，并把每列的公因子(x-Xi)提出,DnIII二(X2-X1)(X3-X1)HI(Xn-X1)X2X3Xnn.2X2n_2X3IIIn_2Xn上式右端的行列式是一n-1階范得蒙行列式，故原式-(X2-X1)(X3-X1)HI(Xn-X1)11(Xi-Xj)=.(Xi-Xj)nJ.J.1證畢。