1、1.定義法N定義 ：設an 為數(shù)列， a 為定數(shù)，若對任給的正數(shù)，總存在正數(shù)N，使得當 nN時，有 an a，則稱數(shù)列an 收斂于 a . 記作： lim ana . 否則稱 an為發(fā)散數(shù)列 .n1例 1. 求證 lim a n1, 其中 a0 .n證：當 a1 時，結論顯然成立 .1n1當 a1 時，記a n1 ，則0 ，由 a1 n1 n(1)1n1a 1 ，任給a 111得 a n10 ，則當 nN 時，就有 an1，即 an1即n1lim a n1,n1 , 則b1110a1時，令 b1,由上易知 lim bn1,lim an11annlim bn當n1綜上， lim an1, a0n

2、例 2. 求 lim 7n n n!解：7n7 77 7 77 7 777 771n! 1 27 8 9n 1 n 7! n 6! n7n07710, N77 1, 則當 nN時，有 7n0771 <n!6! n6!n!6!n2. 利用柯西收斂準則柯西收斂準則：數(shù)列an 收斂的充要條件是：0,正整數(shù) N ，使得當 n, mN 時，有anam.例 3.證明：數(shù)列 xnnsink k (n 1,2,3, ) 為收斂數(shù)列 .k 12證1sin(m1)sin n111111xnxm(2n m)2m 12n2m 12n2m 112mm120 ，取 N1，當 nmN 時，有 xnxm由柯西收斂準則，

3、 數(shù)列 xn收斂 .例 4.（有界變差數(shù)列收斂定理）若數(shù)列xn 滿足條件xnxn1xn 1xn 2x2xM(n 1,2,)1，則稱xn 為有界變差數(shù)列，試證：有界變差數(shù)列一定收斂證：令y10, ynxnxn 1xn 1xn 2x2x1那么yn單調(diào)遞增，由已知知yn有界，故yn收斂，從而0,正整數(shù)N ，使得當 nmN 時，有ynym此即xnxmxnxn 1xn 1xn 2xm 1xm由柯西收斂準則， 數(shù)列xn 收斂 .注：柯西收斂準則把N 定義中的 an 與 a的關系換成了 an 與 am 的關系，其優(yōu)點在于無需借用數(shù)列以外的數(shù)a 只需根據(jù)數(shù)列本身的特征就可鑒別其斂散性.3運用單調(diào)有界定理單調(diào)有

4、界定理：在實數(shù)系中，有界的單調(diào)數(shù)列必有極限 1 .例 5. 證明數(shù)列 xnaaa （n 個根式 ,a>0,n=1,2,）極限存在，并求 lim xn .n證：由假設知 xnaxn 1（1）用數(shù)學歸納法易證： xn 1 xn , kN2此即證 xn 單調(diào)遞增 .用數(shù)學歸納法可證 xn 1xn ，事實上， 0xn 1a xnaa 1( a1)2a 1由（ 1）（2）證得 xn單調(diào)遞增有上界，從而 lim xnl 存在，對（ 1）式兩邊取極限得nla l,解得 l114a 和 l11 4a （舍去）22lim xn114a .n24利用迫斂性準則（即兩邊夾法）迫斂性：設數(shù)列an, bn都以 a

5、 為極限，數(shù)列cn 滿足：存在正數(shù) N ，當 n>N 時，有an cn bn ，則數(shù)列 cn收斂，且 lim cna .n例 6.求解：記 xn12n，則2n12n22nnnn n由迫斂性得 lim21222n= 1 .nnn1nn 2nnn 2注：迫斂性在求數(shù)列極限中應用廣泛，常與其他各種方法綜合使用，起著基礎性的作用.5利用定積分的定義計算極限黎曼積分定義：設為fx 定義在 a,b 上的一個函數(shù)， J為一個確定的數(shù)，若對任給的正數(shù)0 ，總存在某一正數(shù)，使得對 a, b 的任意分割 T, 以及在其上任意選取的點集ni ,ixi1, xi只要 T<，就有fixi J，i1則稱函數(shù)

6、fx 在 a,b上（黎曼）可積，數(shù) J為 fx在 a, b 上的定積分，記作Jbx dx .fa11例7.limn!n2n!nnn解：原式 = lim n2n !n 1n22nnlim nnnn! nnn12n1n1i=nlim111explimln 1nni 1 nnnnn=exp1x dxexp 2ln 21ln 10sinsin 2sin n例8. 求 limnnnn111nnnn2解：因為sinsin 2sin nsinsin 2sin nsinsin 2sin nnn1nnnnnnn 又nn1n1112nnnnsinsin 2sin nn1sin 2sin nlimnnnlimsin

7、nn1nn1nnnnsinnsin 2sin n12= limnnsin xdxnn10sinsin 2sin n2同理 limnnnn1nnsinsin 2sin n2由迫斂性得 limnnn=.n111nnn2n注：數(shù)列極限為“有無窮多項無窮小的和的數(shù)列極限，且每項的形式很規(guī)范”這一類型問題時，可以考慮能否將極限看作是一個特殊的函數(shù)定積分的定義 . 部分相關的數(shù)列極限直接利用積分定義可能比較困難，這時需要綜合運用迫斂性準則等方法進行討論。6利用（海涅）歸結原則求數(shù)列極限歸結原則： limfxA對任何 xnx0n，有 lim f xn Ax x0n例 9.求 lim e1 n1n1ne1 n1= lime1 ne0x'0解： lim1exn1n0nn=111n例 10. 計算 lim12nnn1nn解：一方面，1111e nnn2nnn2nn 21 1n 1 n 1 n 12另一方面，1n 1 n 1n n211n2n2由歸結原