1、3.2獨立性檢驗的獨立性檢驗的基本思想及其初基本思想及其初步應用（一）步應用（一）高二數(shù)學高二數(shù)學 選修選修2-3 第三章第三章 統(tǒng)計案例統(tǒng)計案例2 2定定量量變變量量回回歸歸分分析析（畫畫散散點點圖圖、相相關關系系數(shù)數(shù)r r、變變量量 相相關關指指數(shù)數(shù)R R 、殘殘差差分分析析）分分類類變變量量研究兩個變量的相關關系：定量變量：體重、身高、溫度、考試成績等等。定量變量：體重、身高、溫度、考試成績等等。變量 分類變量：性別、是否吸煙、是否患肺癌、變量 分類變量：性別、是否吸煙、是否患肺癌、 宗教信仰、國籍等等。宗教信仰、國籍等等。兩種變量：獨立性檢驗獨立性檢驗本節(jié)研究的是兩個分類變量的獨立性檢

2、驗問題。在日常生活中，我們常常關心在日常生活中，我們常常關心分類變量之間是否有關系分類變量之間是否有關系：例如，吸煙是否與患肺癌有關系？例如，吸煙是否與患肺癌有關系？ 性別是否對于喜歡數(shù)學課程有影響？等等。性別是否對于喜歡數(shù)學課程有影響？等等。 吸煙與肺癌列聯(lián)表吸煙與肺癌列聯(lián)表不患肺癌不患肺癌患肺癌患肺癌總計總計不吸煙不吸煙77757775424278177817吸煙吸煙20992099494921482148總計總計98749874919199659965為了調查吸煙是否對肺癌有影響，某腫瘤研究所隨機為了調查吸煙是否對肺癌有影響，某腫瘤研究所隨機地調查了地調查了99659965人，得到如下結

3、果（單位：人）人，得到如下結果（單位：人）列聯(lián)表列聯(lián)表在不吸煙者中患肺癌的比重是在不吸煙者中患肺癌的比重是 在吸煙者中患肺癌的比重是在吸煙者中患肺癌的比重是 說明：吸煙者和不吸煙者患肺癌的可能性存在差異，吸煙者患說明：吸煙者和不吸煙者患肺癌的可能性存在差異，吸煙者患肺癌的可能性大。肺癌的可能性大。0.54%0.54%2.28%2.28%探究探究不患肺癌不患肺癌患肺癌患肺癌總計總計不吸煙不吸煙7775427817吸煙吸煙2099492148總計總計98749199651、列聯(lián)表2、三維柱形圖3、二維條形圖不患肺癌患肺癌吸煙不吸煙不患肺癌患肺癌吸煙不吸煙0800070006000500040003

4、00020001000從三維柱形圖能清晰看出從三維柱形圖能清晰看出各個頻數(shù)的相對大小。各個頻數(shù)的相對大小。從二維條形圖能看出，吸煙者中從二維條形圖能看出，吸煙者中患肺癌的比例高于不患肺癌的比例?；挤伟┑谋壤哂诓换挤伟┑谋壤?。通過圖形直觀判斷兩個分類變量是否相關：不吸煙吸煙00.10.20.30.40.50.60.70.80.91不吸煙不吸煙吸煙吸煙患肺癌比例不患肺癌比例4、等高條形圖等高條形圖更清晰地表達了兩種情況下患肺癌的比例。 上面我們通過分析數(shù)據(jù)和圖形，得到的直觀印象是吸煙和上面我們通過分析數(shù)據(jù)和圖形，得到的直觀印象是吸煙和患肺癌有關，那么事實是否真的如此呢？患肺癌有關，那么事實是否真

5、的如此呢？這需要用統(tǒng)計觀點這需要用統(tǒng)計觀點來考察這個問題。來考察這個問題。 現(xiàn)在想要知道能夠以多大的把握認為現(xiàn)在想要知道能夠以多大的把握認為“吸煙與患肺癌有關吸煙與患肺癌有關”，為此先假設為此先假設 H0：吸煙與患肺癌沒有關系：吸煙與患肺癌沒有關系.不患肺癌不患肺癌患肺癌患肺癌總計總計不吸煙不吸煙aba+b吸煙吸煙cdc+d總計總計a+cb+da+b+c+d把表中的數(shù)字用字母代替，得到如下用字母表示的列聯(lián)表把表中的數(shù)字用字母代替，得到如下用字母表示的列聯(lián)表 用用A表示不吸煙，表示不吸煙，B表示不患肺癌，則表示不患肺癌，則“吸煙與患肺癌沒有關系吸煙與患肺癌沒有關系”等價于等價于“吸煙與患肺癌獨立

6、吸煙與患肺癌獨立”，即假設，即假設H0等價于等價于 P(AB)=P(A)P(B).因此因此|ad-bc|越小，說明吸煙與患肺癌之間關系越弱；越小，說明吸煙與患肺癌之間關系越弱； |ad-bc|越大，說明吸煙與患肺癌之間關系越強。越大，說明吸煙與患肺癌之間關系越強。不患肺癌不患肺癌患肺癌患肺癌總計總計不吸煙不吸煙aba+b吸煙吸煙cdc+d總計總計a+cb+da+b+c+dadbc即aa+ba+caa+ba+cnnnnnna+ba+bP(A),P(A),n na+ca+cP(B),P(B),n n.a aP(AB)P(AB)n n其中為樣本容量，即n n = =a a+ +b b+ +c c+

7、+d d在表中，在表中，a恰好為事件恰好為事件AB發(fā)生的頻數(shù)；發(fā)生的頻數(shù)；a+b和和a+c恰好分別為事恰好分別為事件件A和和B發(fā)生的頻數(shù)。由于頻率接近于概率，所以在發(fā)生的頻數(shù)。由于頻率接近于概率，所以在H0成立的條成立的條件下應該有件下應該有(a+b+c+d)a(a+b)(a+c), 為了使不同樣本容量的數(shù)據(jù)有統(tǒng)一的評判標準，基于上述分為了使不同樣本容量的數(shù)據(jù)有統(tǒng)一的評判標準，基于上述分析，我們構造一個隨機變量析，我們構造一個隨機變量-卡方統(tǒng)計量卡方統(tǒng)計量22(),()()()()其中為樣本容量。n adbcKab cdac bdnabcd（1） 若若 H0成立，即成立，即“吸煙與患肺癌沒有關

8、系吸煙與患肺癌沒有關系”，則，則K2應很小。應很小。根據(jù)表根據(jù)表3-7中的數(shù)據(jù)，利用公式（中的數(shù)據(jù)，利用公式（1）計算得到）計算得到K2的觀測值為：的觀測值為：那么這個值到底能告訴我們什么呢？那么這個值到底能告訴我們什么呢？242 209956.6327817 2148 9874 91k9965(7775 49）（2） 獨立性檢驗獨立性檢驗在在H0成立的情況下，統(tǒng)計學家估算出如下的概率成立的情況下，統(tǒng)計學家估算出如下的概率 即在即在H0成立的情況下，成立的情況下，K2的值大于的值大于6.635的概率非常小，近似的概率非常小，近似于于0.01。2(6.635)0.01.P K （2） 也就是說，

9、在也就是說，在H0成立的情況下，對隨機變量成立的情況下，對隨機變量K2思考 206.635?KH如果，就斷定不成立，這種判斷出錯的可能性有多大答：判斷出錯的概率為0.01。2009965 7775 49 42 2099566327817 2148 9874 91().kHH 現(xiàn)現(xiàn)在在觀觀測測值值太太大大了了，在在成成立立的的情情況況下下能能夠夠出出現(xiàn)現(xiàn)這這樣樣的的觀觀測測值值的的概概率率不不超超過過0 0. .0 01 1，因因此此我我們們有有9 99 9% %的的把把握握認認為為不不成成立立，即即有有9 99 9% %的的把把握握認認為為“吸吸煙煙與與患患肺肺癌癌有有關關系系”。判斷判斷 是

10、否成立的規(guī)則是否成立的規(guī)則0H如果如果 ，就判斷，就判斷 不成立，即認為吸煙與不成立，即認為吸煙與患肺癌有關系；否則，就判斷患肺癌有關系；否則，就判斷 成立，即認為吸煙成立，即認為吸煙與患肺癌有關系。與患肺癌有關系。6.635k 0H0H獨立性檢驗的定義獨立性檢驗的定義 上面這種利用隨機變量上面這種利用隨機變量K2來確定在多大程度上來確定在多大程度上可以認為可以認為“兩個分類變量有關系兩個分類變量有關系”的方法，稱為兩的方法，稱為兩個分類變量的個分類變量的獨立性檢驗獨立性檢驗。在該規(guī)則下，把結論在該規(guī)則下，把結論“ 成立成立”錯判成錯判成“ 不不成立成立”的概率不會差過的概率不會差過0H0H2

11、(6.635)0.01,P K 即有即有99%的把握認為的把握認為 不成立。不成立。0H獨立性檢驗的基本思想（類似獨立性檢驗的基本思想（類似反證法反證法）(1)(1)假設結論不成立假設結論不成立, ,即即 “ “兩個分類變量沒有關系兩個分類變量沒有關系”. .0:H(2)(2)在此假設下我們所構造的隨機變量在此假設下我們所構造的隨機變量 K K2 2 應該很小應該很小, ,如果由如果由觀測數(shù)據(jù)計算得到觀測數(shù)據(jù)計算得到K K2 2的觀測值的觀測值k k很大很大, ,則在一定可信程度上則在一定可信程度上說明說明 不成立不成立. .即在一定可信程度上認為即在一定可信程度上認為“兩個分類變量有兩個分類

12、變量有關系關系”；如果；如果k k的值很小，則說明由樣本觀測數(shù)據(jù)沒有發(fā)現(xiàn)反的值很小，則說明由樣本觀測數(shù)據(jù)沒有發(fā)現(xiàn)反對對 的充分證據(jù)。的充分證據(jù)。0H0H(3)(3)根據(jù)隨機變量根據(jù)隨機變量K K2 2的含義的含義, ,可以通過評價該假設不合理的可以通過評價該假設不合理的程度程度, ,由實際計算出的由實際計算出的, ,說明假設不合理的程度為說明假設不合理的程度為1%,1%,即即“兩兩個分類變量有關系個分類變量有關系”這一結論成立的可信度為約為這一結論成立的可信度為約為99%.99%.怎樣判斷怎樣判斷K K2 2的觀測值的觀測值k是大還是小呢？是大還是小呢？ 這僅需要確定一個正數(shù)這僅需要確定一個正

13、數(shù) ，當，當 時就認為時就認為K K2 2的觀測的觀測值值 k大。此時相應于大。此時相應于 的判斷規(guī)則為：的判斷規(guī)則為：0k0kk0k如果如果 ，就認為，就認為“兩個分類變量之間有關系兩個分類變量之間有關系”；否則；否則就認為就認為“兩個分類變量之間沒有關系兩個分類變量之間沒有關系”。0kk0k-臨界值臨界值按照上述規(guī)則，把按照上述規(guī)則，把“兩個分類變量之間沒有關系兩個分類變量之間沒有關系”錯誤的判斷錯誤的判斷為為“兩個分類變量之間有關系兩個分類變量之間有關系”的概率為的概率為P( ).20Kk在實際應用中，我們把在實際應用中，我們把 解釋為有解釋為有的把握認為的把握認為“兩個分類變量之間有關

14、系兩個分類變量之間有關系”；把；把 解釋為解釋為不能以不能以 的把握認為的把握認為“兩個分類變量兩個分類變量之間有關系之間有關系”，或者樣本觀測數(shù)據(jù)沒有提供，或者樣本觀測數(shù)據(jù)沒有提供“兩個分類變量兩個分類變量之間有關系之間有關系”的充分證據(jù)。的充分證據(jù)。0kk2(1() 100%P Kk0kk2(1() 100%P Kk思考：思考： 利用上面的結論，你能從列聯(lián)表的三維柱形圖中利用上面的結論，你能從列聯(lián)表的三維柱形圖中看出兩個分類變量是否相關呢？看出兩個分類變量是否相關呢？表表1-11 2x2聯(lián)表聯(lián)表 一般地，假設有兩個分類變量一般地，假設有兩個分類變量X和和Y，它們的值域，它們的值域分別為分別

15、為x1,x2和和y1,y2,其樣本頻數(shù)列聯(lián)表（稱為其樣本頻數(shù)列聯(lián)表（稱為2x2列列聯(lián)表）為：聯(lián)表）為：y1y2總計總計x1aba+bx2cdc+d總計總計a+cb+da+b+c+d 若要判斷的結論為：H1：“X與Y有關系”，可以按如下步驟判斷H1成立的可能性：aabccd2、可以利用獨立性檢驗來考察兩個分類變量是否有關系，并、可以利用獨立性檢驗來考察兩個分類變量是否有關系，并且能較精確地給出這種判斷的可靠程度。且能較精確地給出這種判斷的可靠程度。1、通過三維柱形圖和二維條形圖，可以粗略地判斷兩個變、通過三維柱形圖和二維條形圖，可以粗略地判斷兩個變量是否有關系量是否有關系,但是這種判斷無法精確地

16、給出所得結論的可靠但是這種判斷無法精確地給出所得結論的可靠程度。程度。 （1）在三維柱形圖中，）在三維柱形圖中， 主對角線上兩個柱形高度的乘積主對角線上兩個柱形高度的乘積ad與副對角線上兩個柱形高度的乘積與副對角線上兩個柱形高度的乘積bc相差越大，相差越大，H1成立的成立的可能性就越大?？赡苄跃驮酱?。 （2）在二維條形圖中）在二維條形圖中,可以估計滿足條件可以估計滿足條件X=x1的個體中具的個體中具有有Y=y1的個體所占的比例的個體所占的比例 ，也可以估計滿足條件，也可以估計滿足條件X=x2的個體中具有的個體中具有Y=y1的個體所占的比例的個體所占的比例 。兩個比例相差越。兩個比例相差越大，大，H1成立的可能性就越大。成立的可能性就越大。aabccd在實際應用中，要在獲取樣本數(shù)據(jù)之前通過下表確定臨界值：在實際應用中，要在獲取樣本數(shù)據(jù)之前通過下表確定臨界值：0.500.400.250.150.100.455 0.7081.3232.0722.7060.050.0250.0100.0050.0013.84