1、似真推理的其他形式（9） 習(xí)題與評(píng)注（2）14假如未知數(shù)的性質(zhì)受適當(dāng)?shù)难a(bǔ)充條件的限制，那么一個(gè)方程式就可能確定若干個(gè)未知數(shù)。比如，如果x、y和z都是實(shí)數(shù)，那么，它們完全可以由方程確定，求滿足方程x2+y2=128的正整數(shù)x、y的所有數(shù)組。15求滿足方程的正整數(shù)x、y、z、w的所有數(shù)組。16一般情況。研究含有三個(gè)未知數(shù)的三個(gè)線性方程的方程組：設(shè)十二個(gè)已知數(shù)a1，b1，c1，d1，a2，d3都是實(shí)數(shù)。如果它只有一組解（只有一組能滿足該方程組的三個(gè)數(shù)x、y、z），該方程組則稱(chēng)為是確定的。如果有無(wú)窮組解，該方程組則稱(chēng)為是不定的。如果沒(méi)有解，則稱(chēng)為不相容的。從各種觀點(diǎn)來(lái)看，確定的方程組是一般的、常見(jiàn)的、

2、正常的、規(guī)則的情況，而其他情況則是例外的、不常見(jiàn)的、不正常的、不規(guī)則的。(a)在幾何學(xué)中，我們可以把三個(gè)數(shù)x、y、z的組（x，y，z）解釋為直角坐標(biāo)系里的一個(gè)點(diǎn)，把各個(gè)方程看作能夠滿足它的諸點(diǎn)的集合，即平面。（實(shí)際上，對(duì)于這種解釋?zhuān)覀儽仨毤俣ǜ鱾€(gè)方程的左邊至少要有一個(gè)非零的系數(shù)，我們就是這樣假設(shè)的。）如果三個(gè)平面只有一個(gè)公共點(diǎn)，方程組則是確定的。當(dāng)它們有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，它們也就有一條公共的直線，這樣，方程組則是不確定的。當(dāng)三個(gè)平面都平行于同一條直線，但是沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，方程組則是不相容的。假如三個(gè)平面位于“一般位置”，即它們是“隨意選擇”的，那么，它們就只有一個(gè)共同點(diǎn)，而方程組就是確定的。(b)

3、在代數(shù)中，當(dāng)且僅當(dāng)方程左邊九個(gè)系數(shù)組成的行列式不等于零的情況下，三個(gè)方程的方程組才是確定的。因此，如果未對(duì)系數(shù)附加上特別的條件或以方程的形式加以限制，方程組就是確定的。(c)我們可以把九個(gè)（實(shí)的）系教（a1，a2，a3，b1，c3）的組，解釋為九維空間中的一個(gè)點(diǎn)。非確定的（不定的或不相容的）方程組所對(duì)應(yīng)的各個(gè)點(diǎn)可以滿足一個(gè)等式（行列式=0），這就意味著：它們可以構(gòu)成較低維的流形（八維的“超曲面”）。(d)永遠(yuǎn)難以置信，偶然給定的有三個(gè)未知數(shù)的三個(gè)方程組，竟會(huì)是不確定的。參見(jiàn)習(xí)題1423。17分別研究五種正多面體的內(nèi)切球和外接球，并且計(jì)算它們半徑的比。18假如我們交換正方體和正八面體或者正十二面

4、體和正二十面體的位置。表中的第（3）列依然不變。這種不確定性對(duì)于刻卜勒的理論必定是本質(zhì)上的困難。然而，刻卜勒在尋找這五種優(yōu)美的正多面體之一之所以必定比另一種更為高貴，同時(shí)占有統(tǒng)治地位（如同男爵統(tǒng)治準(zhǔn)男爵一樣）的原因時(shí)，曾經(jīng)表現(xiàn)出特殊的發(fā)明才能。請(qǐng)找出可以使刻卜勒曾經(jīng)安置在地球軌道外圍的三個(gè)多面體與他安置在該軌道內(nèi)的兩個(gè)多面體相區(qū)別的某個(gè)簡(jiǎn)單的幾何特性。19沒(méi)有一種思想是確實(shí)無(wú)益的?！氨M管許多猜測(cè)看來(lái)是錯(cuò)誤的，但是總歸是有益的，因?yàn)樗梢砸龈玫牟聹y(cè)來(lái)。”“只要我們不是不加批判地一概接受，那么，就沒(méi)有一種思想是確實(shí)無(wú)益的。頭腦空空如也，這才是真正糟糕的?！蔽?guī)缀跆焯於加眠@些格言來(lái)安慰某個(gè)持有任

5、何一種正當(dāng)?shù)娜欢字傻南敕ǖ膶W(xué)生。這些格言無(wú)論是對(duì)日常司空見(jiàn)慣的情況，還是對(duì)科學(xué)研究，都是適用的。對(duì)刻卜勒的例子來(lái)說(shuō)，它們更是再適合不過(guò)的。對(duì)刻卜勒本身而言，他從中世紀(jì)的觀點(diǎn)到現(xiàn)代觀點(diǎn)的獨(dú)特的思想轉(zhuǎn)變（把六大行星與五個(gè)正多面體配合起來(lái)）顯得異常驚人。然而，我卻無(wú)法想象作為刻卜勒同時(shí)代人的伽利略能有如此思想。在具有現(xiàn)代理智的我們看來(lái)，這種思想從一開(kāi)頭就顯得相當(dāng)糟糕，因?yàn)樗覀儗?duì)自然界的所有其他知識(shí)關(guān)系太少了。即使刻卜勒的推測(cè)能夠與觀測(cè)的情況有比較符合之處，它獲得的支持仍是微弱的，因?yàn)樗鼪](méi)有獲得來(lái)自其他無(wú)論哪一種已知來(lái)源的類(lèi)比的支持。盡管刻卜勒的猜測(cè)結(jié)果是錯(cuò)誤的，但是它對(duì)于過(guò)渡到更好的猜測(cè)無(wú)疑是

6、有益的。這種猜測(cè)引導(dǎo)刻卜勒更加認(rèn)真細(xì)致地去研究行星的平均距離、軌道和公轉(zhuǎn)周期，他期望為它們找到任何一種諸如此類(lèi)的“解釋”，這樣一來(lái)，猜測(cè)最張終導(dǎo)致了著名的刻卜勒行星運(yùn)動(dòng)定律的發(fā)現(xiàn)，也引出了牛頓以及我們整個(gè)現(xiàn)代科學(xué)的觀點(diǎn)。20若干種一般的啟發(fā)性的假設(shè)。這個(gè)題目本來(lái)應(yīng)該更充分地予以說(shuō)明，但是，我們必須限制在很簡(jiǎn)短的篇幅和扼要的評(píng)論之中。當(dāng)我們?cè)凇皩?shí)用的”，難免有幾分含糊的意義上解釋“一般說(shuō)來(lái)”這個(gè)詞語(yǔ)時(shí)，我們務(wù)必小心謹(jǐn)慎?！叭绻谝粋€(gè)方程組中，方程式與未知數(shù)一樣多，那么，一般說(shuō)來(lái)未知數(shù)就是確定的?！比绻谝粋€(gè)問(wèn)題中，條件與它所擁有的參數(shù)一樣多，那么，就可以合理是著手作一定向的假設(shè)，即此問(wèn)題有解。比

7、如說(shuō)，n個(gè)變數(shù)的二次式有n(n+1)/2個(gè)系數(shù)，而n個(gè)變數(shù)的正交變換取決于n(n-1)/2個(gè)參數(shù)。因此，認(rèn)為依適當(dāng)?shù)恼蛔儞Q，任意n個(gè)變數(shù)的二次式都可以化成表達(dá)式式中y1，y2，yn是由變換引入的新的變數(shù)，而則是適當(dāng)?shù)膮?shù)。這從一開(kāi)始就相當(dāng)似真，實(shí)際上這個(gè)式子取決于n個(gè)參數(shù)，而。在n=2和n=3的特例中對(duì)這個(gè)推測(cè)所作的論證之后產(chǎn)生的這個(gè)看法，以及這些特例的幾何意義的解釋?zhuān)寄軌蚣て痤H大的信賴(lài)，使我們相信它在一般情況下也是真實(shí)可信的?！皟蓚€(gè)極限的運(yùn)算，一般說(shuō)來(lái)，是可以交換的。”假如這兩個(gè)極限的運(yùn)算之中，一種是求無(wú)窮級(jí)數(shù)的和，另一種是積分法，那么，我們就有曾在7中談到過(guò)的一種情形?！敖咏跇O限時(shí)是

8、正確的東西，一般說(shuō)來(lái)，它在極限時(shí)也必然是正確的?！比绻阎猘n0和，那么，我們不能得出a0；而只能說(shuō)是正確的。我們可以把曲線看作內(nèi)接折線的極限，把曲面看作內(nèi)接多面體的極限。把曲線的長(zhǎng)度當(dāng)成內(nèi)接折線長(zhǎng)度的極限進(jìn)行計(jì)算，可以獲得正確的結(jié)果；然而，把曲面的面積當(dāng)成內(nèi)接多面體表面積的極限進(jìn)行計(jì)算，卻可能得出錯(cuò)誤的結(jié)果。盡管所說(shuō)的啟發(fā)法原則很容易使我們誤入迷津，但是，它仍然是培育各種新思想的最肥沃的土壤。例如，可見(jiàn)習(xí)題924?！霸陂_(kāi)始時(shí)，可以把未知的函數(shù)看成是單調(diào)的?！痹?中，我們?cè)创私ㄗh研討過(guò)一個(gè)類(lèi)似實(shí)例，那時(shí)我們假定一個(gè)立體的體積是隨著其形狀的變化而變化的，并且被引入歧途。雖然如此，上述的原則仍然

9、經(jīng)常是有益的?；蛟S，我們需要證明這樣一個(gè)不等式。這里aT2。經(jīng)過(guò)一番加工后，這個(gè)不等式看來(lái)與下式是等價(jià)的：我們?cè)诖思俣āＮ覀兛梢园磆的乘冪展開(kāi)等式的兩邊，來(lái)嘗試證明這個(gè)不等式。最簡(jiǎn)單（或“最樂(lè)觀”）的可能是什么呢？23數(shù)值計(jì)算與工程師。外行人總以為科學(xué)家的數(shù)值計(jì)算是沒(méi)有誤差的，但是枯燥無(wú)味。實(shí)際上，一位科學(xué)家的數(shù)值計(jì)算可能帶著誘人的冒險(xiǎn)味道，然而并不可靠。古代的天文學(xué)家和現(xiàn)代的工程師們都試圖借助于不太熟悉的數(shù)學(xué)工具獲取對(duì)于一知半解的各種現(xiàn)象的數(shù)值結(jié)果。這種嘗試遭到挫折是不足為奇的；更令人驚訝的是他們往往會(huì)獲得成功。這里就有一個(gè)典型的實(shí)例，（此處省略掉的技術(shù)細(xì)節(jié)，將在另外一處發(fā)表。）一位工程師想

10、計(jì)算與邊長(zhǎng)為1的正方形有關(guān)系的物理量Q。（實(shí)際上，Q是具有正方形橫截面的橫梁的扭轉(zhuǎn)剛度，不過(guò)，讀者沒(méi)有必要了解這一點(diǎn)，其實(shí)，他甚至也無(wú)須知道什么叫扭轉(zhuǎn)剛度。）精確的解常常會(huì)遇到數(shù)學(xué)方面的困難，因此，我們這位工程師如同其他工程師們時(shí)常采取的方法一樣，即訴諸近似法。他依照著一定的近似法，把已知的正方形分成為相等的“元素”，即分成為n2個(gè)面積為1/n2的較小正方形。（在求二重積分的近似值時(shí)，我們也是以類(lèi)似的方式把已知的面積劃分成元素。）有理由期望當(dāng)n趨向于無(wú)窮大時(shí)，其近似值也一定更趨向于真值。然而，實(shí)際上，計(jì)算方面的困難是隨著n的增大而迅速增大的，并且很快會(huì)成為難以克服的。這位工程師只分析n=2、3、4、5的特例，并且獲得Q的對(duì)應(yīng)的近似值：0.0937，0.1185，0.1279，0.1324。我們不可忘記：這些數(shù)字分別對(duì)應(yīng)于我們用來(lái)計(jì)算的較小正方形的面積值1/4，1/9，1/16，1/25。工程師用圖象法表達(dá)這些結(jié)果。他決定把求得的Q的各近似值作為縱坐標(biāo)畫(huà)出來(lái)，但是，在選擇橫坐標(biāo)時(shí)，他卻猶豫不決了。起初，他試以n為橫坐標(biāo)，然后以1/n，最后以1/n2（這是用于近似法的小正方形的面積數(shù)值）；分別見(jiàn)于圖114、115和116。最后一種選擇為最佳；圖116上的四個(gè)點(diǎn)近似地排列在一條直線上。工程師察覺(jué)到這