1、通過線性代數(shù)課程設計 實現(xiàn)能力培養(yǎng)功能    摘 要 線性代數(shù)作為非數(shù)學專業(yè)的重要基礎課程，在培養(yǎng)與訓練學生能力方面有著重要作用。從教學安排與設計的角度探討如何實現(xiàn)線性代數(shù)課程在培養(yǎng)學生探究、分析與解決問題能力方面的功能。關鍵詞 線性代數(shù)；課程設計；能力培養(yǎng)中圖分類號：G642.4 文獻標識碼：B 文章編號：1671-489X(2011)30-0029-03Achieving Comprehensive Capacity-building by Course Designed of Linear Algebra/Dai LihuiAbstrac

2、t Linear Algebra is one of the main college basic courses, which plays an important role in capacity-building. This article discusses the teaching arrangements and designs how to contribute the function of linear algebra in training the students capacity of exploring, analyzing and solving problems.

3、Key words linear algebra; teaching arrangements and design; capacity-buildingAuthors address School of Management, Beijing University of Chinese Medicine, Beijing, China 100029線性代數(shù)作為一個重要的數(shù)學分支，主要討論矩陣理論、與矩陣相結(jié)合的有限維向量空間及線性變換理論，并隨著計算機的日益發(fā)展和普及，被廣泛應用于科學技術(shù)的各個領域。與其他大學數(shù)學課程相比，由于線性代數(shù)本身所具有的某些特點，如其概念抽象不易理解，性質(zhì)、規(guī)律、

4、定理及結(jié)論極其豐富，且知識點間相互聯(lián)系密切、縱橫交錯等，往往使學生感到學習難度很大，并極易產(chǎn)生畏懼心理。但如果對課程安排及講授方式設計得當，則該課程不但可以使學生很好地掌握線性代數(shù)的基本概念、基本理論和基本運算技能，為學習后繼課程奠定必要的數(shù)學基礎，同時也可以使之成為培養(yǎng)和訓練學生探究、分析與解決問題能力的有力工具。1 從對定義的理解入手，培養(yǎng)學生由表及里、深入觀察、正確推理、發(fā)現(xiàn)問題的能力線性代數(shù)的許多定義非常抽象，其中又往往包含一些關鍵的假設或條件，如果不能充分領會則難以理解掌握。但從另一方面，這也給教師引導學生，通過分析定義的文字表述，由表及里，抓住關鍵，從而對學生進行能力培養(yǎng)創(chuàng)造了機會

5、。如矩陣乘法的定義中，設，則乘積矩陣C=AB的第i行第j列元定義為：對這一定義，學生最初往往摸不著頭腦，可適時進行逐步深入的啟發(fā)式提問：是否任意兩個矩陣都可以相乘？什么樣的矩陣可以相乘？乘積矩陣的形狀如何？學生可能會發(fā)現(xiàn)對兩個相乘矩陣A、B的形狀有所要求，但為什么如此要求，可能并不會深入考慮。教師可首先引導學生分析式中的與分別代表什么？再進一步引導學生分析表達式的含義是什么？由此可獲得哪些結(jié)論或信息？式可語言敘述為乘積矩陣C的第i行第j列元等于矩陣A的第i行各元與矩陣B的第j列各元對應相乘再求和，其中。這說明矩陣乘法C=AB中要求A的各行與B的各列有相同的元個數(shù)（否則無法對應相乘），即A的列數(shù)

6、必須等于B的行數(shù)（關鍵條件）。尋此思路，則在乘法中矩陣A、B的位置不能隨意交換（可在后面的例子或練習中讓學生進一步體會），而由i與j的取值可知乘積矩陣C與A行數(shù)相同而與B的列數(shù)相同。再如逆矩陣的定義，對于矩陣A，只要存在矩陣B，使AB=BA=E，則A可逆，B為A的逆矩陣。這一定義雖形式上比較簡單，卻隱含大量信息。教師仍可采用啟發(fā)式提問的方式進行引導：定義觀察是否任意矩陣均可逆？可逆矩陣對形狀有什么要求？如果一個矩陣可逆，它有幾個逆矩陣？定義中矩陣A與B的關系是怎樣的？首先，通過觀察可以發(fā)現(xiàn)A與B為可交換矩陣，因此它們一定為同階方陣，換言之，不是方陣不可逆；其次，若B與C均為A的逆矩陣，則由B=

7、BE=B(AC)=(BA)C=EC=C，可知B=C，即A的逆矩陣唯一；最后，從式可以看出，A與B具有完全對稱的關系，如果B為A的逆矩陣，則A亦為B的逆矩陣。2 由特殊到一般，通過觀察發(fā)現(xiàn)問題或規(guī)律，并歸納、引申得出結(jié)論，培養(yǎng)學生觀察與探索能力數(shù)學中的很多規(guī)律性結(jié)論都是通過觀察發(fā)現(xiàn)的，觀察法是研究問題最基本、最普遍的方法，線性代數(shù)亦是如此。通過觀察獲得結(jié)論的過程似乎更符合人類對事物認知的規(guī)律。很多學生在學習過程中認為線性代數(shù)過于抽象，難度大的原因，往往也是由于在教師授課或教材的編排過程中，大部分的定理和結(jié)論（命題）總是以代數(shù)符號表達式的形式首先展現(xiàn)，然后才開始進一步的嚴密的邏輯證明或解釋說明。后

8、者當然是培養(yǎng)與訓練邏輯思維能力的很好工具，且很多命題也確實是由純粹的邏輯推理得出，但這樣的學習過程顯然不太符合普通人的認知規(guī)律，更何況很多證明過程或關鍵步驟完全可以借助觀察來形成，觀察往往是還原發(fā)現(xiàn)的過程。問題設計：如果，請問是否線性相關？題目中出現(xiàn)兩組向量（）和（），根據(jù)線性相關的定義，問題可表述為：是否存在不全為零的，使成立？將代入并整理得：顯然，只要存在不全為零的使成立，即只要齊次線性方程組存在非零解，則成立，從而存在不全為零的使成立，即線性相關。通過觀察發(fā)現(xiàn)，無論中未知量的系數(shù)如何（這些系數(shù)由原問題中表達式的系數(shù)決定），由于方程的個數(shù)2小于未知量的個數(shù)3，故一定存在非零解。通過可以看出

9、，中方程的個數(shù)就是組（）所含向量的個數(shù)；由知，中未知量的個數(shù)又正好對應原問題中組（）的向量個數(shù)；而則表明組（）可由組()線性表示。因此，將所有觀察到的結(jié)果歸納，可得出結(jié)論：向量組（）可由向量組（）線性表示，且組（）所含向量個數(shù)超過組（），則組（）線性相關。而這一命題恰恰是向量組及其秩部分相當重要的一個定理。3 運用知識的遷移與類化，在促進知識掌握、加深知識理解的同時，培養(yǎng)學生的自主學習能力“知識遷移”是利用新舊知識間的聯(lián)系，啟發(fā)學生進行新舊知識對照，由舊知識去思考、領會新知識，學會學習的方法；“知識類化”就是要概括、歸納出同類知識的共同要素和共同特征，掌握同類知識的基本原理、基本規(guī)律，再進行類

10、比推理的過程。知識遷移與類化的具體形式可以是在學習過程中采用不同知識點間對比及類推的方法。由于線性代數(shù)與數(shù)學其他分支（如解析幾何）之間、線性代數(shù)的各個組成部分之間相互聯(lián)系密切，所以可進行對比與類推的知識點也特別豐富，這在為教學中采用知識類化與遷移方法創(chuàng)造有利條件的同時，也可以逐漸訓練并形成學生自主獲取知識的能力，為其今后適應社會并尋求發(fā)展奠定基礎。線性代數(shù)中最常見的可進行對比或類推學習的有矩陣運算與數(shù)的運算、行列式與矩陣、矩陣與向量、幾何空間中的向量與n維向量、直角坐標系與基等。通過對比或類推可以發(fā)現(xiàn)，在矩陣運算規(guī)則中，矩陣的加、減及數(shù)乘運算規(guī)律與數(shù)的相應運算（加、減、乘）規(guī)律相似；矩陣運算中

11、與數(shù)的除法（倒數(shù)）運算對應的是求矩陣的逆，但其條件更為苛刻；矩陣的乘法運算是特殊定義的，與數(shù)的乘法相比，不滿足交換律及消去律；矩陣的轉(zhuǎn)置則是其特有的運算。行列式與矩陣（方陣），二者形式上非常接近，但有本質(zhì)的區(qū)別：行列式是表達式，可以看成一個數(shù)，而方陣是一個數(shù)表，各元素間獨立，但可計算其行列式的值。此外，矩陣的線性運算與初等變換均與行列式性質(zhì)有可對比之處。而對矩陣與向量的關系，首先可將向量可看做特殊的矩陣（只有1行/列），因此矩陣的任何運算規(guī)則亦對向量成立（只要運算有意義）；其次還可將矩陣看做由行（列）向量構(gòu)成的向量組，則矩陣的行初等變換相當于行向量間的線性運算，而經(jīng)行化簡后階梯形矩陣存在零行相

12、當于行向量組線性相關。顯然，這種對比與類推學習的方法可以更加鞏固知識點間的相互聯(lián)系與銜接。4 用聯(lián)系的觀點觀察、分析問題，培養(yǎng)學生的系統(tǒng)思維能力線性代數(shù)的各個組成部分不是孤立存在，而是互相聯(lián)系、互為因果的，各知識點間的聯(lián)系往往非常密切。有些知識如果孤立地學習常常讓人感覺抽象，難以理解接受，但如果能建立知識點間的系統(tǒng)聯(lián)系，從多個側(cè)面加深理解，則可達到融會貫通。用聯(lián)系的觀點對事物進行觀察、分析，也是人們認識世界的有效手段，在教學過程中應引導學生充分體會并發(fā)現(xiàn)這些聯(lián)系，培養(yǎng)他（她）們的系統(tǒng)觀念。如向量組的線性相關性及其相關問題往往是學生覺得最抽象的概念和問題之一，可以先從所謂線性組合問題開始，向量能

13、否由向量與線性表示？顯然，如果假設，上述問題轉(zhuǎn)化為是否存在適當?shù)氖钩闪?；?jīng)適當變形后，發(fā)現(xiàn)該問題進一步轉(zhuǎn)化為以為增廣矩陣的線性方程組是否有解的問題，即建立線性組合與線性方程組解之間的聯(lián)系；再進一步考慮到如果為零向量，則與式聯(lián)系的是一個齊次線性方程組，由于對齊次方程組更關心其是否有非零解，即是否存在不全為零的使成立，顯然，這就是線性相關與無關的問題。當然，教師還可以引導學生從線性方程組中各方程是否獨立這個角度加深對線性相關與無關的理解，線性方程組中獨立的方程，在其增廣矩陣中對應一個行向量組的極大無關組，獨立方程的個數(shù)就是增廣矩陣的行秩。5 通過恰當?shù)膯栴}設計與針對性訓練，培養(yǎng)并提高學生綜合運用所

14、學知識分析和解決問題的能力解決問題的過程，就是統(tǒng)籌考慮與充分利用所掌握的信息、材料與方法，在正確分析的基礎上，根據(jù)問題的特點選擇方案加以解決。解決問題的能力，首先以獲得相應的知識與技能為基礎，但更重要的體現(xiàn)在于綜合運用所掌握的知識與技能，尋找、設計最佳解決方案并加以實施的能力。通過學習和模仿他人解決問題的思路與過程，可以一定程度提高學生問題解決能力；此外，也可以利用恰當設計的問題進行有針對性的訓練，從而培養(yǎng)和提高學生分析與解決問題的能力。如從下列各組向量中選出線性無關的向量組（單項選擇）：解決這一問題，首先要熟悉向量組線性相關與無關的定義和相關結(jié)論。線性相關與無關的定義是解決這類問題的最基本方

15、法，但不是唯一方法，對于特定問題更不一定最佳方法。此處，利用線性相關的一些重要結(jié)論可能更為方便。如A組向量個數(shù)為3，小于維數(shù)2，故相關；E組雖為3維，但最后一個分量均為0，所以情況與A組相同；B組因含零向量，故相關；D組中第一與第三兩個向量對應分量成比例，即部分組相關，故整個組相關。因此，利用排除法可知，C組線性無關。但若將向量組C中各向量的最后一個分量去掉的話，所形成的新向量組顯然也是無關的，故可直接得出向量組C線性無關的結(jié)論。6 結(jié)語筆者認為，對于非數(shù)學專業(yè)尤其是管理專業(yè)的學生而言，線性代數(shù)作為大學生通識教育的基礎課程，對學生能力培養(yǎng)與素質(zhì)訓練方面的重要性至少不亞于使之系統(tǒng)掌握線性代數(shù)基本

16、知識這一教學要求本身。某些情況下前者甚至更為重要。因為任何一門大學數(shù)學課程包括線性代數(shù)都有很強的應用背景，但這并不意味相應的知識對每一個學生來講都是“有用的”，因為他們在未來的學習、生活或工作中很可能確實不需要應用這些知識，尤其在其后續(xù)課程并不需要以此為基礎，或其本人也沒有考研要求的情況下。但一個人學習與思維以及分析與解決問題的能力或素質(zhì)卻完全可以受用終生。而且，即便窮盡大學時期的所有課時用來講授所謂“有用的”知識，最終又有多少是真正有效的呢？更何況在信息化、全球化的時代，知識的快速更新甚至爆炸是一種常態(tài)。因此，教師更應該有意加強學生能力的訓練，并有針對性地對教學內(nèi)容與方式進行設計。參考文獻1盧剛.線性代數(shù)M.3版.北京:高等教育出版社,2009.2韋蘭英,張振強.基于應用能力培養(yǎng)的“線性代數(shù)”教學探討J.職業(yè)與教育,2010(23):137-138.3吳志丹.淺談線性代數(shù)教學中