1、161 面積矩與形心位置面積矩與形心位置62 慣性矩、慣性積、極慣性矩慣性矩、慣性積、極慣性矩63 慣性矩和慣性積的平行移軸定理慣性矩和慣性積的平行移軸定理第六章 截面的幾何性質64 慣性矩和慣性積的轉軸定理慣性矩和慣性積的轉軸定理* 截面的主慣性軸和主慣性矩截面的主慣性軸和主慣性矩6-1 6-1 面積矩與形心位置面積矩與形心位置一、面積（對軸）矩：（于力矩類似）是面積與它到軸的距離之積。PnPnWMGIMANmaxmaxmaxmax ; ; ydAdSx xdAdSy AAyyAAxxxdAdSSydAdSS二、形心：（等厚均質板的質心與形心重二、形心：（等厚均質板的質心與形心重合。）合。）

2、)(AAyyAAxxiiii正正負負面面積積法法公公式式累累加加式式 : iixiiyyAyASxAxASy x ASAy d AAtd Ay tmy dmASAx d AAt d Ax tmx dmxAAmyAAmr rr rr r r r :質心質心等厚等厚均質均質等厚等厚均質均質xy等于形心坐標等于形心坐標212121AAAxAxAAxxii 例 I-1-1 是確定下圖的形心。xy解 ： 組合圖形，用正負面積法解之。1、用正面積法求解，圖形分割及坐標如圖（a）3 .201080110101101035 7 .341080110101101060 yC1（0，0）C2（-35，60）圖（a

3、）C2C1C12、用負面積法求解，圖形分割及坐標如圖（b）3 .201107080120)11070(5 圖（b）負面積C2xyC1C1（0，0）C2（5，5）212121AAAxAxAAxxii 6-2 慣性矩、慣性積、極慣性矩慣性矩、慣性積、極慣性矩一、慣性矩：（與轉動慣量類似）是面積與它到軸的距離的平方一、慣性矩：（與轉動慣量類似）是面積與它到軸的距離的平方之積。之積。 AyAxdAxIdAyI22二、極慣性矩：是面積對極點的二次矩。二、極慣性矩：是面積對極點的二次矩。yxAPIIdAI 2r r三、慣性積：面積與其到兩軸距離之積。三、慣性積：面積與其到兩軸距離之積。 AxyxydAI！

4、如果！如果 x 或或 y 是對稱軸，則，是對稱軸，則，Ix y =06-3 慣性矩和慣性積的平行移軸定理慣性矩和慣性積的平行移軸定理一、平行移軸定理：（與轉動慣量的平行移軸定理類似）一、平行移軸定理：（與轉動慣量的平行移軸定理類似） ccybyxax以形心為原點，建立與原坐標軸平行以形心為原點，建立與原坐標軸平行的坐標軸如圖的坐標軸如圖0 cxcyASAbIIx cx2 a b x cy cC Axd AyI2 Acd Aby2)( Accd Abbyy)2(22Abb SIx cx c22 AbIIx cx2 AaIIy cy2 a b AIIx c y cx y AbaIIP cP2)(

5、注注意意! C點點必必須須為為形形心心例6-3-1 求圖示圓對其切線AB的慣性矩.解 ：求解此題有兩種方法：一是安定義直接積分；二是用平行移軸定理等知識求。B建立形心坐標如圖,求圖形對形心軸的慣性矩。6424dIIIPyx d6454644442dddAdIIxAB xyxPIII dI2 32 4 圓xyO6-4 慣性矩和慣性積的轉軸定理慣性矩和慣性積的轉軸定理* 截面的主慣性軸和主慣性矩截面的主慣性軸和主慣性矩 cosysinxysinycosxx11一、一、 慣性矩和慣性積的轉軸定理慣性矩和慣性積的轉軸定理x1y1y1x1)2sin2c o s2(2 1 x yyxyxxIIIIII y

6、xyxIIII11)2sin2cos2(21xyyxyxyIIIIII)2cos2sin2(11xyyxyxIIII二、截面的形心主慣性軸和形心主慣性矩1、主慣性軸和主慣性矩：坐標旋轉到= 0 時；恰好有02220000 )cosIsinII(Ixyyxyx 與 0 對應的旋轉軸x 0 y 0 稱為主慣性軸；平面圖形對主軸之慣性矩主慣性矩。ycxcxcycIIItg 220 2222 00 xyyxyxyxI)II(IIII 主主慣慣性性矩矩：2、形心主軸和形心主慣性矩：主軸過形心時，稱其為形心主軸。平面圖形對形心主軸之慣性矩，稱為形心主慣性矩y cx cx c y cIIIt g22022)

7、2(2 0 0 x c y cy cx cy cx cy cx cIIIIIII形心主慣性矩：3、求截面形心主慣性矩的方法、求截面形心主慣性矩的方法、建立坐標系。、建立坐標系。、計算面積和面積矩、計算面積和面積矩、求形心位置。、求形心位置。、建立形心坐標系；求：、建立形心坐標系；求：Iyc ， Ixc ， Ixcyc ，、求形心主軸方向、求形心主軸方向 0 、求形心主慣性矩求形心主慣性矩 AAyASyAAxASxiixiiy2222 00 xcycycxcycxcycxcI)II(IIII ycxcxcycIIItg 220 例6-4-1 在矩形內挖去一與上邊內切的圓，求圖形的形心主軸。(b=1.5d)xyO解 ： 、建立坐標系如圖。 、求形心位置。求形心位置。 、建立形心坐標系；求：Iyc ， Ixc ， I x c y c d.ddddAAyyAAAxxiiii1770434200222 x cy c)yd.(AIyAIIIIxxxcxcxc21250 圓圓圓圓矩矩矩矩圓圓矩矩422422368501770504641770312251d.)d.d.(dd