1、第3章 試驗的方差分析 n方差分析（方差分析（analysis of variance，簡稱，簡稱ANOVA）檢驗試驗中有關因素對試驗結(jié)果影響的顯著性檢驗試驗中有關因素對試驗結(jié)果影響的顯著性n試驗指標（試驗指標（experimental index） 衡量或考核試驗效果的參數(shù)衡量或考核試驗效果的參數(shù) n因素（因素（experimental factor） 影響試驗指標的條件影響試驗指標的條件 可控因素可控因素（controllable factor） n水平（水平（level of factor）因素的不同狀態(tài)或內(nèi)容因素的不同狀態(tài)或內(nèi)容 3.1 單因素試驗的方差分析單因素試驗的方差分析（one

2、-way analysis of variance）3.1.1 單因素試驗方差分析基本問題單因素試驗方差分析基本問題（1）目的：檢驗一個因素對試驗結(jié)果的影響是否顯著性）目的：檢驗一個因素對試驗結(jié)果的影響是否顯著性（2）基本命題：）基本命題：n設某單因素設某單因素A有有r種水平：種水平：A1，A2，Ar，在每種水平，在每種水平下的試驗結(jié)果服從正態(tài)分布下的試驗結(jié)果服從正態(tài)分布n在各水平下分別做了在各水平下分別做了ni（i1，2，r）次試驗）次試驗n判斷因素判斷因素A對試驗結(jié)果是否有顯著影響對試驗結(jié)果是否有顯著影響 （3） 單因素試驗數(shù)據(jù)表單因素試驗數(shù)據(jù)表 試驗次數(shù)試驗次數(shù)A1A2AiAr1x11x

3、21xi1xr12x12x22xi2xr2jx1jx2jxijxrjnix1n1x2n2xinixrnr3.1.2 單因素試驗方差分析基本步驟單因素試驗方差分析基本步驟 （1）計算平均值）計算平均值n組內(nèi)平均值組內(nèi)平均值 ：111inrijijxxn11iniijjixxnn 總平均總平均 ：（2）計算離差平方和）計算離差平方和總離差平方和總離差平方和SST（sum of squares for total）211()inrTijijSSxxn 表示了各試驗值與總平均值的偏差的平方和表示了各試驗值與總平均值的偏差的平方和n 反映了試驗結(jié)果之間存在的總差異反映了試驗結(jié)果之間存在的總差異 組間離差

4、平方和組間離差平方和 SSA （sum of square for factor A）22111()()inrriiAiijiSSxxn xxn 反映了各組內(nèi)平均值之間的差異程度反映了各組內(nèi)平均值之間的差異程度n 由于因素由于因素A不同水平的不同作用造成的不同水平的不同作用造成的 組內(nèi)離差平方和組內(nèi)離差平方和 SSe （sum of square for error）n反映了在各水平內(nèi)，各試驗值之間的差異程度反映了在各水平內(nèi)，各試驗值之間的差異程度 n由于隨機誤差的作用產(chǎn)生由于隨機誤差的作用產(chǎn)生 211()inrieijijSSxx三種離差平方和之間關系：三種離差平方和之間關系： TAeSSS

5、SSS（3）計算自由度（）計算自由度（degree of freedom） n總自由度總自由度 ：dfTn1n組間自由度組間自由度 ：dfA r1n組內(nèi)自由度組內(nèi)自由度 ： dfe nr 三者關系三者關系： dfT dfA dfe（4）計算平均平方）計算平均平方n均方離差平方和除以對應的自由度均方離差平方和除以對應的自由度 /AAAMSSSdf/eeeMSSSdfMSA組間均方組間均方MSe組內(nèi)均方組內(nèi)均方/誤差的均方誤差的均方（5）F檢驗檢驗n服從自由度為（服從自由度為（dfA,dfe）的）的F分布（分布（F distribution）n對于給定的顯著性水平對于給定的顯著性水平 ，從，從F分

6、布表查得臨界值分布表查得臨界值F (dfA，dfe) n如果如果FA F (dfA，dfe) ，則認為因素，則認為因素A對試驗結(jié)果有顯著影對試驗結(jié)果有顯著影響否則認為因素響否則認為因素A對試驗結(jié)果沒有顯著影響對試驗結(jié)果沒有顯著影響 AAeMSFMS組間均方組內(nèi)均方（6）方差分析表）方差分析表 n若若 FA F0.01(dfA，dfe) ，稱因素，稱因素A對試驗結(jié)果有非常顯著的對試驗結(jié)果有非常顯著的影響，用影響，用 “* *”號表示；號表示； n若若 F0.05(dfA，dfe) FA F0.01(dfA，dfe) ，則因素，則因素A對試驗對試驗結(jié)果有顯著的影響，用結(jié)果有顯著的影響，用“*”號表

7、示；號表示； n若若 FA F0.05(dfA，dfe) ，則因素，則因素A對試驗結(jié)果的影響不顯著對試驗結(jié)果的影響不顯著單因素試驗的方差分析表單因素試驗的方差分析表 差異源差異源SSdfMSF顯著性顯著性組間（因素組間（因素A）SSAr1MSASSA（r1）MSAMSe組內(nèi)（誤差）組內(nèi)（誤差）SSenrMSeSSe（nr）總和總和SSTn13.1.3 Excel在單因素試驗方差分析中的應用在單因素試驗方差分析中的應用n利用利用Excel “分析工具庫分析工具庫”中的中的“單因素方差分析單因素方差分析”工具工具 3.2 雙因素試驗的方差分析雙因素試驗的方差分析n討論兩個因素對試驗結(jié)果影響的顯著性

8、，又稱討論兩個因素對試驗結(jié)果影響的顯著性，又稱“二元方差二元方差分析分析”3.2.1 雙因素無重復試驗的方差分析雙因素無重復試驗的方差分析（1）雙因素無重復試驗）雙因素無重復試驗B1B2BsA1x11x12x1sA2x21x22x2sArxr1xr2xrs（2）雙因素無重復試驗方差分析的基本步驟）雙因素無重復試驗方差分析的基本步驟 計算平均值計算平均值 n總平均總平均 ：111rsijijxxrs 11siijjxxs11rjijixxrn Ai水平時水平時 ：n Bj水平時：水平時： 計算離差平方和計算離差平方和 n總離差平方和：總離差平方和：n因素因素A引起離差的平方和：引起離差的平方和：

9、n因素因素B引起離差的平方和：引起離差的平方和：n誤差平方和：誤差平方和：211rsTijABeijSSxxSSSSSS22111()()srriiAjiiSSxxsxx22111()()rssjjBijjSSxxrxx211()rsijeijijSSxxxx計算自由度計算自由度 nSSA的自由度：的自由度：dfA r1nSSB的自由度：的自由度：dfBs1 nSSe的自由度：的自由度：dfe（r1）（）（s1）nSST的自由度：的自由度：dfTn1rs1 ndfT dfA dfB dfe計算均方計算均方 1AAAASSSSMSdfr1BBBBSSSSMSdfs(1)(1)eeeeSSSSMS

10、dfrsF檢驗檢驗 nFA服從自由度為（服從自由度為（dfA,dfe)的的F分布；分布；nFB服從自由度為（服從自由度為（dfB,dfe)的的F分布；分布；n對于給定的顯著性水平對于給定的顯著性水平 ，查，查F分布表：分布表： F （dfA,dfe)， F （dfB,dfe)n若若FAF （dfA,dfe)，則因素，則因素A對試驗結(jié)果有顯著影響，否對試驗結(jié)果有顯著影響，否則無顯著影響；則無顯著影響； n若若FBF （dfB,dfe)，則因素，則因素B對試驗結(jié)果有顯著影響，否對試驗結(jié)果有顯著影響，否則無顯著影響；則無顯著影響；BBeMSFMSAAeMSFMS差異源差異源SSdfMSF顯著性顯著性

11、因素因素ASSAr1因素因素BSSBs1誤差誤差SSe總和總和SSTrs1無重復試驗雙因素方差分析表無重復試驗雙因素方差分析表 1AASSMSrAAeMSFMS1BBSSMSsBBeMSFMS(1)(1)rs(1)(1)eeSSMSrs無重復試驗雙因素方差分析表無重復試驗雙因素方差分析表因素因素B1B2BsA1A2Ar3.2.2 雙因素重復試驗的方差分析雙因素重復試驗的方差分析 （1）雙因素重復試驗方差分析試驗表）雙因素重復試驗方差分析試驗表 11111211,.,cxxx12112212,.,cxxx1 11 21,.,ssscxxx21121221,.,cxxx22122222,.,cxx

12、x2 12 22,.,ssscxxx11121,.,rrr cxxx21222,.,rrr cxxx12,.,rsrsrscxxx雙因素重復試驗方差分析試驗表雙因素重復試驗方差分析試驗表 （2）雙因素重復試驗方差分析的基本步驟）雙因素重復試驗方差分析的基本步驟計算平均值計算平均值n總平均總平均 ：n任一組合水平（任一組合水平（Ai，Bj）上）上 ：nAi水平時水平時 ：nBj水平時水平時 ：1111rscijkijkxxrsc 11cijijkkxxc11siijkjxxsc11rjijkixxrc計算離差平方和計算離差平方和n總離差平方和：總離差平方和：n因素因素A引起離差的平方和：引起離差

13、的平方和：n因素因素B引起離差的平方和：引起離差的平方和：n交互作用交互作用AB引起離差的平方和：引起離差的平方和：n誤差平方和：誤差平方和：2111()rscTijkABABeijkSSxxSSSSSSSS 21()riAiSSscxx21()sjBjSSrcxx 211()rsijijA BijSScxxxx 2111()rscijeijkijkSSxx 計算自由度計算自由度nSSA的自由度：的自由度：dfA r1nSSB的自由度：的自由度：dfBs1 nSSAB的自由度：的自由度： dfAB (r1)(s1)nSSe的自由度：的自由度：dfers(c 1)nSST的自由度：的自由度：df

14、Tn1rsc1 ndfT dfA dfB dfAB dfe計算均方計算均方1AASSMSr1BBSSMSs(1)(1)A BA BSSMSrs(1)eeSSMSrs cF檢驗檢驗n若若FAF （dfA,dfe)，則認為因素，則認為因素A對試驗結(jié)果有顯著影響，對試驗結(jié)果有顯著影響，否則無顯著影響；否則無顯著影響； n若若FBF （dfB,dfe)，則認為因素，則認為因素B對試驗結(jié)果有顯著影響，對試驗結(jié)果有顯著影響，否則無顯著影響；否則無顯著影響；n若若FABF （dfAB,dfe)，則認為交互作用，則認為交互作用AB對試驗結(jié)對試驗結(jié)果有顯著影響，否則無顯著影響果有顯著影響，否則無顯著影響。AAeMSFMSBBeMS