1、基本不等式及其應(yīng)用教案教學(xué)目的(1)使學(xué)生掌握基本不等式a2b22ab(a、bR，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號)和a3b3c33abc(a、b、cR+，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取“=”號)及其推論，并能應(yīng)用它們證明一些不等式(2)通過對定理及其推論的證明與應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用綜合法進(jìn)行推理的能力教學(xué)過程一、引入新課師：上節(jié)課我們學(xué)過證明不等式的哪一種方法？它的理論依據(jù)是什么？生：求差比較法，即師：由于不等式復(fù)雜多樣，僅有比較法是不夠的我們還需要學(xué)習(xí)一些有關(guān)不等式的定理及證明不等式的方法如果a、bR，那么(ab)2屬于什么數(shù)集？為什么？生：當(dāng)ab時，(ab)20，當(dāng)a=b時，(ab)2=0，所以(ab)

2、20即(ab)2R+0師：下面我們根據(jù)(ab)2R+0這一性質(zhì)，來推導(dǎo)一些重要的不等式，同時學(xué)習(xí)一些證明不等式的方法二、推導(dǎo)公式1奠基師：如果a、bR，那么有(ab)20把左邊展開，得a22abb20，a2b22ab式表明兩個實數(shù)的平方和不小于它們的積的2倍這就是課本中介紹的定理1，它是一個很重要的絕對不等式，對任何兩實數(shù)a、b都成立由于取“=”號這種特殊情況，在以后有廣泛的應(yīng)用，因此通常要指出“=”號成立的充要條件式中取等號的充要條件是什么呢？師：充要條件通常用“當(dāng)且僅當(dāng)”來表達(dá)“當(dāng)”表示條件是充分的，“僅當(dāng)”表示條件是必要的所以式可表述為：如果a、bR，那么a2b22ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時

3、取“=”號)以公式為基礎(chǔ)，運(yùn)用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)公式，這種由已知推出未知(或要求證的不等式)的證明方法通常叫做綜合法以公式為基礎(chǔ)，用綜合法可以推出更多的不等式現(xiàn)在讓我們共同來探索2探索師：公式反映了兩個實數(shù)平方和的性質(zhì)，下面我們研究兩個以上的實數(shù)的平方和，探索可能得到的結(jié)果先考查三個實數(shù)設(shè)a、b、cR，依次對其中的兩個運(yùn)用公式，有a2b22ab；b2c22bc；c2a22ca把以上三式疊加，得a2b2c2abbcca(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取“=”號)以此類推：如果aiR，i=1，2，n，那么有(當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=an時取“=”號)式是式的一種推廣式，式就是式中n=2時的特殊情況和式不必當(dāng)作公式

4、去記，但從它們的推導(dǎo)過程中可以學(xué)到一種處理兩項以上的和式問題的數(shù)學(xué)思想與方法迭代與疊加3再探索師：考察兩個以上實數(shù)的更高次冪的和，又能得到什么有趣的結(jié)果呢？先考查兩個實數(shù)的立方和由于a3b3=(ab)(a2abb2)，啟示我們把式變成a2abb2ab，兩邊同乘以ab，為了得到同向不等式，這里要求a、bR+，得到a3b3a2bab2考查三個正實數(shù)的立方和又具有什么性質(zhì)呢？生：由式的推導(dǎo)方法，再增加一個正實數(shù)c，對b、c，c、a迭代式，得到b3c3b2cbc2，c3a3c2aca2三式疊加，并應(yīng)用公式，得2(a3b3c3)a(b2c2)b(c2a2)c(a2b2)a·2bcb·

5、2cac·2ab=6abca3b3c33abc(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取“=”號)師：這是課本中的不等式定理2，即三個正實數(shù)的立方和不小于它們的積的3倍同學(xué)們可能想到n個正實數(shù)的立方和會有什么結(jié)果，進(jìn)一步還會想到4個正數(shù)的4次方的和會有什么結(jié)果，直至n個正數(shù)的n次方的和會有什么結(jié)果這些問題留給同學(xué)們課外去研究4推論師：直接應(yīng)用公式和可以得到兩個重要的不等式(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號)這就是課本中定理1的推論(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取“=”號)這就是課本中定理2的推論當(dāng)aiR+(i=1，2，n)時，有下面的推廣公式(在中學(xué)不講它的證明)(當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=an時取“=”號)何平均數(shù)式表

6、明：n個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)這是一個著名的平均數(shù)不等式定理現(xiàn)在只要求同學(xué)掌握n=2、3時的兩個公式，即和三、小結(jié)(1)我們從公式出發(fā)，運(yùn)用綜合法，得到許多不等式公式，其中要求同學(xué)熟練掌握的是公式、它們之間的關(guān)系可圖示如下：(2)上述公式的證法不止綜合法一種比如公式和，在課本上是用比較法證明的又如公式也可以由推出；用還可以推出；由、也可以推出、但是不論哪種推導(dǎo)系統(tǒng)，其理論基礎(chǔ)都是實數(shù)的平方是非負(fù)數(shù)四個公式中，、是基礎(chǔ)，最重要它們還可以用幾何法或三角法證明幾何法：構(gòu)造直角三角形ABC，使C=90°，BC=a，AC=b(a、bR+)，則a2b2=c2表示以斜邊c為邊的正方

7、形的面積而如上左圖所示，顯然有(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號，這時RtABC等腰，如上右圖)這個圖是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽證明勾股定理時所用過的“勾股方圓圖”，同學(xué)們在初中已經(jīng)見過三角法：在RtABC中，令C=90°， AB=c， BC=a，AC=b，則2ab=2·c sin A· c sin B=2c2sinAcos A=c2·sin2Ac2=a2b2 (sin2A1)(當(dāng)且僅當(dāng)sin2A=1，A=45°，即 a=b時取“=”號)三、應(yīng)用公式練習(xí)1判斷正誤：下列問題的解法對嗎？為什么？如果不對請予以改正a、bR+若tg、ctgR+解法就對了這時需令是第一、三象限的角改條件使a、bR+；改變證法a2abb22abab=3ab師：解題時，要根據(jù)題目的條件選用公式，特別注意公式中字母應(yīng)滿足的條件只有公式、對任何實數(shù)都成立，公式、都要求字母是正實數(shù)(事實上對非負(fù)實數(shù)也成立)2填空：(1)當(dāng)a_時，anan_；(3)當(dāng)x_時，lg2x1_；(5)tg2ctg2_；(6)sinxcosx_；師：從上述解題中，我們可以看到：(1)對公式中的字母應(yīng)作廣義的理解，可以代表數(shù)，也可以代表式子