1、16.1 數(shù)字濾波器的基本概念數(shù)字濾波器的基本概念6.2 模擬濾波器的設(shè)計模擬濾波器的設(shè)計6.3 用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計IIR DF6.4 用雙線性變換法設(shè)計用雙線性變換法設(shè)計IIR DF6.5 數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計第六章第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計2u數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器( (DF,Diginal Filter) )，是一種具是一種具有有頻率選擇性頻率選擇性的離散線性系統(tǒng)，即的離散線性系統(tǒng)，即選頻濾波選頻濾波器器。它在確定信號與隨機信號的數(shù)字處理中。它在確定信號與隨機信號的數(shù)字處理中有著廣泛的應(yīng)用。有著廣泛的應(yīng)用

2、。u數(shù)字濾波器的設(shè)計是確定其數(shù)字濾波器的設(shè)計是確定其系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)H(z)并實現(xiàn)的過程。并實現(xiàn)的過程。6.1 數(shù)字濾波器的基本概念數(shù)字濾波器的基本概念3數(shù)字濾波器和模擬濾波器一樣，從頻率響數(shù)字濾波器和模擬濾波器一樣，從頻率響應(yīng)上可以分為應(yīng)上可以分為低通低通，高通高通，帶通帶通和和帶阻帶阻四類。四類。但要注意，但要注意，DFDF的幅頻特性是序列的傅立葉變換，的幅頻特性是序列的傅立葉變換，而序列的傅立葉變換而序列的傅立葉變換具有具有以以 為周期的周期性為周期的周期性， DF DF的幅頻特性的幅頻特性也具有這一特性。也具有這一特性。njwnjwnheH)()(4DF的理想幅頻特性的理想幅頻特性低通

3、頻帶低通頻帶位于位于2 的的整數(shù)倍整數(shù)倍附附近近高通頻帶高通頻帶位于位于 的的奇數(shù)倍奇數(shù)倍附附近近5n理想理想濾波器是物理濾波器是物理不可實現(xiàn)的不可實現(xiàn)的。（由于從。（由于從一個頻帶到另一個頻帶之間的突變）一個頻帶到另一個頻帶之間的突變）n要物理可實現(xiàn)要物理可實現(xiàn)：應(yīng)從一個帶到另一個帶之：應(yīng)從一個帶到另一個帶之間設(shè)置一個過渡帶且在通帶和止帶內(nèi)也不間設(shè)置一個過渡帶且在通帶和止帶內(nèi)也不應(yīng)該嚴格為應(yīng)該嚴格為1或或0。應(yīng)給以較小容限。應(yīng)給以較小容限。n我們在進行濾波器設(shè)計時，需要我們在進行濾波器設(shè)計時，需要確定其性確定其性能指標能指標。1、數(shù)字濾波器的設(shè)計指標數(shù)字濾波器的設(shè)計指標6l在大多數(shù)應(yīng)用中，關(guān)

4、鍵的問題是用一個可實現(xiàn)在大多數(shù)應(yīng)用中，關(guān)鍵的問題是用一個可實現(xiàn)的系統(tǒng)函數(shù)去逼近給定的濾波器的系統(tǒng)函數(shù)去逼近給定的濾波器幅頻響應(yīng)指標幅頻響應(yīng)指標，而濾波器的而濾波器的相位響應(yīng)相位響應(yīng)可以通過級聯(lián)全通濾波器來可以通過級聯(lián)全通濾波器來校正。校正。l在設(shè)計數(shù)字濾波器前，通常要事先給定在設(shè)計數(shù)字濾波器前，通常要事先給定DF的的頻域指標，即頻域指標，即頻域容差圖頻域容差圖。l一個實際一個實際DF 的幅度特性在通帶內(nèi)允許有一定的幅度特性在通帶內(nèi)允許有一定的的波動波動（或起伏），阻帶內(nèi)（或起伏），阻帶內(nèi)衰減衰減大于給定的衰減，大于給定的衰減，且在通帶與阻帶間有一定寬度的且在通帶與阻帶間有一定寬度的過渡帶過渡帶

5、。7在在通帶通帶(0 p)范圍內(nèi)，起伏不超過（范圍內(nèi)，起伏不超過（通帶容限通帶容限） 在在阻帶阻帶( s )范圍內(nèi)，起伏不超過范圍內(nèi)，起伏不超過 （阻帶容限阻帶容限） 在在過渡帶過渡帶( p s)范圍內(nèi)，一般要單調(diào)下降范圍內(nèi)，一般要單調(diào)下降 u設(shè)計時要給出：設(shè)計時要給出：通帶截止頻率通帶截止頻率 p，阻帶截止頻率阻帶截止頻率 s，通帶允許的最大衰減通帶允許的最大衰減 P，阻帶允許的最小衰減阻帶允許的最小衰減 s。12理想低通濾波器理想低通濾波器通帶阻帶（1）低通低通濾波器的技術(shù)指標濾波器的技術(shù)指標8)lg(20| )(|lg10| )(|lg20|)()(|lg20)1lg(20| )(|lg

6、10| )(|lg20|)()(|lg20220120ssspppjwjwjwjsjwjwjwjpeHeHeHeHeHeHeHeH一般情況下都規(guī)定一般情況下都規(guī)定 |H(ej0)| 被歸一化為。被歸一化為。 P ， s通常用通常用dB來表示，來表示， 其定義分別為：其定義分別為：22當當|H(ejw)|下降到下降到 時，時， P =3dB，w= wc，故稱，故稱wc為為3dB截止頻率截止頻率。9（2）高通高通濾波器的性能指標濾波器的性能指標pspwswp1w|H(ejw)|l通帶截止頻率：通帶截止頻率：wp，又稱，又稱為通帶下限頻率。為通帶下限頻率。l通帶衰減：通帶衰減：l阻帶截止頻率阻帶截止

7、頻率：ws ，又又稱阻帶上限截止頻率。稱阻帶上限截止頻率。l阻帶衰減：阻帶衰減：s010（3）帶通帶通濾波器的性能指標濾波器的性能指標ws1wp11w|H(ejw)|l通帶截止頻率：上限通帶截止頻率：上限截止頻率截止頻率wp2，下限截下限截止頻率止頻率wp1。l通帶衰減：通帶衰減：l阻帶截止頻率阻帶截止頻率：上限：上限截止頻率截止頻率ws2，下限截止下限截止頻率頻率ws1。l阻帶衰減：阻帶衰減：wp2ws20psps11（4）帶阻帶阻濾波器的性能指標濾波器的性能指標ws1wp11w|H(ejw)|l通帶截止頻率：上限通帶截止頻率：上限截止頻率截止頻率wp2，下限截下限截止頻率止頻率wp1。l通

8、帶衰減：通帶衰減：l阻帶截止頻率阻帶截止頻率：上限：上限截止頻率截止頻率ws2，下限截下限截止頻率止頻率ws1。l阻帶衰減：阻帶衰減：wp2ws20psps121) 按任務(wù)要求確定頻域容差圖；按任務(wù)要求確定頻域容差圖；2) 理想濾波器是非因果的理想濾波器是非因果的 、不可實現(xiàn)的，因此，我們要用一、不可實現(xiàn)的，因此，我們要用一因果（可實現(xiàn)的）穩(wěn)定的系統(tǒng)函數(shù)去逼近理想濾波器；因果（可實現(xiàn)的）穩(wěn)定的系統(tǒng)函數(shù)去逼近理想濾波器；NkkkMkkkzazbzH101)(確定階數(shù)確定階數(shù)N、M ，所有的所有的ak 、bk 確定確定N，h(n)=bnIIR:FIR:10)()(NnnznhzH3）用有限精度算法

9、實現(xiàn)該系統(tǒng)，包括網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)、系數(shù)的量化、）用有限精度算法實現(xiàn)該系統(tǒng)，包括網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)、系數(shù)的量化、運算中間過程的存儲；運算中間過程的存儲；4）指標的驗證。）指標的驗證。2、數(shù)字濾波器的設(shè)計步驟數(shù)字濾波器的設(shè)計步驟13 脈沖響應(yīng)不變法脈沖響應(yīng)不變法 IIR: AF的的Ha(s) DF的的H(z) 雙線性變換法雙線性變換法 窗函數(shù)法窗函數(shù)法FIR: 頻率采樣法頻率采樣法3、數(shù)字濾波器的設(shè)計方法數(shù)字濾波器的設(shè)計方法 IIR濾波器的設(shè)計是將一個模擬的原型系統(tǒng)函數(shù)轉(zhuǎn)換濾波器的設(shè)計是將一個模擬的原型系統(tǒng)函數(shù)轉(zhuǎn)換為一個數(shù)字的系統(tǒng)函數(shù)；為一個數(shù)字的系統(tǒng)函數(shù)；FIR濾波器的設(shè)計則是基于濾波器的設(shè)計則是基于對指定幅度響

10、應(yīng)的直接逼近。對指定幅度響應(yīng)的直接逼近。14nFIR 濾波器可以設(shè)計為線性相位，并且總是穩(wěn)定的。濾波器可以設(shè)計為線性相位，并且總是穩(wěn)定的。n 在多數(shù)情況下，在多數(shù)情況下，F(xiàn)IR濾波器的階數(shù)濾波器的階數(shù) NFIR 顯著大于具顯著大于具有等效幅度響應(yīng)的有等效幅度響應(yīng)的IIR濾波器階數(shù)濾波器階數(shù)NIIR 。NFIR/NIIR 通常通常為為10的量級或更高的量級或更高。n IIR 濾波器通常計算更簡便。濾波器通常計算更簡便。 在很多應(yīng)用中，并不在很多應(yīng)用中，并不要求濾波器具有嚴格的線性相位，此時通常會因計算要求濾波器具有嚴格的線性相位，此時通常會因計算簡便而選擇簡便而選擇IIR濾波器。濾波器。4、 濾

11、波器類型的選擇濾波器類型的選擇15l借助模擬濾波器借助模擬濾波器(AF) 來設(shè)計數(shù)字濾波器來設(shè)計數(shù)字濾波器(DF)。 典型的典型的 AF：巴特沃斯巴特沃斯Butterworth、 切比雪夫切比雪夫ChebyshevlAF的設(shè)計：給定的設(shè)計：給定AF的技術(shù)指標，設(shè)計一個傳輸函的技術(shù)指標，設(shè)計一個傳輸函數(shù)數(shù)Ha (s)使其滿足技術(shù)指標。使其滿足技術(shù)指標。 因為因為 P， s和和幅度平方函數(shù)幅度平方函數(shù)|Ha(j )|2 有有關(guān)，因關(guān)，因此根據(jù)幅度平方函數(shù)可以確定此根據(jù)幅度平方函數(shù)可以確定Ha (s)。6.2 模擬濾波器的設(shè)計模擬濾波器的設(shè)計16根據(jù)根據(jù)FT的的共軛對稱性共軛對稱性：|Ha(j )|

12、2= Ha(j ) Ha(-j ) ，令令s= j ： |Ha(s)|2= Ha (s)Ha(-s)由此，給定由此，給定|Ha(j )|2的形式，即可得到的形式，即可得到Ha (s)。)36)(49()25(16)(22222jHa求：求： Ha(s)。例例已知已知17零點零點： s= j5 (二階）；二階）；極點極點：s= 7; s= 6，所以，所以421325)6)(7()5)(5()(2200ssskssjsjsksHa4364925164225020kk，(2)求系統(tǒng)的增益求系統(tǒng)的增益k0 ：(1) 令令j =s 即即 =s/j 代入等式，得：代入等式，得： )36)(49()25(1

13、6)(22222ssssHa解解：18一、一、 Butterworth濾波器的設(shè)計濾波器的設(shè)計NcajH22)(11)(其中：其中：N為濾波器的階數(shù)為濾波器的階數(shù)； c 為為3dB 截止角頻率截止角頻率。c歸一化歸一化頻率頻率1、Butterworth濾波器濾波器的特性的特性：最大平坦幅度特性最大平坦幅度特性 Butterworth濾波器的幅度平方函數(shù)為：濾波器的幅度平方函數(shù)為：19 給定給定Ha(j )，求，求Butterworth濾波器的系統(tǒng)函數(shù)濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s):NcaajssHsH2)(11)()(P=0,1,2,2N-1NcpNcjsjs212) 1)(1)(2）極點：（21

14、221Npjcpes （1）令令s= j ，代入，代入幅度平方函數(shù)，得：幅度平方函數(shù)，得：20u2N 個極點以個極點以 2 /2N= /N 等間隔均勻分布在半徑為等間隔均勻分布在半徑為 c 的圓上，這一圓稱的圓上，這一圓稱Butterworth圓圓。u所有的極點所有的極點以虛軸（即以虛軸（即j 軸）為對稱軸軸）為對稱軸，成軸對，成軸對稱分布，且沒有根落在稱分布，且沒有根落在j 軸上（落在此軸上是臨界軸上（落在此軸上是臨界穩(wěn)定的）。穩(wěn)定的）。l當當N是奇數(shù)時，實軸上有是奇數(shù)時，實軸上有2個極點個極點；l當當N是偶數(shù)時，實軸上無極點是偶數(shù)時，實軸上無極點。（3）為了得到穩(wěn)定的）為了得到穩(wěn)定的Ha(

15、s)，取全部左半平面的極點：，取全部左半平面的極點：10)()(NppNcasssH21當當 c時，隨時，隨 增加，幅度迅速下降，下降的增加，幅度迅速下降，下降的速度與階數(shù)速度與階數(shù)N有關(guān)，有關(guān)， N愈大，幅度下降越快，過渡帶愈大，幅度下降越快，過渡帶越窄。越窄。222Butterworth低通低通濾波器的幅度特性濾波器的幅度特性22由幅頻特性可以看出由幅頻特性可以看出Butterworth濾波器的特性濾波器的特性：(1) 最大平坦性最大平坦性：可以證明：可以證明Butterworth 函數(shù)在函數(shù)在 =0點附點附近一帶范圍內(nèi)近一帶范圍內(nèi)“最平直最平直”，所以濾波器具有最，所以濾波器具有最大平坦

16、幅大平坦幅度特性。也就是度特性。也就是Butterworth濾濾波器是以原點的最大平坦波器是以原點的最大平坦性來逼近理想低通濾波器的。性來逼近理想低通濾波器的。(2) 通帶、阻帶下降的單調(diào)性通帶、阻帶下降的單調(diào)性：因而這種濾波器具有良：因而這種濾波器具有良好的相頻特性（相對于切比雪夫來講）。好的相頻特性（相對于切比雪夫來講）。(3) 3dB不變性不變性：不管：不管N是多少是多少, 所有特性都通過所有特性都通過 3dB點。點。232、Butterworth 低通濾波器的設(shè)計方法低通濾波器的設(shè)計方法1) 首先確定首先確定技術(shù)指標技術(shù)指標：通帶截止頻率通帶截止頻率 p 和通帶允許的最大衰減和通帶允許

17、的最大衰減 p 阻帶阻帶截止截止頻率頻率 s 和阻帶允許的最小衰減和阻帶允許的最小衰減 s2) 確定確定階數(shù)階數(shù)N：10/2210/22101)()(1lg10101)()(1lg10spsasaspapapjHjHjHjH24NcssaNcppajHjH2222)(11)()(11)(10210210)(110)(1spNcsNcp10/210/2101)(101)(spsapajHjH110110)(10/10/spNsp25110110)(10/10/spNsp3) 確定確定3dB 截止頻率：截止頻率： cNpcp2110) 110()/lg(110110lg10/10/spspN102

18、10)(1pNcpNscs2110) 110(N取大于該值的最小整數(shù)取大于該值的最小整數(shù))或或10210)(1sNcs264) 求求N個極點個極點Sp (左半平面）左半平面） ：5) 寫出寫出 :)(sHa4）查）查表表6.2.1（P157）得）得歸一化歸一化系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)：5）寫出實際的系統(tǒng)）寫出實際的系統(tǒng)函數(shù)：函數(shù)：21221Npjcpes10)()(NppNcasssH)(1)(pBpGacspaapGsH/)()(273、舉例、舉例已知通帶截止頻率已知通帶截止頻率fp=5 kHz,通帶最大衰減通帶最大衰減阻帶截止頻率阻帶截止頻率fs=10 kHz，阻帶最小衰減，阻帶最小衰減 =30

19、dB,試根據(jù)以上要求設(shè)計試根據(jù)以上要求設(shè)計Butterworth 低通濾波器。低通濾波器。,3dBps598. 4)10/5lg() 110() 110(lg10/3010/3NN取階數(shù)解解：(1) 求階數(shù)求階數(shù)28(3) 求極點求極點 5352102210jcjcees)()(405ppcaSSsH5745632541;jcjcjcjceseseses(2) 求求 csradpc/10523(4)寫出系統(tǒng)函數(shù)寫出系統(tǒng)函數(shù)293、舉例、舉例已知通帶截止頻率已知通帶截止頻率fp=5 kHz,通帶最大衰減通帶最大衰減阻帶截止頻率阻帶截止頻率fs=10 kHz，阻帶最小衰減，阻帶最小衰減 =30 d

20、B,試根據(jù)以上要求設(shè)計試根據(jù)以上要求設(shè)計Butterworth 低通濾波器。低通濾波器。,3dBps解二解二：用用MATLAB函數(shù)實現(xiàn)。函數(shù)實現(xiàn)。（1）buttord()（2）butter()P16030二二、chebyshev濾波器的設(shè)計濾波器的設(shè)計 其中：其中： 表示通帶內(nèi)起伏大小的系數(shù)，表示通帶內(nèi)起伏大小的系數(shù)， 越大，通越大，通帶內(nèi)波動越大。帶內(nèi)波動越大。CN(x)是階切比雪夫多項式。是階切比雪夫多項式。切比雪夫切比雪夫 型濾波器型濾波器：通帶等波紋，與理想低通逼近的一種方式：通帶等波紋，與理想低通逼近的一種方式切比雪夫切比雪夫 型濾波器型濾波器：阻帶等波紋：阻帶等波紋切比雪夫切比雪夫

21、 型濾波器型濾波器：橢圓濾波器：橢圓濾波器 )(11222cNaCjH幅度平方函數(shù)幅度平方函數(shù)31u切比雪夫濾波器所需要的切比雪夫濾波器所需要的階數(shù)階數(shù)比巴特沃斯低，因而比巴特沃斯低，因而結(jié)構(gòu)上簡單；結(jié)構(gòu)上簡單；u通帶有等波紋起伏，使得通帶有等波紋起伏，使得相位非線性失真相位非線性失真比巴特沃比巴特沃斯大。斯大。32chebyshev 型低通濾波器的設(shè)計方法型低通濾波器的設(shè)計方法1) 首先確定技術(shù)指標：首先確定技術(shù)指標：通帶截止頻率通帶截止頻率 p 和通帶允許的最大衰減和通帶允許的最大衰減 p 阻帶阻帶截止截止頻率頻率 s 和阻帶允許的最小衰減和阻帶允許的最小衰減 s2) 確定階數(shù)確定階數(shù)N和

22、參數(shù)和參數(shù)：)/(1101101.01.0psarcharchNps1101 . 0p333) 求歸一化極點求歸一化極點pk和歸一化系統(tǒng)函數(shù)和歸一化系統(tǒng)函數(shù)Ga(p)：(k=1,2,N)NkarshNjchNkarshNchpk2)12(cos)11(2)12(sin)11(NiiNapppG11)(21)(4) 求實際的系統(tǒng)函數(shù)求實際的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)：pspaapGsH/)()(34三、模擬高通、帶通、帶阻濾波器的設(shè)計三、模擬高通、帶通、帶阻濾波器的設(shè)計如果要設(shè)計模擬如果要設(shè)計模擬高通高通濾波器，可以通過濾波器，可以通過頻率轉(zhuǎn)換關(guān)頻率轉(zhuǎn)換關(guān)系系，將高通指標轉(zhuǎn)換為低通指標，先設(shè)計出一低通，

23、再，將高通指標轉(zhuǎn)換為低通指標，先設(shè)計出一低通，再轉(zhuǎn)換成高通。轉(zhuǎn)換成高通。135例例：設(shè)計巴特沃斯高通濾波器，要求：設(shè)計巴特沃斯高通濾波器，要求fp=200Hz,fs=50Hz, p=3dB, s=10dB。解解：（1）確定）確定高通濾波器技術(shù)指標高通濾波器技術(shù)指標：歸一化頻率歸一化頻率：1200200cppff25. 020050cssff p=3dB, s=10dB（2）確定相應(yīng)低）確定相應(yīng)低通濾波器技術(shù)指標通濾波器技術(shù)指標：1111pp p=3dB, s=10dB425. 011ss36解解：（3）設(shè)計相應(yīng)的歸一化低）設(shè)計相應(yīng)的歸一化低通濾波器通濾波器G(p)：（4）頻率轉(zhuǎn)換，得到高）頻率

24、轉(zhuǎn)換，得到高通濾波器系統(tǒng)函數(shù)通濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(s)：spcpGsH)()(對巴特沃斯濾波器關(guān)于對巴特沃斯濾波器關(guān)于dBdB截止頻率歸一化的截止頻率歸一化的系統(tǒng)函數(shù)稱為歸一化低通原型，記為系統(tǒng)函數(shù)稱為歸一化低通原型，記為G(p) 。37帶通濾波器帶通濾波器：38DF的間接設(shè)計法，步驟：的間接設(shè)計法，步驟：(1)先設(shè)計一模擬濾波器先設(shè)計一模擬濾波器Ha(s)（上述方法）（上述方法）（s平面）平面）(2)再按一定的轉(zhuǎn)換關(guān)系，將再按一定的轉(zhuǎn)換關(guān)系，將Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器 H(z) (z平面平面)所以問題變成了所以問題變成了:將將s平面上的平面上的AF Ha(s) z平面的平面的

25、DF H(z)。6.3 用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計IIRIIR數(shù)字低通濾波器數(shù)字低通濾波器Ha(s)是按技術(shù)要求設(shè)計的，為了使得保證轉(zhuǎn)換后的是按技術(shù)要求設(shè)計的，為了使得保證轉(zhuǎn)換后的 H(z)仍滿足技術(shù)要求，仍滿足技術(shù)要求，Ha(s) H(z)的轉(zhuǎn)換應(yīng)滿的轉(zhuǎn)換應(yīng)滿足以下要求：足以下要求：39AF是因果穩(wěn)定的，則轉(zhuǎn)換后的是因果穩(wěn)定的，則轉(zhuǎn)換后的DF也應(yīng)該是。也應(yīng)該是。 AF因果穩(wěn)定，則因果穩(wěn)定，則Ha(s) 的極點位于的極點位于s平面的左半平平面的左半平面面 DF因果穩(wěn)定，則因果穩(wěn)定，則H(z)的極點位于的極點位于z平面的單位圓平面的單位圓內(nèi)內(nèi)由由Ha(s)到到H(z)的轉(zhuǎn)換應(yīng)該使的

26、轉(zhuǎn)換應(yīng)該使s平面的左半平面影射到平面的左半平面影射到z平面的單位圓內(nèi)平面的單位圓內(nèi)(2) s平面的虛軸平面的虛軸（穩(wěn)定不穩(wěn)定的交界處（穩(wěn)定不穩(wěn)定的交界處)j 映射到映射到z平平面的單位圓上面的單位圓上。注意注意這種映射只適應(yīng)于這種映射只適應(yīng)于低通低通濾波器濾波器的映射關(guān)系。的映射關(guān)系。40已求得已求得AF的傳輸函數(shù)的傳輸函數(shù)Ha(s)，通過拉氏逆變換可求得，通過拉氏逆變換可求得它所對應(yīng)的單位沖激響應(yīng)它所對應(yīng)的單位沖激響應(yīng) ha(t)；對單位沖激響應(yīng)對單位沖激響應(yīng)ha(t)等間隔采樣，設(shè)采樣間隔為等間隔采樣，設(shè)采樣間隔為T,得到得到ha(nT)=h(n)；將將h(n)作為數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)

27、，對作為數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)，對h(n)的的取取z變換，即為變換，即為DF的系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。由雷道（由雷道（Rader)、戈爾登、戈爾登(Golden)提出提出脈沖響應(yīng)不變法的思路脈沖響應(yīng)不變法的思路：41設(shè)設(shè)ha( s)只有單階極點，且分母多項式的階次高于分只有單階極點，且分母多項式的階次高于分子多項式的階次，它可表示為子多項式的階次，它可表示為NiiiassAsH1)()()()(1tueAthNitsiai（1）?。┤a(s) 拉氏逆變換，得到拉氏逆變換，得到ha(t)：1、變換方法變換方法42（2）對）對ha(t)等間隔采樣，采樣間隔為等間隔采樣，采樣間隔為 T，得到

28、，得到h(n)：)()()(1nTueAnThnhNinTsiai（3）求）求h(n)的的z變換，得變換，得DF的系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)：NiTsizeAzHi111)(1111)(111aznuazessnTsii對照對照Ha(s)和和H(z):s平面的極點平面的極點si，變成，變成z平面的極點平面的極點Tsie43例例：一個：一個RC模擬低通濾波器模擬低通濾波器RcsRcscRscsHa/ 1/ 1/ 1/ 1)(UoUi則則這一低通這一低通 DF的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)：的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)：Z-1y(n)x(n)1/RcTRce1111/ 1)(zeRczHTRcRC442、優(yōu)缺點優(yōu)缺點在在w= 的奇數(shù)倍

29、附近，脈沖響應(yīng)不變法的頻譜產(chǎn)生混疊，的奇數(shù)倍附近，脈沖響應(yīng)不變法的頻譜產(chǎn)生混疊，因此，在此處因此，在此處DF的頻率響應(yīng)會偏離的頻率響應(yīng)會偏離AF的頻率響應(yīng)，混的頻率響應(yīng)，混疊的結(jié)果使頻率特性在疊的結(jié)果使頻率特性在高頻端高頻端嚴重失真。嚴重失真。模擬域模擬域：以以 為周期的延拓為周期的延拓T2數(shù)字域數(shù)字域：以以 為周期的延拓為周期的延拓245n脈沖響應(yīng)不變法的脈沖響應(yīng)不變法的優(yōu)優(yōu)缺缺點：點：優(yōu)點優(yōu)點：（：（1）從時域出發(fā)，使得數(shù)字濾波器的從時域出發(fā)，使得數(shù)字濾波器的沖激響應(yīng)完全模仿模擬濾波器的沖激響應(yīng)，也沖激響應(yīng)完全模仿模擬濾波器的沖激響應(yīng)，也就是時域逼近良好。就是時域逼近良好。 （2）AF D

30、F的頻率轉(zhuǎn)換關(guān)系是的頻率轉(zhuǎn)換關(guān)系是w= T，是線性的，不會扭曲；是線性的，不會扭曲； 缺點缺點： 高頻端會產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象，高頻端會產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象，只適合只適合低通、帶通濾波器的設(shè)計低通、帶通濾波器的設(shè)計，不適合高通、帶阻，不適合高通、帶阻濾波器的設(shè)計。濾波器的設(shè)計。對于帶通和低通濾波器，需充對于帶通和低通濾波器，需充分限帶，分限帶，若阻帶衰減越大，則混疊效應(yīng)越小。若阻帶衰減越大，則混疊效應(yīng)越小。46當給定當給定DF的技術(shù)指標時，采樣周期的技術(shù)指標時，采樣周期T的取的取值對值對頻譜混疊程序的影響很小，因此為了計算頻譜混疊程序的影響很小，因此為了計算方便，一般取方便，一般取T=1s。l若要用脈

31、沖響應(yīng)不變法設(shè)計高通和帶阻濾波若要用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計高通和帶阻濾波器，則必須先對高通和帶阻濾波器器，則必須先對高通和帶阻濾波器加一保護濾加一保護濾波器波器，濾掉高于折疊頻率以上的頻帶。它會增，濾掉高于折疊頻率以上的頻帶。它會增加設(shè)計的復(fù)雜性和濾波器的階數(shù)，因而只有在加設(shè)計的復(fù)雜性和濾波器的階數(shù)，因而只有在一定要追求頻率線性關(guān)系時才使用。一定要追求頻率線性關(guān)系時才使用。473、設(shè)計舉例、設(shè)計舉例設(shè)計一低通數(shù)字濾波器，要求在通帶內(nèi)頻率低于設(shè)計一低通數(shù)字濾波器，要求在通帶內(nèi)頻率低于0.2 rad時，容許幅度誤差在時，容許幅度誤差在1dB內(nèi)，在內(nèi)，在頻率頻率0.3 到到 之間的之間的阻帶衰減大于阻帶

32、衰減大于15 dB 。指定模擬濾波器采用巴特沃斯低。指定模擬濾波器采用巴特沃斯低通，用脈沖響不變法求該通，用脈沖響不變法求該DF的系統(tǒng)函數(shù)。的系統(tǒng)函數(shù)。dBdBspsp1513 . 02 . 0，解解：1) 確定數(shù)字濾波器的指標：確定數(shù)字濾波器的指標：2) 將將DF的指標轉(zhuǎn)換成的指標轉(zhuǎn)換成AF的指標：的指標： dBdBTTspsspp1513 . 02 . 0，48解解：3) 設(shè)計設(shè)計AF：NiiiassAsH1)()(NisizeAzHi111)(MATLAB中，中，用脈沖響應(yīng)不變法將模擬用脈沖響應(yīng)不變法將模擬濾濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器可用函數(shù)波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器可用函數(shù)impinvar()

33、實現(xiàn)。實現(xiàn)。4) 利用脈沖響應(yīng)不變法得利用脈沖響應(yīng)不變法得DF的的H(z)：49脈沖響應(yīng)不變法的缺點是會產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象，脈沖響應(yīng)不變法的缺點是會產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象，而雙線性變換法的優(yōu)點之一是不會產(chǎn)生頻率混疊。而雙線性變換法的優(yōu)點之一是不會產(chǎn)生頻率混疊。l雙線性變換法采用雙線性變換法采用非線性頻率壓縮非線性頻率壓縮方法。方法。6.4 用雙線性變換法設(shè)計用雙線性變換法設(shè)計IIR數(shù)字低通濾波器數(shù)字低通濾波器1、變換方法變換方法由凱塞由凱塞(Kaiser)和戈爾登和戈爾登(Golden)提出提出l雙線性變換法：是從雙線性變換法：是從頻域頻域出發(fā)，使出發(fā)，使DFDF的頻率響應(yīng)與的頻率響應(yīng)與AFAF的的頻

34、率響應(yīng)相似的頻率響應(yīng)相似的一種變換法。一種變換法。50由上式得由上式得11112zzTssTsTz22合稱為合稱為雙線性變換法雙線性變換法則：已知則：已知Ha(s)，利用，可以，利用，可以直接求得直接求得H(z)。11112zzTs由由s平面到平面到z平面的變換關(guān)系是：平面的變換關(guān)系是：51例例 已知模擬濾波器已知模擬濾波器Ha(s)=2/(s+1), 試利用雙線性變試利用雙線性變換法將換法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成轉(zhuǎn)換成 DF的的H(z)。解解：11112)()(zzTsasHzH1112211zzT11)2()2()1 (2zTTzT52u雙線性變換主要用在：雙線性變換主要用在：n用用反雙線性變換

35、反雙線性變換來將數(shù)字濾波器的性能指標來將數(shù)字濾波器的性能指標轉(zhuǎn)換為模擬原型濾波器的性能指標轉(zhuǎn)換為模擬原型濾波器的性能指標n用用雙線性變換雙線性變換來從模擬系統(tǒng)函數(shù)得到所希望來從模擬系統(tǒng)函數(shù)得到所希望的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)H(z)u參數(shù)參數(shù)T T對對H(z)H(z)的表達式?jīng)]有影響，可以選擇的表達式?jīng)]有影響，可以選擇T=2T=2來簡化設(shè)計的過程。來簡化設(shè)計的過程。sszzzs1111115300011jjzjs20202020000000)1 ()1 ()(11zjjzjs（單位圓）虛軸1)(00z（單位圓內(nèi)）（左半平面）100zIm(z)Re(z)-1100j采用

36、這種轉(zhuǎn)換方法得到的采用這種轉(zhuǎn)換方法得到的 H(z)是否滿足技術(shù)要求？是否滿足技術(shù)要求？5411112zzTsjwjweeTj112、模擬角頻率模擬角頻率 到到數(shù)字頻率數(shù)字頻率 w的映射關(guān)系的映射關(guān)系s=j z=ejw)2/(2)2/cos()2/sin(2wtgTjwwTj)()(22/2/2/2/2/2/jwjwjwjwjwjweeeeeeT55)2/(2wtgTs平面上的平面上的 與與z平面上的平面上的w成成非線性正切非線性正切關(guān)系關(guān)系，是一對一的轉(zhuǎn)換。，是一對一的轉(zhuǎn)換。)2/arctan(2T)2/(2wtgTjj反雙線反雙線性變換性變換則則取取T=2s：)2/(wtgarctan256

37、在在w=0附近，接近線性關(guān)系；附近，接近線性關(guān)系；當當w增加時，增加時， 增加的越來越快；增加的越來越快；當當w 時，時， 無窮。無窮。 ：0 w: 0 正是因為這種正是因為這種非線性頻非線性頻率壓縮率壓縮關(guān)系，關(guān)系，消除了高消除了高頻端的頻率混疊現(xiàn)象。頻端的頻率混疊現(xiàn)象。573 3、優(yōu)缺點、優(yōu)缺點u優(yōu)點優(yōu)點：（：（1 1）雙線性變換沒有任何混疊，都）雙線性變換沒有任何混疊，都是單值一一對應(yīng)關(guān)系。是單值一一對應(yīng)關(guān)系。（2 2）可用于設(shè)計任意類型（低通，高通，帶通，）可用于設(shè)計任意類型（低通，高通，帶通，帶阻）的帶阻）的 DFDF。u缺點缺點：雙線性變換是非線性變換，因而給頻：雙線性變換是非線性

38、變換，因而給頻率特性帶來失真，這種失真還包括相位特性率特性帶來失真，這種失真還包括相位特性的失真，在要求線性相位的情況下，要考慮的失真，在要求線性相位的情況下，要考慮這種失真是否可以容忍，否則就不能應(yīng)用。這種失真是否可以容忍，否則就不能應(yīng)用。584、設(shè)計舉例設(shè)計舉例wp=0.25 ， p= 0.5dBws=0.55 ， s= 15dB用雙線性變換法，設(shè)計該用雙線性變換法，設(shè)計該DF。已知低通已知低通DF 的設(shè)計指標為：的設(shè)計指標為：解解：（1）將將DF的指標轉(zhuǎn)換成的指標轉(zhuǎn)換成AF的指標：的指標： 4142136. 0)225. 0tan()2tan(pp1708496. 1)255. 0tan

39、()2tan(ss59解解： （2） 設(shè)計設(shè)計AF：66.2)/lg(110110lg10/10/spspN取取N=3588148. 0) 110(2110Npcp60三階歸一化低通三階歸一化低通Butterworth系統(tǒng)函數(shù)：系統(tǒng)函數(shù)：) 1)(1(1)(2ppppG)345918. 0588148. 0)(588148. 0(203451. 0)()(2ssssGsHca解解： （2） 設(shè)計設(shè)計AF：低通低通Butterworth實際系統(tǒng)函數(shù)：實際系統(tǒng)函數(shù)：61由雙線性變換法得由雙線性變換法得：)3917468. 06762858. 01)(2593284. 01 ()1 (0662272

40、. 0)()(211311111zzzzsHzGzzsa解解： （3） 設(shè)計設(shè)計DF：MATLAB中，中，用雙線性變換法將模擬用雙線性變換法將模擬濾濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器可用函數(shù)波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器可用函數(shù)bilinear() 實現(xiàn)。實現(xiàn)。62一、變換原理一、變換原理u低通數(shù)字濾波器的設(shè)計：脈沖響應(yīng)不變法，低通數(shù)字濾波器的設(shè)計：脈沖響應(yīng)不變法，在濾波器的高頻端產(chǎn)生混疊現(xiàn)象，因此只適應(yīng)在濾波器的高頻端產(chǎn)生混疊現(xiàn)象，因此只適應(yīng)于低通濾波器的設(shè)計；而雙線性變換法，可適于低通濾波器的設(shè)計；而雙線性變換法，可適用于任意種類的濾波特性，但存在非線性失真。用于任意種類的濾波特性，但存在非線性失真。u如果希望設(shè)計一個數(shù)字高通、帶通或帶阻濾如果希望設(shè)計一個數(shù)字高通、帶通或帶阻濾波器，波器，有兩種實現(xiàn)有兩種實現(xiàn)方法。方法。6.5 數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計63第二條途徑第二條途徑先設(shè)計模先設(shè)計模擬低通擬低通 模擬濾波模擬濾波器數(shù)字化器數(shù)字化 所需數(shù)字所需數(shù)字濾波器濾波器在模擬域進行，通在模擬域進行，通過頻率轉(zhuǎn)換得到滿過頻率轉(zhuǎn)換得到滿足指標的足指標的AF(高通、高通、帶通等帶通等) 模擬模擬 模擬模擬只能用雙線性變換法只能用雙線性變換法將將模擬低通濾波器模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換為轉(zhuǎn)換為數(shù)字低通數(shù)字低通 模擬模擬 數(shù)字數(shù)字在數(shù)字域內(nèi)進在數(shù)字