1、第1頁(yè)（共22頁(yè)）2018年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1.（5.00分）已知集合A=x|x|1,ax+y4,xayv2,貝（）A.對(duì)任意實(shí)數(shù)a,（2,1）CAB.對(duì)任意實(shí)數(shù)a,（2,1）?AC.當(dāng)且僅當(dāng)a0時(shí)，（2,1）?AD.當(dāng)且僅當(dāng)av三時(shí)，（2,1）?A二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。9.（5.00分）設(shè)an是等差數(shù)列，且a=3,a?+a5=36,貝Uan的通項(xiàng)公式為.10. （5.00分）在極坐標(biāo)系中，直線pcos+切sin0（=a0）與圓p=2cos裕切，則a=.7TITT11. （

2、5.00分）設(shè)函數(shù)f（x）=cos（3x-（），若f（x）f（）對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都成立，則 3 的最小值為.12. （5.00分）若x,y滿足x+1yf（0）對(duì)任意的x（0,2都成立，則f（x）在0,2上是增函數(shù)”為假命題的一個(gè)函數(shù)是A.6.第4頁(yè)(共22頁(yè))222214.(5.00分)已知橢圓M:%土=1(ab0)，雙曲線N:土-%=.若雙曲線a.bDnN的兩條漸近線與橢圓M的四個(gè)交點(diǎn)及橢圓M的兩個(gè)焦點(diǎn)恰為一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn)，則橢圓M的離心率為;雙曲線N的離心率為.三、解答題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。15. (13.00分)在ABC中，a=7,b=8,cosB

3、=-(I)求/A;(U)求AC邊上的高.16. (14.00分)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CCL平面ABCD,E,F,G分別為AA1,AC,A1C1,BB的中點(diǎn),AB=BC期,AC=AA=2.(I)求證：ACL平面BEF(n)求二面角B-CD-G的余弦值；(用)證明：直線FG與平面BCD相交.17.(12.00分)電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表:電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評(píng)率0.40.20.150.250.20.1好評(píng)率是指：一類電影中獲得好評(píng)的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值.假設(shè)所有電影是否獲得好評(píng)相

4、互獨(dú)立.(I)從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影的概率；(U)從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部，估計(jì)恰有1部獲得好評(píng)的概率;(用)假設(shè)每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評(píng)率相等.用“k=1”表第5頁(yè)(共22頁(yè))示第k類電影得到人們喜歡.上=0”表示第k類電影沒有得到人們喜歡(k=1,2,3,4,5,6).寫出方差D饑D2DD如D&,D松的大小關(guān)系.18. (13.00分)設(shè)函數(shù)f(x)=ax2-(4a+1)x+4a+3ex.(I)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線與x軸平行，求a；(U)若f(x)在x=2處取得極小值，求a

5、的取值范圍.19. (14.00分)已知拋物線C:y2=2px經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,2),過(guò)點(diǎn)Q(0,1)的直線l與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A,B,且直線PA交y軸丁M,直線PB交y軸丁N.(I)求直線l的斜率的取值范圍；(U)設(shè)。為原點(diǎn)，鹵=廚，茹=麗，求證：為定值.A.120. (14.00分)設(shè)n為正整數(shù)，集合A=o|a=(t，t2,n),tk0,1,k=1,2,n,對(duì)丁集合A中的任意元素a=(XI,x2,，xn)和6=(y，y2,jn),記M(a,食(x1+y1|XIy1|)+(x2+y2|x2y2|)+(xn+yn|xn-yn|)(I)當(dāng)n=3時(shí)，若a=(1,1,0),6=(0,1,1),求

6、M(a,a)和M(a,6)的值;(U)當(dāng)n=4時(shí)，設(shè)B是A的子集，且滿足：對(duì)丁B中的任意兀素a,6,當(dāng)a,6相同時(shí)，M(a,6)是奇數(shù)；當(dāng)a,6不同時(shí)，M(a,6)是偶數(shù).求集合B中元素個(gè)數(shù)的最大值；(用)給定不小丁2的n,設(shè)B是A的子集，且滿足：對(duì)丁B中的任意兩個(gè)不同的元素a,優(yōu)M(a,6)=0,寫出一個(gè)集合B,使其元素個(gè)數(shù)最多，并說(shuō)明理由.第6頁(yè)（共22頁(yè)）2018年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1. （5.00分）已知集合A=x|x|2,B=（-2,0,1,2,則AHB=（）A.0,

7、1B.-1,0,1C.-2,0,1,2D.-1,0,1,2【分析】根據(jù)集合的基本運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可.【解答】解：A=x|x|2=x|-2x2,B=-2,0,1,2,則AHB=（0,1,故選：A.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查集合的基本運(yùn)算，根據(jù)集合交集的定義是解決本題的關(guān)鍵.比較基礎(chǔ).2. （5.00分）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)旦丁的共軸復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位?。?-1A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)求解即可.故選：D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，復(fù)數(shù)的幾何意義，是基本知識(shí)的考查.3. （5.00分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為（【解答】1 =1+

8、i1-12共鑰復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)上，-號(hào)）在第四象限.解：復(fù)數(shù)第7頁(yè)（共22頁(yè)）【分析】直接利用程序框圖的應(yīng)用求出結(jié)果.【解答】解：執(zhí)行循環(huán)前：k=1,S=1.在執(zhí)行第一次循環(huán)時(shí)，S=1由丁k=2-to或占8-2|iVin2-Flsint9+CL）2,分析由題意d產(chǎn)=:，當(dāng)sin（伸a）=-1時(shí),VI-bnA/ID+1dmax=17|tana-習(xí)，.當(dāng)sin（0+a）=-1時(shí)，dmax=1IV3.d的最大值為3.第10頁(yè)（共22頁(yè)）故選：C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)到直線的距離的最大值的求法，考查點(diǎn)到直線的距離公式、三角函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題.8.（5.00

9、分）設(shè)集合A=（x,y）|x-y1,ax+y4,xayv2,貝（）A.對(duì)任意實(shí)數(shù)a,（2,1）CAB.對(duì)任意實(shí)數(shù)a,（2,1）?AC.當(dāng)且僅當(dāng)a1,ax+y4,x-ayv2=（x,y）|x-v 法1,-x+y4,x+yv2,顯然（2,1）不滿足，-x+y4,x+y1,ax+y4,xay1,4x+y4,x-4yv2,顯然（2,1）在可行域內(nèi)，滿足不等式，所以B不正確；故選：D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查線性規(guī)劃的解答應(yīng)用，利用特殊點(diǎn)以及特殊值轉(zhuǎn)化求解，避免可行域的畫法，簡(jiǎn)潔明了.二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。9.（5.00分）設(shè)an是等差數(shù)列，且a=3,a2+a5=36,貝Uan的通項(xiàng)公式為a

10、n=6n-3.【分析】利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式列出方程組，求出a=3,d=6,由此能求出an的通項(xiàng)公式.【解答】解：.an是等差數(shù)歹U,且ai=3,a2+a5=36,-J,Si+d+aj+d36解得ai=3,d=6,-an=ai+（n-1）d=3+（n-1）X6=6n-3.-an的通項(xiàng)公式為an=6n-3.故答案為：an=6n-3.【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題.第11頁(yè)（共22頁(yè)）10.（5.00分）在極坐標(biāo)系中，直線pcos+切sin0=a0）與圓p=2cos相切，貝Ua=1_.【分析】首先把曲線和直線的極

11、坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程，進(jìn)一步利用圓心到直線的距離等丁半徑求出結(jié)果.【解答】解：圓p=2cos,0轉(zhuǎn)化成：晚=2pcos,0進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程為：（x-1）2+y2=1,把直線p（cos+sin0=a的方程轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程為：x+y-a=0.由丁直線和圓相切，所以：利用圓心到直線的距離等丁半徑.則：H尹1=1,V2解得：a=1J!La0則負(fù)值舍去.故：a=12.故答案為：1+:.【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，直線與圓相切的充要條件的應(yīng)用.11. （5.00分）設(shè)函數(shù)f（x）=cos（3x-匹）（30）,若f（x）0），若f（x）Vf（匹）對(duì)任意的實(shí)數(shù)x

12、64都成立，可得：妙號(hào)匚=甌兀，kZ,解得，kZ,30則的最小值為：m.故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的最值的求法與應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力.第12頁(yè)（共22頁(yè)）12. （5.00分）若x,y滿足x+1yf(0)對(duì)任意的x(0,2都成立，則f(x)在0,2上是增函數(shù)”為假命題的一個(gè)函數(shù)是f(x)=sinx.【分析】本題答案不唯一，符合要求即可.【解答】解：例如f(x)=sinx,盡管f(x)f(0)對(duì)任意的x(0,2都成立，當(dāng)x。，號(hào))上為增函數(shù)，在(號(hào)，2為減函數(shù)，故答案為：f(x)=sinx.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，屆丁基礎(chǔ)題.14.(5.00分)已知橢圓M:與卡=1(a

13、b0)，雙曲線N:g-%=1.若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個(gè)交點(diǎn)及橢圓M的兩個(gè)焦點(diǎn)恰為一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn)， 則橢圓M的離心率為雙曲線N的離心率為2.【分析】利用已知條件求出正六邊形的頂點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程，求出橢圓的離心率;利用漸近線的火角求解雙曲線的離心率即可.【解答】解：橢圓M令=1(ab0),雙曲線N:2乂2=1.若雙曲線N的兩第14頁(yè)（共22頁(yè)）條漸近線與橢圓M的四個(gè)交點(diǎn)及橢圓M的兩個(gè)焦點(diǎn)恰為一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn),可得橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo) （c,0） ，正六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)（足），可得：烏+竺_=i，224a24b2可得習(xí)/:1,可得e4-8e2+4=0,e（0,1）,4（-1）e解得e=

14、后 T.同時(shí)，雙曲線的漸近線的斜率為妊即用，2.2.2可得：%=3,即皿:=4,min可得雙曲線的離心率為e=如項(xiàng)=2.故答案為：由T|;2.【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.三、解答題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。15.（13.00分）在ABC中，a=7,b=8,cosB=-（I）求/A;（U）求AC邊上的高.【分析】（I）由正弦定理結(jié)合大邊對(duì)大角進(jìn)行求解即可.（皿）利用余弦定理求出c的值，結(jié)合三角函數(shù)的高與斜邊的關(guān)系進(jìn)行求解即可.一,jr貝UA%-.(n)由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB即64=49+c2+2X7Xcx【

15、解答】解：（I）ab,AB,即A是銳角,V374扼8.cosB=.sinB=i|_=；;廣=由正弦定理得QTQT得sinA史驊sinAsinB第15頁(yè)（共22頁(yè)）即c2+2c-15=0,得(C-3)(c+5)=0,得c=3或c=-5(舍)，【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解三角形的應(yīng)用，利用正弦定理以及余弦定理建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.16.(14.00分)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CCL平面ABCD,E,F,G分別為AAi,AC,A1C1,BB的中點(diǎn),AB=BC雨,AC=AA=2.(I)求證：ACL平面BEF(n)求二面角B-CD-G的余弦值；(用)證明：直線FG與平面BCD相交.【分析

16、】(I)證明ACLBE,ACLEF即可得出ACL平面BEF(II)建立坐標(biāo)系，求出平面BCD的法向量赤通過(guò)計(jì)算的火角得出二面角的大小;(III)計(jì)算甌與E的數(shù)量積即可得出結(jié)論.【解答】(I)證明：E,F分別是AC,A1C1的中點(diǎn)，.EF/CC,CCL平面ABC,-EFL平面ABC,乂AC?平面ABC,-EFLAC,AB=BCE是AC的中點(diǎn)，BAC,乂BEAEF=EBE?平面BEFEF?平面BEFACL平面BEF(II)解：以E為原點(diǎn)，以EB,EC,EF為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示:則B(2,0,0),C(0,1,0),D(0,-1,1),則AC邊上的高h(yuǎn)=csinA=3X第14頁(yè)(共22

17、頁(yè))BC=(-2,1,0),而=(0,-2,1),令y=2可得n=(1,2,4),乂EBL平面ACCAi,.甌=(2,0,0)為平面CD-Ci的一個(gè)法向量,由圖形可知二面角B-CD-G為鈍二面角，二面角B-CD-G的余弦值為-匝.21(III)證明：F(0,0,2),同(2,0,1),.?S=(2,0,-1),.廚擇2+0-4=-2丈0,-FG與并垂直，F(xiàn)G與平面BCD不平行，乂FG?平面BCDFG與平面BCD相交.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線面垂直的判定，二面角的計(jì)算與空間向量的應(yīng)用，屆丁中檔題.17.(12.00分)電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表:電影類型第一類第二類第三類第

18、四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評(píng)率0.40.20.150.250.20.1好評(píng)率是指：一類電影中獲得好評(píng)的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值.第15頁(yè)(共22頁(yè))設(shè)平面BCD的法向量為n=(x,y,z),則，當(dāng)二七gpr-2y=0胃而=0l-2y+z=0第19頁(yè)(共22頁(yè))假設(shè)所有電影是否獲得好評(píng)相互獨(dú)立.(I)從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影的概率；(U)從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部，估計(jì)恰有1部獲得好評(píng)的概率；(用)假設(shè)每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評(píng)率相等.用“k=1”表示第k類電影得到人們喜歡.“k=

19、0”表示第k類電影沒有得到人們喜歡(k=1,2,3,4,5,6).寫出方差D&,D饑DDD&,D&的大小關(guān)系.【分析】(I)先求出總數(shù)，再求出第四類電影中獲得好評(píng)的電影的部數(shù)，利用古典概型概率計(jì)算公式直接求解.(U)設(shè)事件B表示從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部，恰有1部獲得好評(píng)”，第四類獲得好評(píng)的有50部，第五類獲得好評(píng)的有160部，由此能求出從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部，估計(jì)恰有1部獲得好評(píng)的概率.兩點(diǎn)分布，分別求出六類電影的分布列及方差由此能寫出方差D&,D,D饑D&4,D&,D免的大小關(guān)系.【解答】解：(I)設(shè)事件A表示

20、從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影”，總的電影部數(shù)為140+50+300+200+800+510=2000部，第四類電影中獲得好評(píng)的電影有：200X0.25=50部，從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影的頻率為:(U)設(shè)事件B表示從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部，恰有1部獲得好評(píng)”,第四類獲得好評(píng)的有：200X0.25=50部,第五類獲得好評(píng)的有：800X0.2=160部,則從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部，估計(jì)恰有1部獲得好評(píng)的概率:=035：|：0.35(m)由題意知，定義隨機(jī)變量如下:(E)由題意知，定義隨

21、機(jī)變量如下:J饑第k類電影沒有得到人們喜歡n.b第k類電影得到人們言歡P(A)二一=0.025.2000P(B)=第20頁(yè)(共22頁(yè))第 k 類電影得到人們喜歡則k服從兩點(diǎn)分布，則六類電影的分布列及方差計(jì)算如下：第一類電影：&10P0.40.6E(&)=1X0.4+0X0.6=0.4,D(0)=(1-0.4)2X0.4+(0-0.4)2X0.6=0.24.第二類電影：&10P0.20.8E(您)=1X0.2+0X0.8=0.2,D(切=(1-0.2)2X0.2+(0-0.2)2X0.8=0.16.第三類電影：角10P0.150.85E(&)=1X0.15+0X0

22、.85=0.15,D(粉=(10.15)2X0.15+(0-0.85)2X0.85=0.1275.第四類電影：食10P0.250.75E(食)=1X0.25+0X0.75=0.15,D(食)=(1-0.25)2X0.25+(0-0.75)2X0.75=0.1875.第五類電影：有10P0.20.8E(心)=1X0.2+0X0.8=0.2,D(&)=(1-0.2)2X0.2+(0-0.2)2X0.8=0.16.第六類電影：第21頁(yè)(共22頁(yè))0.1E(盼=1X0.1+OX0.9=0.1,D(有)=(1-0.1)2X0.1+(0-0.1)2X0.9=0.09.方差D&,D&

23、,D&D誑D&,D&的大小關(guān)系為：D缶Dg3D&=DD食D&.【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的方差的求法，考查古典概型、兩點(diǎn)分布等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題.18.(13.00分)設(shè)函數(shù)f(x)=ax2-(4a+1)x+4a+3ex.(I)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線與x軸平行，求a；(U)若f(x)在x=2處取得極小值，求a的取值范圍.【分析】(I)求得f(x)的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得f(1)=0,解方程可得a的值；(皿)求得f(x)的導(dǎo)數(shù)，注意分解因式，討論由極小值的定義，即可得到所求

24、a的范圍.【解答】解：(I)函數(shù)f(x)=ax2-(4a+1)x+4a+3ex的導(dǎo)數(shù)為f(x)=ax2-(2a+1)x+2ex.由題意可得曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線斜率為0,可得(a-2a-1+2)e=0,解得a=1；(U)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f(x)=ax2-(2a+1)x+2ex=(x-2)(ax-1)ex,若a=0則x0,f(x)遞增；x2,f(x)0,f(x)遞減.x=2處f(x)取得極大值，不符題意；若a0,且a專，則f(x)主(x-2)2ex0,f(x)遞增,無(wú)極值；若a號(hào)，則斗2,f(x)在(*2)遞減；在(2,+Q,(*,1)遞增，可得f(x)在x=2處取得極小值；

25、若0aM，則上2,f(x)在(2,上)遞減；在(、，+8),(-8,2)遞增,Zaaa0.9a0,0a2第22頁(yè)(共22頁(yè))可得f(x)在x=2處取得極大值，不符題意；若a0,則二0,且k0解得kv1,且k丈0,XI+x2=,XIx2=z,故直線l的斜率的取值范圍(-8,0)u(0,1)；(U)證明：設(shè)點(diǎn)M(0,yM),N(0,yN),則0M=(0,yM-1),Q0=(0,-1)p的值，設(shè)直線AB的方程，代入橢圓方(n)根據(jù)向量的共線定理即可求得求得M點(diǎn)坐標(biāo)，同理求得N點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)韋達(dá)定理即可求得為定值.因?yàn)镼K=入頃J,所以yM1=yM1,故入=1yM，同理=1yN,2-y.2_y|日直線P

26、A的方程為y-2=!-(x-1)=戶(x-1)=-1-&藉 5因A+A=LJU+i=2+Yi2+y2+土:_2-2(kx1+n(kx2+l?xm1ki卻E2-y2(2-yj)(2-y2)lkC*+*2)十/工復(fù)24-24-2k8-【k%E/k仁1危？）+口_&-2l+p+l）日乂丫【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的方程，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，計(jì)算能力，屆丁中檔題.20.(14.00分)設(shè)n為正整數(shù)，集合A=(o|a=(t，t2,n),tk0,1,k=1,2,n,對(duì)丁集合A中的任意元素a=(x1,x2,，xn)和6=(y，y2,jn),記M(a,食4【(x1+y1|x1-y1|)+(x2+y2-|x2-y2|)+(xn+yn-|xn-yn|)(x1),令x=0,得yM2+7tyN=+,1-k（&卜叼）&七1勺1業(yè)芝十2也者第24頁(yè)（共22頁(yè)）(I)當(dāng)n=3時(shí)，若q1,1,0),6二(0,1,1),求M(a,a)和M(a,6)的值；(U)當(dāng)n=4時(shí)，設(shè)B是A的子集，且滿足：對(duì)丁B中的任意兀素a,6