1、2000.4哈爾濱建筑大學(xué)哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作王煥定教授制作1第五章第五章 大變形問題的有限單元法大變形問題的有限單元法1. 彈性大變形問題的有限元法彈性大變形問題的有限元法2. 彈性分支點穩(wěn)定問題有限元分析彈性分支點穩(wěn)定問題有限元分析3. 物質(zhì)描述大變形增量問題的物質(zhì)描述大變形增量問題的T.L 、U.L法法2000.4哈爾濱建筑大學(xué)哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作王煥定教授制作2彈性大變形問題，需要考慮變形的非線性項彈性大變形問題，需要考慮變形的非線性項和變形對平衡的影響。和變形對平衡的影響。 若以初始自然平衡狀態(tài)作初始位形，則物質(zhì)若以初始自然平衡狀態(tài)作初始位形，則物質(zhì)描述的格林應(yīng)變

2、為描述的格林應(yīng)變?yōu)長ijijjkikjiijijXuXuXuXuE )(21式中式中)(21jiijijXuXu jkikLijXuXu 21 線性部分線性部分非線性部分非線性部分2000.4哈爾濱建筑大學(xué)哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作王煥定教授制作3 為便于計算機編程，將張量轉(zhuǎn)換為矩陣：為便于計算機編程，將張量轉(zhuǎn)換為矩陣： 格林應(yīng)變矩陣和張量的分量間有如下關(guān)系格林應(yīng)變矩陣和張量的分量間有如下關(guān)系 T312312332211222EEEEEEE 對應(yīng)的克希荷夫應(yīng)力矩陣和張量分量間關(guān)系為對應(yīng)的克希荷夫應(yīng)力矩陣和張量分量間關(guān)系為 T312312332211222 T312312332211222L

3、LLLLLL T312312332211SSSSSSS 引入兩個算子矩陣引入兩個算子矩陣 T 123312321000000000XXXXXXXXXAd,d,d,d,d,d,d,d,d,2000.4哈爾濱建筑大學(xué)哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作王煥定教授制作4式中式中iXd,iX uIIIjiT332313XXXXu T123312321000000000XXXXXXXXXLuuuuuuuuuA,iX,uuiXT321uuuu再引入位移梯度向量的記號再引入位移梯度向量的記號H3 3階單位矩陣階單位矩陣2000.4哈爾濱建筑大學(xué)哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作王煥定教授制作5 在上述符號基礎(chǔ)上，格林

4、應(yīng)變由位移表為在上述符號基礎(chǔ)上，格林應(yīng)變由位移表為 LLAuAE21則單元格林應(yīng)變?yōu)閯t單元格林應(yīng)變?yōu)閑Nu eeLeBBBE 其中線性應(yīng)變矩陣其中線性應(yīng)變矩陣B和有限元和有限元(I)一樣一樣設(shè)單元位移場和有限元設(shè)單元位移場和有限元(I)一樣為一樣為ANB GAHNABLLL2121非線性部分非線性部分“應(yīng)變矩陣應(yīng)變矩陣”為為LBBB2000.4哈爾濱建筑大學(xué)哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作王煥定教授制作6333323313232232131312311IIIIIIIIIHNGmmmXNXNXNXNXNXNXNXNXN式中式中G為如下為如下93m的矩陣的矩陣eG 2000.4哈爾濱建筑大學(xué)哈爾濱建

5、筑大學(xué) 王煥定教授制作王煥定教授制作7 T1T3T2T3T1T2T3T2T1000000000 LA式中式中AL為如下為如下69的矩陣的矩陣iiuX 2000.4哈爾濱建筑大學(xué)哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作王煥定教授制作8由由(AL)可見，格林應(yīng)變可見，格林應(yīng)變-位移關(guān)系是非線性的。位移關(guān)系是非線性的。非線性部分因為非線性部分因為 eB AALL所以所以 為用虛位移原理建立單元特性方程，還得建為用虛位移原理建立單元特性方程，還得建立應(yīng)變增量和位移增量間的關(guān)系。對線性部分立應(yīng)變增量和位移增量間的關(guān)系。對線性部分 綜上所述，格林應(yīng)變增量為綜上所述，格林應(yīng)變增量為 eLLeGABABE)( eLLL

6、LGAAA)21(如果記如果記)2(LBBB eBE，則，則 。2000.4哈爾濱建筑大學(xué)哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作王煥定教授制作9 對彈性問題，在物質(zhì)描述下本構(gòu)關(guān)系為對彈性問題，在物質(zhì)描述下本構(gòu)關(guān)系為 在上述基礎(chǔ)上，由虛位移原理可得在上述基礎(chǔ)上，由虛位移原理可得eVeVFFBSESee)(ddTeEejTT 0000VV式中式中 為單元結(jié)點力矩陣，為單元結(jié)點力矩陣， 為單元等效結(jié)為單元等效結(jié)點荷載矩陣點荷載矩陣eFjeFEpqklpqklEDSojqipmnijnlmkklpqxXxXDxXxXJDo EDSo由于應(yīng)變、應(yīng)力以矩陣表示，因此彈性矩陣由于應(yīng)變、應(yīng)力以矩陣表示，因此彈性矩陣

7、應(yīng)按下式并考慮應(yīng)變矩陣定義來建立應(yīng)按下式并考慮應(yīng)變矩陣定義來建立oD2000.4哈爾濱建筑大學(xué)哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作王煥定教授制作10Pd和和PE分別為直接和等效結(jié)點荷載矩陣，分別為直接和等效結(jié)點荷載矩陣，R為為綜合等效結(jié)點荷載矩陣。上式也可寫為綜合等效結(jié)點荷載矩陣。上式也可寫為RPPSBeVe EdTd00V將克希荷夫應(yīng)力表達(dá)式代入，可得將克希荷夫應(yīng)力表達(dá)式代入，可得eeSVeNFNF0000SVddTTE 按集成規(guī)則集裝后可得按集成規(guī)則集裝后可得 eT)(d)(eVeRUUKRBDBU0000V eTd)(eVRSBU000V 2000.4哈爾濱建筑大學(xué)哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制

8、作王煥定教授制作11 eVeBDB00Vd0T根據(jù)本構(gòu)方程，則有根據(jù)本構(gòu)方程，則有式中式中K(U)是非對稱的，為是非對稱的，為 eTT)d()dd(d)(deVTUKSBSBU00V eddd BDEDSTT對非線性彈性問題對非線性彈性問題 、 和和 都是位移的函數(shù)。都是位移的函數(shù)。B0DB 根據(jù)非線性方程切線剛度矩陣的定義，可得根據(jù)非線性方程切線剛度矩陣的定義，可得又因又因GABLL21GABBBBLL )2(B、G為已知矩陣為已知矩陣2000.4哈爾濱建筑大學(xué)哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作王煥定教授制作12式中式中 eVeVeeSAGSB0000VVddddTLTT123312321000

9、000000 ddddddddddTLA所以所以又因又因 ,所以所以T312312332211SSSSSSS dddddddddddTMSA311232333233121222313122111SSSSSSSSSL2000.4哈爾濱建筑大學(xué)哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作王煥定教授制作13由此可得由此可得式中式中333323331323322312331312311IIIIIIIIIMSSSSSSSSSeddddd G321eeVeVeeMGGSB ddddTT 0000VV 基于上述說明，可得基于上述說明，可得 eTT)dd(d)(deVSBSBU00V UUKBDBMGGTeeVTe)d(d

10、)d(TT 00V2000.4哈爾濱建筑大學(xué)哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作王煥定教授制作14如果引入如下記號如果引入如下記號則單元切線剛度矩陣為則單元切線剛度矩陣為eeeee)(LTkkkK eVLTLTLLTeLBDBBDBBDBk00V)d(TTTeVeMGGk00VdT GABBLLL 2LBBBeVTeBDBk00VdTe初應(yīng)力或幾何剛度矩陣初應(yīng)力或幾何剛度矩陣線彈性剛度矩陣線彈性剛度矩陣大位移剛度矩陣大位移剛度矩陣eLeeeTkkkk e“結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)”切線剛度矩陣為切線剛度矩陣為建立了切線建立了切線剛度矩陣，剛度矩陣，用牛頓法等用牛頓法等即可求解。即可求解。2000.4哈爾濱建筑大學(xué)哈

11、爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作王煥定教授制作15 本節(jié)的討論沒涉及具體單元，因此具有普本節(jié)的討論沒涉及具體單元，因此具有普遍性。具體單元分析時，因形函數(shù)一般是自遍性。具體單元分析時，因形函數(shù)一般是自然坐標(biāo)的函數(shù)，故需作坐標(biāo)變換后代入相關(guān)然坐標(biāo)的函數(shù)，故需作坐標(biāo)變換后代入相關(guān)公式，從而建立具體單元的切線剛度矩陣。公式，從而建立具體單元的切線剛度矩陣。需要指出的是需要指出的是 建議自行對各種單元自行推導(dǎo)切線矩陣。建議自行對各種單元自行推導(dǎo)切線矩陣。 本節(jié)只討論了全量形式的彈性大變形分析，本節(jié)只討論了全量形式的彈性大變形分析，具體求解步驟如講義所示。為了保證收斂，具體求解步驟如講義所示。為了保證收斂，

12、擬用增量迭代法。對第二類穩(wěn)定問題（極值擬用增量迭代法。對第二類穩(wěn)定問題（極值點失穩(wěn)問題）、彈塑性問題等，必須用點失穩(wěn)問題）、彈塑性問題等，必須用 3. 所所介紹的增量形式來解決。介紹的增量形式來解決。在我們、王勛成、謝貽權(quán)、徐次在我們、王勛成、謝貽權(quán)、徐次達(dá)等的有限元教材中，都有一些達(dá)等的有限元教材中，都有一些具體單元的切線剛度矩陣，需要具體單元的切線剛度矩陣，需要時可供參考。時可供參考。2000.4哈爾濱建筑大學(xué)哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作王煥定教授制作16 對分支點穩(wěn)定問題，關(guān)鍵是建立幾何剛度矩對分支點穩(wěn)定問題，關(guān)鍵是建立幾何剛度矩陣。此時，以失穩(wěn)前的平衡位置作初始位形，陣。此時，以失穩(wěn)

13、前的平衡位置作初始位形，以失穩(wěn)形態(tài)作現(xiàn)時位形。以失穩(wěn)形態(tài)作現(xiàn)時位形。 和前述彈性大變形不同的是：和前述彈性大變形不同的是：大位移矩陣可忽略。大位移矩陣可忽略。應(yīng)變僅包含失穩(wěn)位移的非線性項。應(yīng)變僅包含失穩(wěn)位移的非線性項。 分支點處相應(yīng)失穩(wěn)位移的綜合荷載為零。分支點處相應(yīng)失穩(wěn)位移的綜合荷載為零。 注意到上述差異，即可用上節(jié)結(jié)果解決分支注意到上述差異，即可用上節(jié)結(jié)果解決分支點穩(wěn)定的有限元分析。點穩(wěn)定的有限元分析。失穩(wěn)前變形是微小的。失穩(wěn)前變形是微小的。2000.4哈爾濱建筑大學(xué)哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作王煥定教授制作17 設(shè)變形前單元長度為設(shè)變形前單元長度為l，截面積為，截面積為A，彈性模，彈性

14、模量為量為E。單元桿端位移矩陣為。單元桿端位移矩陣為e式中式中2.1 桁架單元桁架單元T22122111uuuue eNu 。單元位移為。單元位移為為為二二階階單單位位陣陣， )1 (222IIIN式中式中 為失穩(wěn)位移?；诖耍瑔卧窳謶?yīng)變?yōu)槭Х€(wěn)位移?；诖?，單元格林應(yīng)變?yōu)闉?iu2121211121)(21,u,uEe 01011LL0101LLB2000.4哈爾濱建筑大學(xué)哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作王煥定教授制作18 克希荷夫應(yīng)力為克希荷夫應(yīng)力為 因分支點穩(wěn)定關(guān)心的臨界荷載，臨界荷載時因分支點穩(wěn)定關(guān)心的臨界荷載，臨界荷載時平衡有兩重性，故臨界狀態(tài)應(yīng)力等于失穩(wěn)前狀平衡有兩重性，故臨界狀態(tài)應(yīng)

15、力等于失穩(wěn)前狀態(tài)的應(yīng)力，也即態(tài)的應(yīng)力，也即 基于上述結(jié)果，單元幾何剛度矩陣為基于上述結(jié)果，單元幾何剛度矩陣為)21(2111EEES101SS e LL1010LL1010G ，失穩(wěn)前應(yīng)力為，失穩(wěn)前應(yīng)力為1110 AENES內(nèi)內(nèi)力力為為LVeGGMGGke01T0Tdd0 xASV2000.4哈爾濱建筑大學(xué)哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作王煥定教授制作19 設(shè)變形前單元長度為設(shè)變形前單元長度為l，截面積和慣性矩為，截面積和慣性矩為A、I，彈性模量為，彈性模量為E。單元桿端位移矩陣為。單元桿端位移矩陣為e單元位移為單元位移為式中式中2.2 梁單元梁單元T12221111,vvu,vvue i)dd

16、(1Xv,vieNNNu 221ddddXYvXvYu0000411NNN6532200NNNNN2000.4哈爾濱建筑大學(xué)哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作王煥定教授制作20 式中式中Ni和有限元和有限元(I)一樣。梁單元應(yīng)變?yōu)橐粯?。梁單元?yīng)變?yōu)槠渲械谝豁棡橛邢拊渲械谝豁棡橛邢拊?I)里的線性項，非線性的里的線性項，非線性的第二項為第二項為266 aeeGcaba0021222121)dd(21ddddXvXvYXuE)34(12 lb)32(2 lc 基于上述結(jié)果，單元幾何剛度矩陣為基于上述結(jié)果，單元幾何剛度矩陣為101SSLVeGGMGGke01T0Tdd0 xASV 象桁架單元說明一樣，

17、單元應(yīng)力為象桁架單元說明一樣，單元應(yīng)力為為為初初始始狀狀態(tài)態(tài)的的軸軸向向應(yīng)應(yīng)力力 同結(jié)構(gòu)同結(jié)構(gòu)力學(xué)力學(xué)2000.4哈爾濱建筑大學(xué)哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作王煥定教授制作21 有限元有限元(I)里的二維問題單元位移為里的二維問題單元位移為2.3 二維單元二維單元(薄板穩(wěn)定薄板穩(wěn)定)TwvuuTvuu但失穩(wěn)時的位形，將有出平面的位移但失穩(wěn)時的位形，將有出平面的位移w，和桿，和桿單元一樣，應(yīng)變需考慮單元一樣，應(yīng)變需考慮w及其非線性項及其非線性項22211)(21XwXwZXuE22222)(21YwYwZYuEYwXwYXwZXvYuEE212212非非線線性性項項2000.4哈爾濱建筑大學(xué)哈爾

18、濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作王煥定教授制作22 設(shè)出平面位移為設(shè)出平面位移為面內(nèi)彈性應(yīng)力為面內(nèi)彈性應(yīng)力為ewN wT1222112222111211XNXNXNXNXNXNwmwwwmwwHNG 對出平面位移，其對出平面位移，其G矩陣為矩陣為 對應(yīng)的對應(yīng)的M矩陣為矩陣為22121211M2000.4哈爾濱建筑大學(xué)哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作王煥定教授制作23對各種具體單元，將對各種具體單元，將Nw的具體形函數(shù)代入的具體形函數(shù)代入G矩矩陣的表達(dá)式，即可積分得到具體單元的幾何剛陣的表達(dá)式，即可積分得到具體單元的幾何剛度矩陣。度矩陣。 基于上述結(jié)果，單元幾何剛度矩陣為基于上述結(jié)果，單元幾何剛度矩陣為

19、eVeMGGk00Td At 對于分支點穩(wěn)定問題，結(jié)構(gòu)力學(xué)已經(jīng)指出，對于分支點穩(wěn)定問題，結(jié)構(gòu)力學(xué)已經(jīng)指出，在比例加載下，最終歸結(jié)為一個特征值問題在比例加載下，最終歸結(jié)為一個特征值問題0UKK)( 解得特征值后，即可得到臨界荷載，一般只解得特征值后，即可得到臨界荷載，一般只關(guān)心最小臨界荷載。關(guān)心最小臨界荷載。2000.4哈爾濱建筑大學(xué)哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作王煥定教授制作24 對彈塑性、粘性對彈塑性、粘性-蠕變和施工力學(xué)等問題，介蠕變和施工力學(xué)等問題，介質(zhì)的反應(yīng)和變形的歷史有關(guān)。對隨時間變化的質(zhì)的反應(yīng)和變形的歷史有關(guān)。對隨時間變化的荷載，需要將時間變量離散成序列，以求解各荷載，需要將時間變

20、量離散成序列，以求解各時刻的響應(yīng)。為此，都需要用增量法來解決。時刻的響應(yīng)。為此，都需要用增量法來解決。 從從t到到t+t的增量期間進(jìn)行物質(zhì)描述求解時，的增量期間進(jìn)行物質(zhì)描述求解時，一般可選兩種參考位形：初始和一般可選兩種參考位形：初始和t時刻的位形。時刻的位形。前者稱為全拉格朗日前者稱為全拉格朗日(T.L)表述，后者稱為修正表述，后者稱為修正拉格朗日拉格朗日(U.L)表述。表述。 設(shè)從設(shè)從0到到t時刻的全部反應(yīng)、位形均已求得，時刻的全部反應(yīng)、位形均已求得，現(xiàn)在的問題是，如何求現(xiàn)在的問題是，如何求t+t時刻的響應(yīng)。時刻的響應(yīng)。2000.4哈爾濱建筑大學(xué)哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作王煥定教授制作

21、25未未知知 設(shè)設(shè)t0、t和和t+t的物理量分別用如下符號標(biāo)記的物理量分別用如下符號標(biāo)記 對對T.L法，介質(zhì)位移是初始位形坐標(biāo)的函數(shù)法，介質(zhì)位移是初始位形坐標(biāo)的函數(shù)iiix ,x ,X 坐標(biāo)坐標(biāo) ，密度，密度,0 面積和體積面積和體積V,V,VA,A,A00 和和iiiiiiXxuXxu- -和和)(-)(-iiiiiiiXxXxuuu 設(shè)有限元分析時單元形狀描述為設(shè)有限元分析時單元形狀描述為eNxx eNXX exNx 又設(shè)有限元分析時單元位移場為又設(shè)有限元分析時單元位移場為eNu eNu eNu 2000.4哈爾濱建筑大學(xué)哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作王煥定教授制作26ikikNXN1J式

22、中雅可比矩陣式中雅可比矩陣J為為miimiimiimiimiimiimiimiimiiXNXNXNXNXNXNXNXNXN332313322212312111J 象有限元象有限元(I)等參元分析一樣，由于形函數(shù)一等參元分析一樣，由于形函數(shù)一般是對自然坐標(biāo)般是對自然坐標(biāo) 定義的，因此有限元分析中定義的，因此有限元分析中的對坐標(biāo)求導(dǎo)等，應(yīng)象有限元的對坐標(biāo)求導(dǎo)等，應(yīng)象有限元(I)一樣進(jìn)行轉(zhuǎn)換。一樣進(jìn)行轉(zhuǎn)換。i2000.4哈爾濱建筑大學(xué)哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作王煥定教授制作27 在上述記號下，格林應(yīng)變?yōu)樵谏鲜鲇浱栂?，格林?yīng)變?yōu)?時刻時刻t +t和和t的應(yīng)變增量為的應(yīng)變增量為)(21jkikijj

23、iijXuXuXuXuEnijijijijijijEEEEEE10式中式中)(210ijjiijXuXuE)(21jkikijjiijXuXuXuXuEjkiknijXuXuE21)(211jkikjkikijXuXuXuXuE2000.4哈爾濱建筑大學(xué)哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作王煥定教授制作28 要強調(diào)指出的是，要強調(diào)指出的是，u在增量步內(nèi)已知，因此在增量步內(nèi)已知，因此 同大變形有限元，將張量轉(zhuǎn)換為矩陣，則同大變形有限元，將張量轉(zhuǎn)換為矩陣，則成成線線性性關(guān)關(guān)系系與與和和 10iijijuEE引入大變形所用算子記號，則有引入大變形所用算子記號，則有uAE0成非線性關(guān)系成非線性關(guān)系與與 in

24、ijuE T312312332211222EEEEEEE T312312332211222EEEEEEEnEEEE10EEE LAE1 LnAE21eGuH 2000.4哈爾濱建筑大學(xué)哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作王煥定教授制作29 由于由于u在增量步內(nèi)已知，因此在增量步內(nèi)已知，因此B和和BL都是已知的。又若記都是已知的。又若記eBE 0eenLBBBBE )(enLnBAE 21eLLBAE 1GABBLnn 2則有則有GABLn2 因為因為 ，因此，因此AALL)()()(enLnBAE綜上可得綜上可得eenLBBBBE)()(2000.4哈爾濱建筑大學(xué)哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作王煥定

25、教授制作30 為進(jìn)行有限元列式，還需討論克希荷夫應(yīng)力。為進(jìn)行有限元列式，還需討論克希荷夫應(yīng)力。設(shè)設(shè)t和和t+t時刻的應(yīng)力分量分別為時刻的應(yīng)力分量分別為klljkiijxXxXJSSSS 基于上述分析，利用基于上述分析，利用t+t時刻的虛位移原理時刻的虛位移原理虛功方程虛功方程klljkiijxXxXJS則象應(yīng)變分析一樣，可將則象應(yīng)變分析一樣，可將 分成分成 。同。同樣換為矩陣表示，則有樣換為矩陣表示，則有ijSijijSS等等 T312312332211SSSSSSSeeeSVVuuFES0000T00T00TdddSVV2000.4哈爾濱建筑大學(xué)哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作王煥定教授制作3

26、1 再次強調(diào)，再次強調(diào)，t時刻及其前的量都是已知的，因時刻及其前的量都是已知的，因此變分為零?；诖舜俗兎譃榱恪；诖藢⒋私Y(jié)果代入虛功方程，可得單元剛度方程將此結(jié)果代入虛功方程，可得單元剛度方程)()(eNuueVeeejeFFBS0TE0T)(dV式中式中 和和 是對初始位形定義的，是對初始位形定義的，t+t時刻的時刻的體積力和表面力，它們是已知的。體積力和表面力，它們是已知的。0F0 )()(eBEE式中式中eeSVeNFNF0000T00TEddSV2000.4哈爾濱建筑大學(xué)哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作王煥定教授制作32t時刻應(yīng)力引起的時刻應(yīng)力引起的等效結(jié)點力矩陣等效結(jié)點力矩陣t+t時

27、時刻荷載刻荷載引起的引起的等效結(jié)等效結(jié)點力矩點力矩陣陣或或 eVeRPPSB00Ed0T)(dV 將其按集成規(guī)則集裝后可得將其按集成規(guī)則集裝后可得再引入如下記號再引入如下記號 eVLeVSBBR00Td)( eVeeRSB0000Td)(V eSVeeNFNPR)dd(0000T00Td0 SV將將 和和 的表達(dá)式代入，可得的表達(dá)式代入，可得BS eVnLeRSSBBB0000T)d()(V2000.4哈爾濱建筑大學(xué)哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作王煥定教授制作33幾何或非線性應(yīng)變幾何或非線性應(yīng)變增量剛度矩陣增量剛度矩陣或或利用這些關(guān)系，非線性平衡方程可寫為利用這些關(guān)系，非線性平衡方程可寫為 e

28、VVLneeSAGSB0000VVddTTT eVeMGGK00TdV eeVeVeeMGGMG0000 VVddTT eVeRRUKSB0000Td V eVeeRSB000Td)(V 為求解上述方程，尚需解決如下兩方面問題為求解上述方程，尚需解決如下兩方面問題2000.4哈爾濱建筑大學(xué)哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作王煥定教授制作34 首先假設(shè)首先假設(shè)EEETEDSd 然后將然后將S和和E的關(guān)系線性化。根據(jù)本構(gòu)關(guān)的關(guān)系線性化。根據(jù)本構(gòu)關(guān)系系EDStT eVLeVeeSBBSB000T0Td)(dVVEDSTdd則有則有ep DDDTT彈彈塑塑性性非非線線性性彈彈性性為使其線性化，設(shè)為使其線性

29、化，設(shè)( t時刻的材料性質(zhì)矩陣時刻的材料性質(zhì)矩陣)tTD2000.4哈爾濱建筑大學(xué)哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作王煥定教授制作35 在做了上述兩方面處理后，可得在做了上述兩方面處理后，可得由此出發(fā)，用非線性方程的相關(guān)解法，即可解由此出發(fā)，用非線性方程的相關(guān)解法，即可解決大變形非線性（材料非線性）問題。決大變形非線性（材料非線性）問題。 eVLeVeeSBBSB000T0Td)(dVV將其代回非線性平衡方程，可得將其代回非線性平衡方程，可得 eVLeEDBB00TTd)(VUKBBDBBNeeVLLe 00TT)d()(V00)()(RRUKKUN 講義上給出了講義上給出了T.L法的求解步驟，可

30、供大家編法的求解步驟，可供大家編程序參考。程序參考。2000.4哈爾濱建筑大學(xué)哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作王煥定教授制作36 因因t+t的位移是用的位移是用t時刻位形為基準(zhǔn)度量的，時刻位形為基準(zhǔn)度量的，因此因此 在在t,t+t間隔內(nèi)，以間隔內(nèi)，以t時刻位形為參考位形，時刻位形為參考位形，其增量位移為其增量位移為iiixxuiiuu)(iiuu象象T.L法一樣，設(shè)單元和位移的描述為法一樣，設(shè)單元和位移的描述為eNxx exNx eNu 但需指出的是，式中形函數(shù)但需指出的是，式中形函數(shù)N是是t時刻單元自然時刻單元自然坐標(biāo)的函數(shù)。在計算坐標(biāo)的函數(shù)。在計算 等導(dǎo)數(shù)時，要先作坐等導(dǎo)數(shù)時，要先作坐標(biāo)變換

31、標(biāo)變換(Xi應(yīng)換為應(yīng)換為xi)。jxi,N2000.4哈爾濱建筑大學(xué)哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作王煥定教授制作37 類似地，用矩陣來表示則有類似地，用矩陣來表示則有 在時刻在時刻t和和t+t的格林應(yīng)變是以的格林應(yīng)變是以t時刻位形定義時刻位形定義的，因而它們分別為的，因而它們分別為ijjkikjiijijExuxuxuxuE)(21NLEEEeLBE 式中算子矩陣象式中算子矩陣象T.L法一樣，但應(yīng)將法一樣，但應(yīng)將Xi換為換為xi。0ijEeneLLNBGAAE 2121enBBE )(2000.4哈爾濱建筑大學(xué)哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作王煥定教授制作38再次強調(diào)，式中算子符號象再次強調(diào)，式

32、中算子符號象T.L法一樣，但應(yīng)將法一樣，但應(yīng)將Xi換為換為xi。 基于上述說明，象基于上述說明，象T.L法一樣可導(dǎo)得法一樣可導(dǎo)得)()(2)(enenNBBE)()(eLBEijijS)()()()(eenBBBE 關(guān)于應(yīng)力的處理也和關(guān)于應(yīng)力的處理也和T.L法一樣，對法一樣，對t 時位形時位形定義的定義的t和和t+t時刻的克希荷夫應(yīng)力分別為時刻的克希荷夫應(yīng)力分別為klljkiijxxxxJSSSSS 2000.4哈爾濱建筑大學(xué)哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作王煥定教授制作39 象象T.L法一樣由虛位移原理虛功方程可導(dǎo)得法一樣由虛位移原理虛功方程可導(dǎo)得 象象T.L法一樣推導(dǎo)，引入如下符號定義法一樣

33、推導(dǎo)，引入如下符號定義eVeeejeFFBSTET)(dV式中式中eeSVeNFNFSVddTTE其中其中 分別為分別為t時刻位形定義的單時刻位形定義的單元體積、應(yīng)力表面、體力和表面力。元體積、應(yīng)力表面、體力和表面力。FSVee、幾何或非線性應(yīng)變幾何或非線性應(yīng)變增量剛度矩陣增量剛度矩陣 eVeMGGK0TdV荷載荷載引起的等效結(jié)點力矩陣引起的等效結(jié)點力矩陣eSVeeNFNPR)dd(TTdSV2000.4哈爾濱建筑大學(xué)哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作王煥定教授制作40則可得則可得t時刻應(yīng)力引起的等效結(jié)點力矩陣時刻應(yīng)力引起的等效結(jié)點力矩陣 eVeVeeVBVSBRddTT eVeRRUKSBU0

34、Vd)(Tt+ t時刻的非線性平衡方程時刻的非線性平衡方程 象象T.L法一樣，為求解上述方程也需解決線性法一樣，為求解上述方程也需解決線性化問題。首先討論化問題。首先討論S的計算。因為的計算。因為ijkjlilkijxXxXJS2000.4哈爾濱建筑大學(xué)哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作王煥定教授制作41mmklklljkiijxvxXxXJS()mklmmlkmxvxv因此因此kkijijijxvSkijkkjikxvxv可改寫為可改寫為 由第四章已知由第四章已知klijklijVDep式中式中kijkkjikijij)(,tVEijtijijkjlilkijxXxXJS2000.4哈爾濱建筑大

35、學(xué)哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作王煥定教授制作42kkijijijxvSkijkkjikxvxv可得可得kijkkjikijij 由如下兩式消去由如下兩式消去 并利用并利用 ,且且注意到注意到Vij對稱、對稱、ij反對稱反對稱ijijijxiVvj,kijkkjikkkijijijVVxvSklijklijVDep又由于又由于 、 和和 ，因，因此此ijijVE klklkkVxvklijklijEDSklijlijkljikijklijklSSSDDep2000.4哈爾濱建筑大學(xué)哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作王煥定教授制作43 上式最后一項將使本構(gòu)張量不對稱，對金屬上式最后一項將使本構(gòu)張量不

36、對稱，對金屬類不可壓縮介質(zhì)，這一項可略去，也即類不可壓縮介質(zhì)，這一項可略去，也即在有限的克希荷夫應(yīng)力和格林應(yīng)變增量之間仍在有限的克希荷夫應(yīng)力和格林應(yīng)變增量之間仍認(rèn)為認(rèn)為這就是這就是U.L法的本構(gòu)關(guān)系線性化。法的本構(gòu)關(guān)系線性化。)(epkijkkjikklijklijESESEDSlijkljikijklijklSSDDep 與與T.L法一樣，除本構(gòu)關(guān)系線性化外，還需解法一樣，除本構(gòu)關(guān)系線性化外，還需解決幾何方面的線性化。因為決幾何方面的線性化。因為 eVeVeeeSESBVVd)(d)(TTT2000.4哈爾濱建筑大學(xué)哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作王煥定教授制作44為對上述三項積分作幾何方面的線性化，可設(shè)為對上述三項積分作幾何方面的線性化，可設(shè)這一關(guān)系可有兩種矩陣表達(dá)方式：其一是這一關(guān)系可有兩種矩陣表達(dá)