1、一、利用直角坐標計算二重積分二、利用極坐標計算二重積分二重積分的計算法二重積分的計算法化二重積分為兩次定積分化二重積分為兩次定積分一、直角坐標系下二重積分的計算一、直角坐標系下二重積分的計算積分區(qū)域積分區(qū)域D為為X型區(qū)域型區(qū)域積分區(qū)域積分區(qū)域D為為YY型區(qū)域型區(qū)域積分區(qū)域積分區(qū)域D 既不是既不是XX型，也不是型，也不是YY型型積分區(qū)域積分區(qū)域D 既是既是XX型，也是型，也是YY型型 如果區(qū)域如果區(qū)域D可以表示為不等式可以表示為不等式j(luò) j1(x) y j j2(x), , a x b, ,則稱區(qū)域則稱區(qū)域D為為X型區(qū)域型區(qū)域. . 積分區(qū)域積分區(qū)域D為為X型區(qū)域型區(qū)域0 x0 x直線直線 與與

2、D的邊界至多有兩個交點的邊界至多有兩個交點00()xx axb積分區(qū)域積分區(qū)域D為為YY型區(qū)域型區(qū)域直線直線 與與D的邊界至多有兩個交點的邊界至多有兩個交點00()yy cxd 如果區(qū)域如果區(qū)域D可以表示為不等可以表示為不等 , , c y d, ,則稱區(qū)域則稱區(qū)域D為為Y型區(qū)域型區(qū)域. .11( )( )yxy0y0y積分區(qū)域積分區(qū)域D 既是既是XX型，也是型，也是YY型型積分區(qū)域積分區(qū)域D 既不是既不是XX型，也不是型，也不是YY型型 轉(zhuǎn)化成轉(zhuǎn)化成X型或型或Y型型提示提示 z f(x, , y)為頂為頂, , 以區(qū)域以區(qū)域D為底的曲頂柱體的體積為底的曲頂柱體的體積. . 此時二重積分dyx

3、fD),(在幾何上表示以曲面 zf(x, y) 提示 截面是以區(qū)間截面是以區(qū)間j j1(x0), , j j2(x0)為底、以曲線為底、以曲線z f(x0, , y)為曲邊的曲邊梯形為曲邊的曲邊梯形. .提示 根據(jù)平行截面面積為已知的立體體積的求法根據(jù)平行截面面積為已知的立體體積的求法. . 設(shè)設(shè)f(x, , y) 0, , D(x, , y)|j j1(x) y j j2(x), , a x b. . v二重積分的計算二重積分的計算利用已知平行截面面積的立體求體積利用已知平行截面面積的立體求體積 對于對于x0 a, , b, , 曲頂柱體在曲頂柱體在x x0的截面面積為的截面面積為 曲頂柱體

4、體積為曲頂柱體體積為)()(000201),()(xxdyyxfxAjj. badxxAV)(dxdyyxfbaxx ),()()(21jjbadxxAV)(dxdyyxfbaxx ),()()(21jj. 如果如果D是是X型區(qū)域型區(qū)域 D(x, , y)|j j1(x) y j j2(x), , a x b, , 則則 上式也可以記為上式也可以記為 如果如果D是是Y型區(qū)域型區(qū)域 D(x, , y)|y y1(y) x y y2(y), , c y d, , 則則 v二重積分的計算二重積分的計算先對先對x后對后對y的二次積的二次積分分先對先對y后對后對x的二次積的二次積分分dxdyyxfdyx

5、fbaxxD ),(),()()(21jj. baxxDdyyxfdxdyxf)()(21),(),(jj. dcyyDdydxyxfdyxf)()(21),(),(yy dcyydxyxfdy)()(21),(yy. 注意：注意：積分區(qū)域的形狀：對于積分區(qū)域的形狀：對于X型（或型（或Y型）型）直線直線 與與D的邊界至多有兩個交點的邊界至多有兩個交點00()yy cxd直線直線 與與D的邊界至多有兩個交點的邊界至多有兩個交點00()xx axb積分限的確定積分限的確定 對于對于X型（型（Y型）區(qū)域型）區(qū)域D，用直線，用直線x=x(y=y)由由下至上（由左至右）穿過下至上（由左至右）穿過D，穿入

6、（出）點為對應(yīng)積，穿入（出）點為對應(yīng)積分的下（上）限。分的下（上）限。 【例【例1】計算】計算 ，其中，其中D是由直線是由直線Dxyd1,2yx及及 所圍成的區(qū)域。所圍成的區(qū)域。yx 外層積分的上、下限均為常數(shù)；內(nèi)層積分上、下外層積分的上、下限均為常數(shù)；內(nèi)層積分上、下限只能是外層積分變量的函數(shù)或常數(shù)，不能與內(nèi)層積限只能是外層積分變量的函數(shù)或常數(shù)，不能與內(nèi)層積分變量有關(guān)。分變量有關(guān)。 兩種特殊情形兩種特殊情形( , )|,Dx yaxb cyc若則積分順序可交換則積分順序可交換 (,)(,)(,)bddaaccbDfxyd x d yd xfxyd yd yfxyd x=(,)()()fxygx

7、hy若()()()()()()bdadacbcDgxhyd x d yd xgxhyd ygxd xhyd y= 如果如果D是是X型區(qū)域型區(qū)域 j j1(x) y j j2(x), , a x b, , 則則 v計算二重積分的步驟計算二重積分的步驟 如果如果D是是Y型區(qū)域型區(qū)域 y y1(y) x y y2(y), , c y d, , 則則 (1)畫出積分區(qū)域畫出積分區(qū)域D的草圖的草圖. . (2)用不等式組表示積分區(qū)域用不等式組表示積分區(qū)域D. . (3)把二重積分表示為二次積分把二重積分表示為二次積分 (4)計算二次積分計算二次積分. . dcyyDdydxyxfdyxf)()(21),

8、(),(yy. baxxDdyyxfdxdyxf)()(21),(),(jj. 【例【例3】計算】計算 ，其中，其中D是由直線是由直線 dyxyD2211,1yx 及及 所圍成的區(qū)域。所圍成的區(qū)域。yx 【例【例2】計算】計算 ，其中，其中D是由直線是由直線dxyD2yx及拋物線及拋物線 所圍成的區(qū)域。所圍成的區(qū)域。 2yx注意積分次序的選擇注意積分次序的選擇 2 22 22 22 20001(1)2baxb xb xaDab xa bedxdydxedybxedxeaab【例【例4】求】求22b xDedxdy( , )|0,0bDx yyxxaa其中其中 解：解： 若先對若先對x再對再對y

9、就求不出來就求不出來提示 由對稱性由對稱性, , 所求體積是第一卦限部分體積的所求體積是第一卦限部分體積的8倍倍. . 【例【例5】求兩個底圓半徑都等于求兩個底圓半徑都等于R的直交圓柱面所圍的直交圓柱面所圍成的立體的體積成的立體的體積. . 解 設(shè)這兩個圓柱面的方程分別為設(shè)這兩個圓柱面的方程分別為 x2 y2 R2及及x2 z2 R2. .所求立體的體積為所求立體的體積為為底, 以曲面22xRz頂?shù)那斨w. 第一卦限部分是以區(qū)域0 ,0 | ),(22RxxRyyxD為底, dxRVD228 RxRdyxRdx0022228 【例【例5】求兩個底圓半徑都等于求兩個底圓半徑都等于R的直交圓柱面

10、所圍的直交圓柱面所圍成的立體的體積成的立體的體積. . 解 設(shè)這兩個圓柱面的方程分別為設(shè)這兩個圓柱面的方程分別為 x2 y2 R2及及x2 z2 R2. .所求立體的體積為所求立體的體積為dxRVD228 RxRdyxRdx0022228 RxRdxyxR0022228 3022316)(8RdxxRR. 【例【例6】求由曲面】求由曲面 及及 222zxy2262zxy所圍成的立體的體積。所圍成的立體的體積。 二、利用極坐標計算二重積分二、利用極坐標計算二重積分 有些二重積分有些二重積分, , 其其積分區(qū)域積分區(qū)域D或其被積函數(shù)用極或其被積函數(shù)用極坐標變量坐標變量 、q q 表達比較簡單表達比

11、較簡單. . 這時我們就可以考慮這時我們就可以考慮利用極坐標來計算二重積分利用極坐標來計算二重積分. .提示 我們用從極點我們用從極點O出發(fā)的一族射線與以極點為中心的一族出發(fā)的一族射線與以極點為中心的一族同心圓構(gòu)成的網(wǎng)將區(qū)域同心圓構(gòu)成的網(wǎng)將區(qū)域D分為分為n個小閉區(qū)域個小閉區(qū)域. . 小區(qū)域小區(qū)域 i的面積為的面積為 iiiq.i 其中其中表示相鄰兩圓弧的表示相鄰兩圓弧的半徑的平均值半徑的平均值.iiiiiiqq2221)(21iiiiq)2(21iiiiiq2)(iiiiiiqq2221)(21iiiqiiiiiiqq2221)(21iiiq, 則有則有 iiiiiiq q h hq q x

12、xsin , cos . . 于是于是 我們用從極點我們用從極點O出發(fā)的一族射線與以極點為中心的一族出發(fā)的一族射線與以極點為中心的一族同心圓構(gòu)成的網(wǎng)將區(qū)域同心圓構(gòu)成的網(wǎng)將區(qū)域D分為分為n個小閉區(qū)域個小閉區(qū)域. . 小區(qū)域小區(qū)域 i的面積為的面積為 其中其中i 表示相鄰兩圓弧的表示相鄰兩圓弧的半徑的平均值半徑的平均值. . 在在 i內(nèi)取點內(nèi)取點) , (iiq q , , 設(shè)其設(shè)其直角坐標為直角坐標為(x x i, , h h i), , iiiiiiqq2221)(21iiiqiiiiiiqq2221)(21iiiq, iiiiiiiniiiiniffqqqhx )sin ,cos (lim)

13、,(lim1010, 即 qqqddfdyxfDD)sin,cos(),(. v在極坐標系下的二重積分在極坐標系下的二重積分v在極坐標系下二重積分的計算在極坐標系下二重積分的計算 如果積分區(qū)域可表示為如果積分區(qū)域可表示為 D j j1(q q) j j2(q q), , a a q q b b, , 則則qqqqqqqjqjbadfdddfD)()(21)sin,cos()sin,cos( qqqddfdyxfDD)sin,cos(),(. qqqqqqqjqjbadfdddfD)()(21)sin,cos()sin,cos(. 討論討論 區(qū)域如下圖區(qū)域如下圖, , 如何確定積分限如何確定積分

14、限?(2)(1)qqqqqqqjdfdddfD)(020)sin,cos()sin,cos(. (2) qqqqqqqjdfdddfD)(020)sin,cos()sin,cos(1) qqqqqqqjbadfdddfD)(0)sin,cos()sin,cos(qqqqqqqjbadfdddfD)(0)sin,cos()sin,cos(. 極點在積分區(qū)域的邊界上極點在積分區(qū)域的邊界上 極點包圍在積分區(qū)域極點包圍在積分區(qū)域D的內(nèi)部的內(nèi)部（3）（4）( )00(3)( cos ,sin )( cos ,sin )Dfd ddfdj qq q qqq q 2( )0(4)(cos ,sin )(co

15、s ,sin )Dfd ddfdj qq q qqq q 極點包圍在積分區(qū)域極點包圍在積分區(qū)域D的內(nèi)部的內(nèi)部【例【例7】將下列區(qū)域用極坐標變量表示】將下列區(qū)域用極坐標變量表示221(1):2Dxyy222(2):,DRxR RyRRx3(3):1Dxy1:0,02sinDqq23:,2 sin44sinRDRqqq311:0,0,02sincos2sincos3131,0,2 ,02sincos2cossinDyyyyqqqqqqqq習題：書習題：書P155第第11題題 解解 在極坐標系中在極坐標系中, , 閉區(qū)域閉區(qū)域D可表示為可表示為 0 a , , 0 q q 2 . . 于是 DDyx

16、ddedxdyeq222DDyxddedxdyeq222 為為a的圓周所圍成的閉區(qū)域的圓周所圍成的閉區(qū)域. . 【例【例8 8】計算】計算 Dyxdxdye22其中其中 D 是由中心在原點、半徑是由中心在原點、半徑 利用上述結(jié)果可以計算廣義積分dxex20 . qqdeddeaa02020021 22 qqdeddeaa02020021 22 )1 ()1 (212220aaedeq)1 ()1 (212220aaedeq. 【例【例9】求球體求球體x2 y2 z2 4a2被圓柱面被圓柱面x2 y2 2ax所截所截得的得的(含在圓柱面內(nèi)的部分含在圓柱面內(nèi)的部分)立體的體積立體的體積. . 解解

17、 由對稱性由對稱性, , 立體體積為第一卦限部分的四倍立體體積為第一卦限部分的四倍. . 其中其中 D 為半圓周為半圓周22xaxy及及 x 軸所圍成的閉區(qū)域軸所圍成的閉區(qū)域.在極坐標系中在極坐標系中D可表示為可表示為 02acosq , 2 0q. DdxdyyxaV22244, 【例【例9】求球體求球體x2 y2 z2 4a2被圓柱面被圓柱面x2 y2 2ax所截得所截得的的(含在圓柱面內(nèi)的部分含在圓柱面內(nèi)的部分)立體的體積立體的體積. . 解解 由對稱性由對稱性, , 立體體積為第一卦限部分的四倍立體體積為第一卦限部分的四倍. . 其中其中 D 為半圓周為半圓周22xaxy及及 x 軸所圍成的閉區(qū)域軸所圍成的閉區(qū)域. 在極坐標系中在極坐標系中D可表示為可表示為 DdxdyyxaV22244, )322(332)sin1 (33222032qqada)322(332)sin1 (33222032qqada. 于是 20cos2022224444qqqaDdadddaV20cos2022224444qqqaDdadddaV 02acosq , 2 0q. 使用極坐標變換計算二重積分的原則使用極坐標變換計算二重積分的原則 （1）積分區(qū)域的邊界曲線易于用極坐標方）積分區(qū)域的邊界曲線易于用極