1、實(shí)驗(yàn)一 斐波那契數(shù)列一、 實(shí)驗(yàn)?zāi)康呐c要求1 認(rèn)識(shí)Fibonacci數(shù)列，體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)其通項(xiàng)公式的過(guò)程；2 了解matlab軟件中進(jìn)行數(shù)據(jù)顯示與數(shù)據(jù)擬合的方式；3 掌握matlab軟件中plot, polyfit等函數(shù)的基本用法；4 提高對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析與處理的能力。二、 問(wèn)題描述某人養(yǎng)了一對(duì)兔（公母各一只），一個(gè)月后這對(duì)兔子生育了一對(duì)小兔。假設(shè)小兔一個(gè)月后就可以長(zhǎng)大成熟，而每對(duì)成熟的兔每月都將生育一對(duì)小兔，且兔子不會(huì)死亡。問(wèn)：一年后共有多少對(duì)兔子？三、 問(wèn)題分析這個(gè)問(wèn)題，最早由意大利數(shù)學(xué)家斐波那契(Fibonacci，1170-1240)于1202年在其著作珠算原理中提出。根據(jù)問(wèn)題的假設(shè)，兔子的總數(shù)

2、目是如下數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，問(wèn)題的答案就是此數(shù)列的第12項(xiàng)，即一年后共有144對(duì)兔子。這個(gè)數(shù)列通常被稱為斐波那契(Fibonacci)數(shù)列，研究這個(gè)問(wèn)題就是研究Fibonacci數(shù)列。把這個(gè)問(wèn)題作更深入的研究，我們會(huì)問(wèn)：第n個(gè)月后，總共有多少對(duì)兔子？即Fibonacci數(shù)列的第n項(xiàng)是多少？這就需要我們探素Fibonacci數(shù)列的通項(xiàng)公式。根據(jù)問(wèn)題的描述，我們知道第n+2個(gè)月后兔子的對(duì)數(shù)，等于第n+1個(gè)月后兔子的對(duì)數(shù)（表示原來(lái)就有的老兔子對(duì)數(shù)），加上第n個(gè)月后兔子的對(duì)數(shù)（表示生育出來(lái)的新兔子對(duì)數(shù)）。這樣就得到關(guān)于Fibonacci數(shù)列的一個(gè)

3、遞推公式：利用matlab軟件的數(shù)據(jù)可視化功能將這些數(shù)據(jù)顯示成平面曲線的形式后，我們可以觀察到Fibonacci數(shù)列的變化規(guī)律；通過(guò)matlab軟件的數(shù)據(jù)擬合功能，我們可以大概知道Fibonacci數(shù)列的函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合上面的遞推公式，就可以推導(dǎo)出來(lái)Fibonacci數(shù)列的通項(xiàng)公式。四、 背景知識(shí)介紹1 數(shù)據(jù)的可視化將離散的數(shù)據(jù)：，看成平面坐標(biāo)系里的點(diǎn)：，利用matlab軟件的plot函數(shù)在平面坐標(biāo)系里劃出一個(gè)點(diǎn)列，就可以實(shí)現(xiàn)離散數(shù)據(jù)的可視化。plot函數(shù)的基本使用格式為：plot(y)，其中參數(shù)y表示豎坐標(biāo)，即需要顯示的數(shù)據(jù)。例1 y=1:20;y=y.3;plot(y)2 數(shù)據(jù)的擬合數(shù)據(jù)擬

4、合就是尋找一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，作為被擬合數(shù)據(jù)的近似函數(shù)關(guān)系。目標(biāo)函數(shù)的類型，可以是多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)等。作數(shù)據(jù)擬合，首先需要估計(jì)目標(biāo)函數(shù)的類型，這一點(diǎn)可以通過(guò)數(shù)據(jù)可視化來(lái)觀察得到，而一階多項(xiàng)式是最常見(jiàn)的目標(biāo)函數(shù)，此時(shí)稱為線性回歸。確定擬合系數(shù)的原則是最小二乘法，即所有誤差的平方和取最小值。在matlab軟件中以多項(xiàng)式為目標(biāo)函數(shù)作數(shù)據(jù)擬合的函數(shù)是polyfit，它的基本使用格式為：polyfit (x,y,n)。其中(x,y)是被擬合的數(shù)據(jù)，即平面上的一個(gè)點(diǎn)列，而n是事先確定的多項(xiàng)式的階數(shù)。例2 x=1,3,4,5,6,7,8,9,10;y=10,5,4,2,1,1,2,3,4; p=polyfit (

5、x,y,2)結(jié)果：調(diào)用f = polyval(p,x)，可以查看擬合多項(xiàng)式的對(duì)應(yīng)于x的離散數(shù)值。3 數(shù)列的通項(xiàng)公式尋找一個(gè)整標(biāo)函數(shù)，使得它在n處的函數(shù)值，等于數(shù)列的第n項(xiàng)的值，這個(gè)函數(shù)就是數(shù)列的通項(xiàng)公式。4 黃金分割把一條線段分割為兩部分，使其中一部分與全長(zhǎng)之比等于另一部分與這部分之比（如下圖）。其比值是一個(gè)無(wú)理數(shù)，取其前三位數(shù)字的近似值是0.618。由于按此比例設(shè)計(jì)的造型十分協(xié)調(diào)美觀，因此稱之為黃金分割。五、 實(shí)驗(yàn)過(guò)程本試驗(yàn)將Fibonacci數(shù)列的有限項(xiàng)，看成是待處理的數(shù)據(jù)。首先利用matlab軟件的可視化功能，將這些數(shù)據(jù)顯示在平面坐標(biāo)系中，觀察其圖形類似什么曲線，結(jié)論是：指數(shù)函數(shù)的曲線。

6、進(jìn)一步，利用指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的互逆關(guān)系，將原有數(shù)據(jù)取對(duì)數(shù)，再觀察其曲線形狀是否類似直線，以驗(yàn)證原來(lái)的觀察是否正確。通過(guò)觀察到的目標(biāo)函數(shù)，然后利用matlab軟件的數(shù)據(jù)擬合功能，得到Fibonacci數(shù)列通項(xiàng)公式的近似關(guān)系。最后，從近似關(guān)系出發(fā)，推導(dǎo)出來(lái)Fibonacci數(shù)列的通項(xiàng)公式。1 觀察數(shù)據(jù)的大概函數(shù)關(guān)系為了研究Fibonacci數(shù)列的變化規(guī)律，我們?nèi)〈藬?shù)列的前30項(xiàng)來(lái)觀察。利用Matlab軟件的數(shù)據(jù)可視化功能，將這些數(shù)據(jù)顯示在平面坐標(biāo)系中，觀察其中蘊(yùn)涵的函數(shù)關(guān)系。具體的實(shí)現(xiàn)流程為：（1）定義數(shù)組fn；（2）顯示數(shù)組fn。具體的代碼如下：function plotfibo(n) %定義

7、函數(shù)顯示Fibonacci數(shù)列前n項(xiàng)fn=1,1; %將數(shù)列的前兩項(xiàng)放到數(shù)組fn中for i=3:n %fn的第3項(xiàng)到第n項(xiàng) fn=fn,fn(i-2)+fn(i-1); %將第i項(xiàng)添加到數(shù)組fn中end %循環(huán)結(jié)束plot(fn) %將裝有數(shù)列前n項(xiàng)的數(shù)組顯示出來(lái)這個(gè)函數(shù)的調(diào)用方式是：plotfibo(30)，顯示出來(lái)的圖像為圖1，經(jīng)觀察，覺(jué)得曲線的形狀象指數(shù)函數(shù)的曲線，其數(shù)據(jù)無(wú)限增大?？梢愿淖儏?shù)n的值，反復(fù)觀察。 圖1 n=30 圖2 n=50 圖3 n=500 圖4 n=10002 進(jìn)一步驗(yàn)證上一步得到的結(jié)論經(jīng)過(guò)上一步的觀察，覺(jué)得這些數(shù)據(jù)應(yīng)該是指數(shù)函數(shù)的形式。為了進(jìn)一步驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論是否

8、正確，可以利用指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的互逆關(guān)系。如果這些數(shù)據(jù)確實(shí)是指數(shù)函數(shù)的形式，則經(jīng)過(guò)取對(duì)數(shù)后應(yīng)該是一個(gè)線性關(guān)系，即一階多項(xiàng)式，從圖形上看應(yīng)該象一條直線。因此，再利用Matlab軟件的數(shù)據(jù)可視化功能，將這些數(shù)據(jù)取對(duì)數(shù)后顯示在平面坐標(biāo)系中，觀察它是否象一條直線。具體的實(shí)現(xiàn)流程為：（1）定義數(shù)組fn；（2）數(shù)組fn取對(duì)數(shù)；（3）顯示數(shù)組fn。具體的代碼如下：function plotlnfibo(n) %顯示取對(duì)數(shù)后的前n項(xiàng)fn=1,1; %將數(shù)列的前兩項(xiàng)放到數(shù)組fn中for i=3:n %fn的第3項(xiàng)到第n項(xiàng) fn=fn,fn(i-2)+fn(i-1); %將第i項(xiàng)添加到數(shù)組fn中end %循環(huán)結(jié)

9、束fn=log(fn)； %將原來(lái)的數(shù)據(jù)取對(duì)數(shù)plot(fn) %將裝有數(shù)列前n項(xiàng)的數(shù)組顯示出來(lái)這個(gè)函數(shù)的調(diào)用方式是：plotlnfibo(30)，顯示出來(lái)的圖像為圖5，經(jīng)觀察，覺(jué)得它確實(shí)象一條直線?？梢愿淖儏?shù)n的值，反復(fù)觀察。 圖5 n=30 圖6 n=50 圖7 n=500 圖8 n=10003 獲得數(shù)據(jù)的近似關(guān)系式經(jīng)過(guò)以上第一步的觀察，確定Fibonacci數(shù)列的數(shù)據(jù)是指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，第二步驗(yàn)證了第一步得到的結(jié)論，因此我們認(rèn)為Fibonacci數(shù)列的數(shù)據(jù)關(guān)系就是指數(shù)函數(shù)，取對(duì)數(shù)后就是線性函數(shù)，即一階多項(xiàng)式。利用Matlab軟件的數(shù)據(jù)擬合功能，通過(guò)取對(duì)數(shù)后的數(shù)據(jù)，用一階多項(xiàng)式擬合出它的函

10、數(shù)關(guān)系式，可以得到Fibonacci數(shù)列通項(xiàng)公式的一個(gè)近似表達(dá)式。具體的實(shí)現(xiàn)流程為：（1）定義數(shù)組fn；（2）數(shù)組fn取對(duì)數(shù)；（3）用一階多項(xiàng)式擬合數(shù)組fn。具體的代碼如下：function fitlnfibo(n) %根據(jù)取對(duì)數(shù)后的數(shù)據(jù)，擬合出線性表達(dá)式fn=1,1; %將數(shù)列的前兩項(xiàng)放到數(shù)組fn中for i=3:n %fn的第3項(xiàng)到第n項(xiàng) fn=fn,fn(i-2)+fn(i-1); %將第i項(xiàng)添加到數(shù)組fn中end %循環(huán)結(jié)束xn=1:n; %定義橫坐標(biāo)fn=log(fn)； %將原來(lái)的數(shù)據(jù)取對(duì)數(shù)polyfit(xn,fn,1) %擬合裝有數(shù)列前n項(xiàng)的數(shù)組這個(gè)函數(shù)的調(diào)用方式是：fitln

11、fibo(30)，運(yùn)行后返回結(jié)果是：0.4799， -0.7768。這兩個(gè)數(shù)據(jù)就是一階多項(xiàng)式的系數(shù)，即：為了提高精度，可以加大n的值。取n1000時(shí)得到：從上面的表達(dá)式，可以得到數(shù)列通項(xiàng)公式的近似：4 觀察擬合數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)的吻合程度經(jīng)過(guò)第三步的擬合，得到了Fibonacci數(shù)列近似的通項(xiàng)公式，為了觀察其吻合程度，我們將Fibonacci數(shù)列的擬合數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)的圖形顯示出來(lái)，進(jìn)行對(duì)比觀察。具體的實(shí)現(xiàn)流程為：（1）定義數(shù)組fn1,fn2；（2）顯示數(shù)組fn1,fn2。具體的代碼如下：function plotfibo2(n) %顯示擬合數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)的前n項(xiàng)fn1=; %裝擬合數(shù)據(jù)的數(shù)組for

12、 i=1:n %fn1的第1項(xiàng)到第n項(xiàng) fn1=fn1,0.4476*1.618i; %將第i項(xiàng)添加到數(shù)組fn1中end fn2=1,1; %裝原始數(shù)據(jù)的數(shù)組，前兩項(xiàng)放到數(shù)組fn2中for i=3:n %fn2的第3項(xiàng)到第n項(xiàng) fn2=fn2,fn2(i-2)+fn2(i-1); %將第i項(xiàng)添加到數(shù)組fn2中end x=1:n;plot(x,fn1,x,fn2,'r*') %顯示, fn1蘭線，fn2紅星這個(gè)函數(shù)的調(diào)用方式是：fitlnfibo2(20)，顯示出來(lái)的圖像為圖9，或fitlnfibo2(50)，顯示出來(lái)的圖像為圖10。 圖9 n=20 圖10 n=505 猜測(cè)Fi

13、bonacci數(shù)列的通項(xiàng)公式通過(guò)以上的觀察和分析，我們知道Fibonacci數(shù)列的數(shù)據(jù)大概是指數(shù)函數(shù)的關(guān)系。因此，我們猜測(cè)它的通項(xiàng)公式具有形式：。將這個(gè)表達(dá)式代入遞推公式中，得到：。經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)化得到：這是一個(gè)一元二次的代數(shù)方程，其兩個(gè)根形式如下：考慮到Fibonacci數(shù)列的數(shù)據(jù)無(wú)限增大，我們?nèi)?，于是得到通?xiàng)公式如下：上面的公式對(duì)嗎？我們可以來(lái)驗(yàn)證。取n=1和n=2代入上面的公式中計(jì)算，顯然得不到，因此它不是Fibonacci數(shù)列的通項(xiàng)公式。但這個(gè)公式并非一無(wú)是處，我們可以來(lái)考慮這個(gè)公式與Fibonacci數(shù)列到底相差多少。因此，我們引入以下一個(gè)數(shù)列：可以驗(yàn)證，這個(gè)新的數(shù)列也滿足同樣的遞推公式：，

14、因此我們猜測(cè)它同樣是指數(shù)函數(shù)的形式，可以假設(shè)其表達(dá)式為：，代入遞推公式后，同樣可以得到：。這里的r顯然不同于上面的r，故這個(gè)r取值為：，從而得到：。故有：由條件確定其中的常數(shù)，得到：可以驗(yàn)證，它確實(shí)就是Fibonacci數(shù)列的通項(xiàng)公式。這個(gè)公式是法國(guó)數(shù)學(xué)家比內(nèi)(Binet)在1843年發(fā)現(xiàn)的，稱為比內(nèi)公式。6 推導(dǎo)Fibonacci數(shù)列的通項(xiàng)公式Fibonacci數(shù)列具有如下遞推關(guān)系：這個(gè)等式實(shí)際上是一個(gè)二階常系數(shù)線性齊次差分方程，可以仿照二階常系數(shù)線性齊次微分方程來(lái)求解。首先由遞推等式得到如下特征方程：這是一個(gè)一元二次的代數(shù)方程，其兩個(gè)根形式如下：因此，我們得到差分方程的通解如下：取n=1和

15、n=2代入上面的公式中，解得：從而得到：六、 結(jié)論與應(yīng)用1 Fibonacci數(shù)列的階通過(guò)以上實(shí)驗(yàn)過(guò)程，我們得到了Fibonacci數(shù)列的通項(xiàng)公式，它類似一個(gè)指數(shù)函數(shù)，當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，其數(shù)據(jù)也無(wú)限增大，變化的階是：在Fibonacci數(shù)列的通項(xiàng)公式中，出現(xiàn)了和等無(wú)理數(shù)，而它們運(yùn)算以后的結(jié)果確是正整數(shù)，多么奇妙啊！2 Fibonacci數(shù)列與黃金分割數(shù)的關(guān)系上面的兩個(gè)無(wú)理數(shù)之間，存在著這樣的關(guān)系：而就是著名的黃金分割數(shù)。因此，F(xiàn)ibonacci數(shù)列的通項(xiàng)公式又可以寫成如下形式：可以驗(yàn)證，F(xiàn)ibonacci數(shù)列與黃金分割數(shù)之間還有如下的關(guān)系：（怎么證明上式？）3 Fibonacci數(shù)列通項(xiàng)公式的其

16、它形式Fibonacci數(shù)列的通項(xiàng)公式還有其它形式，比如：4 自然界中的Fibonacci數(shù)列Fibonacci數(shù)列與自然界中的許多現(xiàn)象有著緊密的聯(lián)系。例如，樹木的生長(zhǎng)，由于新生的枝條，往往需要一段“休息”時(shí)間，供自身生長(zhǎng)，而后才能萌發(fā)新枝。所以，一株樹苗在一段間隔，例如一年，以后長(zhǎng)出一條新枝；第二年新枝“休息”，老枝依舊萌發(fā)；此后，老枝與“休息”過(guò)一年的枝同時(shí)萌發(fā)，當(dāng)年生的新枝則次年“休息”。這樣，一株樹木各個(gè)年份的枝椏數(shù)，便構(gòu)成斐波那契數(shù)列。這個(gè)規(guī)律，就是生物學(xué)上著名的“魯?shù)戮S格定律”。 又如植物的分枝生長(zhǎng)、向日葵種子的排列、花瓣的數(shù)量、晶體的結(jié)構(gòu)等都是Fibonacci數(shù)列。花瓣的數(shù)量，一般都是Fibonacci數(shù)以斐波那契螺旋方式的排列如果順時(shí)針與逆時(shí)針螺旋的數(shù)目，是斐波那契數(shù)列中相鄰的2項(xiàng)，可稱其為斐波那契螺旋，也被稱作黃金螺旋。這樣的布局能使植物的生長(zhǎng)疏密得當(dāng)、最充分地利用陽(yáng)光和空氣。5 應(yīng)用Fibonacci數(shù)列在純粹數(shù)學(xué)、運(yùn)籌優(yōu)化、計(jì)算機(jī)科學(xué)等領(lǐng)域具有重大的應(yīng)用價(jià)值，在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)等領(lǐng)域有直接的應(yīng)用。本實(shí)驗(yàn)研究的是Fibonacci數(shù)列的變化規(guī)律，而數(shù)列本質(zhì)上就是一些數(shù)據(jù)。因此，對(duì)于一般的數(shù)據(jù)（比如：從調(diào)查中獲得的數(shù)據(jù)、從試驗(yàn)中獲得的數(shù)據(jù)）,