1、王伯雄l2.1 信號與測試系統(tǒng)分析 l2.2 信號描述 l2.3 數(shù)字信號處理1.了解信號與測試系統(tǒng)分析的意義2.確定性信號時、頻域描述的方法：周期信號的頻域表達(dá)及離散譜；非周期信號的頻域表達(dá)及連續(xù)譜；傅立葉變換的主要性質(zhì)及應(yīng)用；典型信號的傅立葉變換及應(yīng)用。3.隨機(jī)信號時、頻域描述的方法 -互相關(guān)函數(shù)與自相關(guān)函數(shù) -自功率譜和互功率譜 -工程應(yīng)用4. 數(shù)字信號處理的意義和基本原理 -離散傅里葉變換（DFT）及性質(zhì) - 采樣定理 - 泄漏與加窗處理 - 柵欄效應(yīng) -快速傅里葉變換（FFT） 圖2.1 簡諧振動信號測試系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖 對于不同的被測參量，測試系統(tǒng)的構(gòu)成及作用原理可以不同；根據(jù)測試任務(wù)

2、的復(fù)雜程度，一個測試系統(tǒng)也可以有簡單和復(fù)雜之分；根據(jù)不同的作用原理，測試系統(tǒng)可以是機(jī)械的、電的、液壓的等等。在對待屬性各異的各類測試系統(tǒng)中，常常略去系統(tǒng)具體的物理上的含義，而將其抽象為一個理想化的模型，目的是為了得到一類系統(tǒng)共性的規(guī)律。將系統(tǒng)中變化著的各種物理量，如力、位移、加速度、電壓、電流、光強(qiáng)等稱為信號。因此，信號與系統(tǒng)是緊密相關(guān)的。信號按一定的規(guī)律作用于系統(tǒng)，而系統(tǒng)在輸入信號的作用下，對它進(jìn)行“加工”，并將該“加工”后的信號進(jìn)行輸出。通常將輸入信號稱為系統(tǒng)的激勵(excitation)，而將輸出信號稱為系統(tǒng)的響應(yīng)(response)。 一、信號的定義一、信號的定義 二、信號的分類二、信

3、號的分類 三、信號時域和頻域描述方法三、信號時域和頻域描述方法 四、周期信號的頻域描述四、周期信號的頻域描述 五、周期信號的功率五、周期信號的功率 六、非周期信號的頻域描述六、非周期信號的頻域描述 七、隨機(jī)信號描述七、隨機(jī)信號描述 l“信號”(signal)一詞最初起源于“符號”、“記號”(sign)(signum拉丁語)，它表示用作為信息向量的一個物體、一個標(biāo)記、一種語言的元素、或一個約定的符號等等。 l信號是信號本身在其傳輸?shù)钠瘘c(diǎn)到終點(diǎn)的過程中所攜帶的信息的物理表現(xiàn)。 例如：質(zhì)量彈簧系統(tǒng)在受到一個激勵后的運(yùn)動狀況，可以通過系統(tǒng)質(zhì)量塊的位移時間關(guān)系來描述。反映質(zhì)量塊位移的時間變化過程的信號則

4、包含了該系統(tǒng)的固有頻率和阻尼比的信息。 l噪聲的概念：噪聲(noise)也是一種信號 ；任何干擾對信號的感知和解釋的現(xiàn)象稱為噪聲。 l信號與噪聲的區(qū)別純粹是人為的，且取決于使用者對兩者的評價標(biāo)準(zhǔn)。 例：齒輪噪聲l信號理論必須包括噪聲理論。 l信號的分類方法(signal classifications)：1.基于信號的演變類型、信號的預(yù)定特點(diǎn)、或者信號的隨機(jī)特性的表象(phenomenological)分類法。 2.規(guī)定兩類信號的能量(energy)分類法，兩類信號中一類為具有有限能量的信號，另一類為具有有限平均功率但具有無限能量的信號。 3.基于信號的幅值或者獨(dú)立變量是連續(xù)還是離散的這一特點(diǎn)

5、的形態(tài)(morphological)分類法。 4.基于信號模型中獨(dú)立變量個數(shù)的維數(shù)(dimensional)分類法。5.基于信號頻譜的頻率分布形狀的頻譜(spectral)分類法。 分類方法1是考慮信號沿時間軸演變的特性所作的一種分類。根據(jù)這種時域分類法可定義兩大類信號：確定性信號和隨機(jī)信號。確定性（deterministic）信號：可以用合適的數(shù)學(xué)模型或數(shù)學(xué)關(guān)系式來完整地描述或預(yù)測(predict)其隨時間演變情形的信號。隨機(jī)（random）信號：具有不能被預(yù)測(unpredictable)的特性且只能通過統(tǒng)計觀察來加以描述的信號。 確定性信號分為周期信號和非周期信號。l周期(periodi

6、c)信號：定義：滿足下面關(guān)系式的信號： x(t)=x(t+kT)(2.3)式中，T周期。周期信號一般又分為正余弦信號、多諧復(fù)合信號、和偽隨機(jī)信號。（圖2.2,2.3） l非周期(nonperiondic)信號：定義：不具有上述性質(zhì)的確定性信號。非周期信號又可分成準(zhǔn)周期(quasi-periodic)信號和瞬態(tài)(transient)信號兩類。 l正余弦(harmonic)信號具有如下的一般表達(dá)式 ：)(2sin)2sin()(tTAtTAtx 偽隨機(jī)(pseudo-random)信號組成周期信號的一個特殊范疇，它們具有準(zhǔn)隨機(jī)的特性。 圖2.2 正、余弦信號圖2.3 偽隨機(jī)信號非周期信號：準(zhǔn)周期信

7、號：由多個具有不成比例周期的正弦波之和形成，或者稱組成信號的正（余）弦信號的頻率比不是有理數(shù) 。瞬態(tài)信號：時間歷程短的信號 。圖2.5 瞬態(tài)信號：x(t)矩形脈沖信號；y(t)衰減指數(shù)脈沖信號；z(t)正弦脈沖；隨機(jī)信號又可分成兩大類：平穩(wěn)(stationary)隨機(jī)和非平穩(wěn)(nonstationary)隨機(jī)信號。平穩(wěn)隨機(jī)信號：信號的統(tǒng)計特征是時不變的。 圖2.6 平穩(wěn)隨機(jī)信號x(t)寬帶信號（白噪聲）y(t)經(jīng)低通濾波后的信號 非平穩(wěn)隨機(jī)信號：不具有上述特點(diǎn)的隨機(jī)信號。圖2.7 非平穩(wěn)隨機(jī)信號 l能量(energy)信號：例如：在右圖所示的單自由度振動系統(tǒng)中：由彈簧所積蓄的彈性勢能為 x2(

8、t);若x(t)表達(dá)為運(yùn)動速度，則x2(t)反映的是系統(tǒng)的運(yùn)動中的動能。定義：當(dāng)x（t）滿足關(guān)系式 則稱信號x（t）為有限能量信號 ，簡稱能量信號。矩形脈沖、衰減指數(shù)信號等均屬這類信號。 dttx2)(圖2.8 單自由度振動系統(tǒng) l功率(power)信號：當(dāng)信號滿足條件 亦即信號具有有限的（非零）平均功率，則稱信號為有限平均功率信號，簡稱功率信號。例：無阻尼振動系統(tǒng)，x(t)為能量無限信號；在一定時間區(qū)間內(nèi)，其功率有限，為功率信號；如果加阻尼。則為能量有限信號。2/2/2)(1lim0TTTdttxTl分類依據(jù)：信號的幅值是連續(xù)的還是離散的 ；自變量（即時間t）是連續(xù)的還是離散的 。l對于連續(xù)

9、信號(continuous signal )：自變量和幅值均為連續(xù)的信號稱模擬(analog)信號 ；自變量是連續(xù)、但幅值為離散的信號，則稱為量化(quantized)信號。 l對于離散信號(discrete signal)：信號的自變量及幅值均為離散的，則稱為數(shù)字(digital)信號 ；信號的自變量為離散值、但其幅值為連續(xù)值時，則稱該信號為被采樣(sampled)信號。 l時域描述法(time-domain description) ：主要反映信號的幅值隨時間變化的特征。 分析系統(tǒng)時，除采用經(jīng)典的微分或差分方程外，還引入單位脈沖響應(yīng)和單位序列響應(yīng)的概念，借助于卷積積分的方法。 l頻域分析法

10、(frequency-domain description)：將信號和系統(tǒng)的時間變量函數(shù)或序列變換成對應(yīng)頻率域中的某個變量的函數(shù)，來研究信號和系統(tǒng)的頻域特性 。對于連續(xù)系統(tǒng)和信號來說，常采用傅里葉變換和拉普拉斯變換；對于離散系統(tǒng)和信號則采用Z變換。頻域分析法將時域分析法中的微分或差分方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程，給問題的分析帶來了方便。 實(shí)際信號的形式常常是比較復(fù)雜的。因此常常將復(fù)雜的信號分解成某些特定類型（易于實(shí)現(xiàn)和分析 ）的基本信號之和 ，如正弦信號、復(fù)指數(shù)型信號、階躍信號、沖激信號等等 。信號的頻域描述即是將一個時域信號變換為一個頻域信號，將該信號分解成一系列基本信號的頻域表達(dá)形式之和，從頻率分布

11、的角度出發(fā)研究信號的結(jié)構(gòu)及各種頻率成分的幅值(amplitude)和相位(phase)關(guān)系。 在有限區(qū)間上，一個周期信號x（t）當(dāng)滿足狄里赫利條件(Dirichlet condition)時可展開成傅里葉級數(shù)(Fourier series)： 式中，an ，bn傅立葉系數(shù) v注意：an是n或n0的偶函數(shù)，a-n=an；而bn則是n或n0的奇函數(shù)，有b-n=-bn 。 ,.3 , 2 , 1 , 0, )sincos(2)(1000ntnbtnaatxnnn(2.12)2/2/0cos)(2TTntdtntxTa(2.13)2/2/0sin)(2TTntdtntxTb(2.14)信號x（t）的另

12、一種形式的傅里葉級數(shù)表達(dá)式： 式中， An稱信號頻率成分的幅值(amplitude)，n稱初相角(phase)。v注意：An是n或n0的偶函數(shù)，A-n=An；而n則是n或n0的奇函數(shù)，有-n=-n (式（2-16）)。 比較式（2.12）和式（2.15），有：100)cos(2)(nnntnAatx（2.15）)(22nnnnnnabarctgbaA n1,2, （2.16） nnnnnnAbAasincosn1,2,（2.17） 1.式中第一項(xiàng)a0/2為周期信號中的常值或直流分量 ；2.從第二項(xiàng)依次向下分別稱信號的基波或一次諧波、二次諧波、三次諧波、n次諧波 ；3.將信號的角頻率0作為橫坐標(biāo)

13、，可分別畫出信號幅值A(chǔ)n和相角n隨頻率0變化的圖形，分別稱之為信號的幅頻譜和相頻譜圖。 4.由于n為整數(shù)，各頻率分量僅在n0的頻率處取值，因而得到的是關(guān)于幅值A(chǔ)n和相角n的離散譜線。 v周期信號的頻譜是離散的!例1 求圖2.11所示的周期方波信號x（t）的傅里葉級數(shù)。解：信號x（t）在它的一個周期中的表達(dá)式為： 根據(jù)式（2.13）和（2.14）有：圖2.11 周期方波信號 20, 102, 1)(TttTtx2/2/00cos)(2TTntdtntxTa注意：本例中x(t)為一奇函數(shù)，而cosn0t為偶函數(shù)，兩者的積x(t)cosn0t也為奇函數(shù)，而一個奇函數(shù)在上、下限對稱區(qū)間上的積分值等于零

14、。 根據(jù)式（2.12），便可得傅里葉級數(shù)表達(dá)式為：用傅立葉級數(shù)某幾項(xiàng)和逼近信號 6 , 4 , 2, 0, 5 , 3 , 1,4cos12)cos(1cos12sinsin) 1(2sin)(22/00002/002/0002/02/2/0nnnnntnntnnTtdtntdtnTtdtntxTbTTTTTTn)5sin513sin31(sin4)(000ttttx圖2.12 周期方波信號的頻譜圖lx(t)為奇函數(shù) 由于x(-t)=-x(t)，因此，由式（2.16）進(jìn)而有), 2 , 1(sin)(402/00ntdtntxTbaTnn（2.18）),2, 1(,2)12(nmmbAnnn為

15、整數(shù)）（2.19）lx(t)為偶函數(shù)由于x(-t)=x(t)，因而有進(jìn)而有圖2.14 偶函數(shù)例，圖中函數(shù)為對稱于縱軸的三角波)2, 1 ,0(cos)(402/00ntdtntxTabTnn（2.20）)2, 1(,nmmaAnnn為整數(shù)）（2.21）由歐拉公式可知 ：代入式（2.12）有：令則或)(2sin)(21costjtjtjtjeejteet（2.22）1000)(21)(212)(ntjnnntjnnnejbaejbaatx3,2,12)(21)(2100naCjbaCjbaCnnnnnn（2.23）3,2, 1)(11000neCeCCtxntjnnntjnn（2.24）,2,

16、1,0)(0neCtxntjnn（2.25）求傅里葉級數(shù)的復(fù)系數(shù) CnCn是離散頻率n0的函數(shù)，稱為周期函數(shù)x(t)的離散頻譜。 Cn一般為復(fù)數(shù)，故可寫為且有,2, 1,0)(1sin)(cos)(12/2/2/2/02/2/00ndtetxTtdtntxjtdtntxTCTTtjnTTTTn（2.26）CjCeCCnjnnnImRe（2.27）nnnCCC22ImRe（2.28）nnnCCarctgReIm（2.29）l每個實(shí)周期函數(shù)的幅值譜是n（或n0）的偶函數(shù)，相位譜是n（或n0）的奇函數(shù)。（由式（2.26）可證）l當(dāng)周期信號有時間移位時，其幅值譜不變，相位譜發(fā)生n0弧度的變化。（由式（

17、2.25）可證） v周期信號的頻譜是離散譜； v周期信號的譜線僅出現(xiàn)在基波及各次諧波頻率處； v周期信號的幅值譜中各頻率分量的幅值隨著頻率的升高而減小，頻率越高，幅值越小。 解：根據(jù)式（2.26）有 例2 求周期矩形脈沖（periodic sequence of rectangular pulses）的頻譜，設(shè)周期矩形脈沖的周期為T，脈沖寬度為，如圖2.16所示。圖2.16 周期矩形脈沖, 2, 1, 022sin2sin211)(100002/2/02/2/2/2/000nnnTnnTjneTdteTdtetxTCtjntjnTTtjnn由于0=2/T，代入上式得定義則式（2.36）變?yōu)楦鶕?jù)

18、式（2.25）可得到周期矩形脈沖信號的傅里葉級數(shù)展開式為 ,2, 1,0,sinnTnTnTCn（2.36）xxxcdefsin)(sin（2.37）, 2, 1, 0,2sinsin0nncTTncTCn（2.38）ntjnntjnneTncTeCtx00sin)(（2.39）圖2.17 周期矩形脈沖的頻譜（T=4） 信號的主要能量集中在第一個零點(diǎn)（ 2/以內(nèi) ），通常將0 2/這段頻率范圍稱周期矩形脈沖信號的帶寬，用符號C表示： 周期矩形脈沖信號的周期和脈寬改變時它們的頻譜變化的情形：（1）信號的周期相同，脈寬不同（帶寬大，頻率分量多，幅值?。?1C(2.40)圖2.18 信號脈沖寬度與頻

19、譜的關(guān)系 (2）信號的脈沖寬度相同而周期不同時，其頻譜變化情形 ：（帶寬同，譜線間隔小，幅值小）圖2.19 信號周期與頻譜的關(guān)系 一個周期信號x（t）的功率為 ：將式（2.15）代入式（2.41），有 根據(jù)正交函數(shù)的性質(zhì) ，式（2.41）展開后的結(jié)果為：v上式等號右端的第一項(xiàng)表示信號x（t）的直流功率，而第二項(xiàng)則為信號的各次諧波的功率之和。 2/2/2)(1TTdttxTP（2.41）2/2/2100cos21TTnnndttnAaTP（2.42）21202/2/2212)(1nnTTAadttxTP（2.43）又因?yàn)?，故式（2.43）又可寫為l式(2.43)和式(2.44)稱巴塞伐爾（Pa

20、rseval）定理。它表明：周期信號在時域中的信號功率等于信號在周期信號在時域中的信號功率等于信號在頻域中的功率。頻域中的功率。l定義周期信號x（t）的功率譜（power spectrum）為其中Pn表示信號第n個功率譜點(diǎn)。l功率譜的性質(zhì) : Pn是非負(fù)的；Pn是n的偶函數(shù)；Pn不隨時移而改變。nnAC21nnnnTTCCCdttxTP212202/2/22)(1（2.44）, 2, 1, 0,2nCPnn（2.45）（一）傅里葉變換與連續(xù)頻譜 （二）能量譜 （三）傅里葉變換的性質(zhì) （四）功率信號的傅里葉變換 設(shè)x（t）為(-T/2,T/2)區(qū)間上的一個周期函數(shù)。它可表達(dá)為傅里葉級數(shù)的形式：式

21、中 將式（2.50）代入式（2.49）得T時：（1）區(qū)間(-T/2,T/2)變成(-, )；（2）頻率間隔=0=2/T變?yōu)闊o窮小量，離散頻率n0變成連續(xù)頻率 。 ntjnneCtx0)(2.49)2/2/0)(1TTtjnndtetxTC(2.50)ntjnTTtjnedtetxTtx002/2/)(1)(2.51)由式（2.51）得到 將式（2.52）中括號中的積分記為： 它是變量的函數(shù)。則（2.52）式可寫為：將X()稱為x（t）的傅里葉變換(Fourier transform, FT)，而將x(t)稱為X()的逆傅里葉變換，記為： dedtetxedtetxdtxtjtjtjtj)(21

22、)(2)(2.52)dtetxXtj)()(2.53)deXtxtj)(21)(2.54)()(Xtx(2.55)非周期函數(shù)x（t）存在有傅里葉變換的充分充分條件條件是x（t）在區(qū)間(-, )上絕對可積，即 但上述條件并非必要條件必要條件。因?yàn)楫?dāng)引入廣義函數(shù)概念之后，許多原本不滿足絕對可積條件的函數(shù)也能進(jìn)行傅里葉變換。 若將上述變換公式中的角頻率用頻率f來替代，則由于=2f，式（2.53）和（2.54）分別變?yōu)閐ttx)(dtetxfXftj2)()(2.56)dfefXtxftj2)()(2.57)l小結(jié)：從式（2.57）可知，一個非周期函數(shù)可分解成頻率f連續(xù)變化的諧波的疊加。式中X(f)d

23、f是諧波ej2f的系數(shù)，決定著信號的振幅和相位。 X(f)或X()為x(t)的連續(xù)頻譜。由于X(f)一般為實(shí)變量f的復(fù)函數(shù)，故可將其寫為 將上式中的 或 稱非周期信號x(t)的幅值譜， (f)或()稱x(t)的相位譜。(連續(xù)譜，頻譜密度函數(shù)) )()()(fjefXfX(2.59)( fX)(X例4 求圖示單邊指數(shù)函數(shù)的頻譜。解：由式（2.56）有 于是 fjadteedtetedtetxfXftjatftjatftj21)()()(022222)2(1)(fafXafarctgf2)(圖2.21 單邊指數(shù)函數(shù) e-at(t) (a0)圖2.22 單邊指數(shù)函數(shù)e-at(t) (a0)的頻譜例5

24、 圖2.23所示為一矩形脈沖（又稱窗函數(shù)或門函數(shù)），用符號gT(t)表示： 求該函數(shù)的頻譜。解： 圖2.23 矩形脈沖函數(shù)其它,02, 1)(TttgT2sin22sin11)()(2/2/2/2/TcTTTTeejdtedtetgGTjTjTTtjtjTT(2.59)其幅頻譜和相頻譜分別為 ：可以看到，窗函數(shù)gT(t)的頻譜GT()是一個正或負(fù)的實(shí)數(shù)，正、負(fù)符號的變化相當(dāng)于在相位上改變一個弧度。 2sinTcTGT(2.60)(2.61)(sin)(ctrect(2.62)圖2.24 矩形脈沖函數(shù)的頻譜GT() 矩形脈沖函數(shù)與sinc函數(shù)之間是一對傅里葉變換對，若用rect（t）表示矩形脈沖

25、函數(shù)則有： 02sin,02sin, 0)(TcTc一個非周期函數(shù)x（t）的能量定義為 將式（2.54）代入上式可得對于實(shí)信號x(t)，有 ,式(2.64)變?yōu)閐ttxE)(2(2.63)dXXddtetxXdtdeXtxdttxEtjtj)()(21)()(21)(21)()(2(2.64)()(*XXdXdXXdXXE2*)(21)()(21)()(21由此最后得 式（2.65）亦稱巴塞伐爾方程或能量等式能量等式。它表示，一個非周期信號x(t)在時域中的能量可由它在頻域中連續(xù)頻譜的能量來表示。式（2.65）亦可寫成 其中， ，稱S()為x(t)的能量譜密度函數(shù)，簡稱能量譜函數(shù)。 dXdtt

26、xE22)(21)(2.65)0022)()(1)(21dSdXdXE(2.66)2)()(XS圖2.27 矩形脈沖函數(shù)的能量譜曲線及能量表示 1.對稱性（亦稱對偶性） 2.線性3.尺度變換性 4.奇偶性5.時移性6.頻移性（亦稱調(diào)制性）7.卷積 8.時域微分和積分 9.頻域微分和積分 1.對稱性（亦稱對偶性） 若有則有 2.線性 如果有 則 )()(Xtx)(2)(xtX(2.67)()(11Xtx)()(22Xtx)()()()(2121bXaXtbxtax(2.68)3.尺度變換性(scaling)如果有則對于實(shí)常數(shù)a，有 若信號x（t）在時間軸上被壓縮至原信號的1/a，則其頻譜函數(shù)在頻

27、率軸上將展寬a倍，而其幅值相應(yīng)地減至原信號幅值的1/|a|。信號的持續(xù)時間與信號占有的頻帶寬成反比。 )()(XtxaXaatx1)(2.69)圖2.29 窗函數(shù)的尺度變換（a=3） 4.奇偶性x(t)為時間t的實(shí)函數(shù) x(t)為偶函數(shù)（x(t)=x(-t)），X()為的實(shí)、偶函數(shù)；x(t)為奇函數(shù)（x(t)=-x(-t)），X()為的虛、奇函數(shù)；x(t)為時間t的實(shí)函數(shù) )()(,)()()(Im)(Im),(Re)(ReXXXXXX(2.73)()()(*XXtx(2.74)5. 時移性(time shifting)如果有 則例8 求圖2.30所示矩形脈沖函數(shù)的頻譜 。解：該函數(shù)的表達(dá)式為

28、可視為一個中心位于坐標(biāo)原點(diǎn)的矩形脈沖時移至t0點(diǎn)位置所形成。則幅頻譜和相頻譜分別為 )()(Xtx0)()(0tjeXttx(2.75)圖2.30 具有時移t0的矩形脈沖 TttArecttx0)(02)(sin)(ftjefTcATfX0)(sin,20)(sin,2)()(sin)(00fTcftfTcftffTcATfX圖2.31 具有時移的矩形脈沖函數(shù)的幅頻和相頻譜圖形 6. 頻移性(frequency shifting)（亦稱調(diào)制性） 如果有則0常數(shù)。)()(Xtx)()(00 Xetxtj(2.76)圖2.32 x(t)cos0t的頻譜 7. 卷積(convolution)l時域卷

29、積如果有則式中x(t)*h(t)表示x(t)與h(t)的卷積。l頻域卷積 如果有則)()(Xtx)()(Hth)()()()(HXthtx(2.79)()(Xtx)()(Hth)()(21)()(HXthtx(2.81)證明：（時域卷積）根據(jù)卷積積分的定義有其傅里葉變換為由時移性知，代入上式得dthxthtx)()()()(2.80)ddtethxdtdthxethtxFtjtj)()()()()()(jtjeHdteth)()()()()()()()()()(XHdexHdeHxthtxFjj圖2.34 卷積的圖解 8.時域微分和積分 如果有則以及條件是X(0)=0。證明：(1) vn階微分

30、的傅里葉變換公式： )()(Xtx)()(Xjdttdx(2.87)tXjdttx)(1)(2.88)deXtxtj)(21)(dejXdttdxtj)(21)()()(Xjdttdx)()(Xjdttxdnnn(2.89)(2) 設(shè)函數(shù)g(t)為其傅里葉變換為G()。由于利用(2.87)得或亦即ttdtxtg)()()()(txdttdg)()(XGj)(1)(XjGtXjdttx)(1)(9. 頻域微分和積分 如果有則進(jìn)而可擴(kuò)展為和式中若x(0)=0，則有)()(XtxddXtjtx)()(2.91)nnndXdtxjt)()()(2.92)dXtxjttx)()(1)()0(2.93)d

31、Xx)(21)0(dXjttx)()(2.94)只有滿足狄里赫利條件的信號才具有傅里葉變換，即 有限平均功率信號，它們在(-, )區(qū)域上的能量可能趨近于無窮，但它們的功率是有限的，即滿足利用函數(shù)和某些高階奇異函數(shù)的傅立葉變換來實(shí)現(xiàn)這些函數(shù)的傅立葉變換。0)(dttx2/2/2)(1limTTTdttxTP(2.95)l在時間內(nèi)激發(fā)有一矩形脈沖p (t)，它的幅值為1/，面積為1。當(dāng)0時，該矩形脈沖p (t)的極限便稱為單位脈沖(unit impulse)函數(shù)或函數(shù)。l性質(zhì)：（1）（2）0, 00,)(ttt(2.96)1)()(tdt(2.97)圖2.36 矩形脈沖函數(shù)與函數(shù) l由函數(shù)的兩條性

32、質(zhì)式(2.96)和(2.97) ，可得其中x(t)在t=t0時是連續(xù)的。 l單位脈沖函數(shù)(t)的傅里葉變換 ：即)()()(00txdttttx(2.99)1)()()(dtettFXtj(2.100)1)(t(2.101)圖2.37 (t)及其傅里葉變換 l時移單位脈沖函數(shù)(t-t0)的傅里葉變換對： 常數(shù)1的傅里葉變換對： 圖2.38 (t-t0)及其傅里葉變換 圖2.39 常數(shù)1及其傅立葉變換 0)(0tjett(2.102)(200tje(2.103)(21(2.104)l單位脈沖函數(shù)(t)與任一函數(shù)x(t)的卷積 證明：推廣可得)()()()()()()(txdtxtxtttx)()

33、()()()(txtxtttx(2.105)()()()()(000ttxtxtttttx(2.106)圖2.41 x(t-t1)與(t-t0)的卷積 歐拉公式：余弦函數(shù)的頻譜：正弦函數(shù)的頻譜：圖2.42 正、余弦函數(shù)及其頻譜 )()(sin000 jt(2.111)()(cos000t(2.110)2cos000tjtjeet(2.109)周期函數(shù)x(t) 的傅里葉級數(shù)形式：式中x(t)的傅立葉變換為：v一個周期函數(shù)的傅里葉變換由無窮多個位于一個周期函數(shù)的傅里葉變換由無窮多個位于x(t)的各諧波頻率上的單位脈沖函數(shù)組成。的各諧波頻率上的單位脈沖函數(shù)組成。( (傅立葉傅立葉級數(shù)信息的另一種表達(dá)

34、！級數(shù)信息的另一種表達(dá)！) ) ntjnneCtx0)(dtetxTCtjnTTn0)(122nnntjnnntjnnnCeFCeCFtxFX)(2)()(000(2.117)例12 單位脈沖序列求它的傅里葉變換。解：將x(t)表達(dá)為傅里葉級數(shù)的形式 于是有對式（2.119）兩邊作傅里葉變換得 根據(jù)式（2.117）可得 亦即tjnneCtx0)(TdtetTdtetxTCtjnTTtjnTTn1)(1)(10022221)(0ntjneTFXnTnTX2),(2)(00nkTttx)()(2.118)ntjneTtx01)(2.119)nnnkTt)()(00(2.120)v一個周期脈沖序列的

35、傅里葉變換仍為（在頻域中的）一個周期脈沖序列。單個脈沖的強(qiáng)度為0=2/T，且各脈沖分別位于各諧波頻率n0=n2/T上，n=0, 1, 2, 。圖2.47 周期脈沖序列函數(shù)及其頻譜 （一）概述（二）隨機(jī)過程的主要特征參數(shù) 1.均值、均方值和方差 2.概率密度函數(shù)和概率分布函數(shù) l隨機(jī)信號(random signal)特點(diǎn)：具有不能被預(yù)測的瞬時值；不能用解析的時域模型來加以描述；能由它們的統(tǒng)計的和頻譜的特性來加以表征。l描述隨機(jī)信號必須采用概率統(tǒng)計的方法。樣本(sample)函數(shù) ：隨機(jī)信號按時間歷程所作的各次長時間的觀察 ，記作xi(t)。 樣本記錄：在有限時間區(qū)間上的樣本函數(shù)。隨機(jī)過程 ：同一

36、試驗(yàn)條件下的全部樣本函數(shù)的集（總體）(ensemble)，記為x(t)。 ),(,),(),()(21txtxtxtxi(2.121)l對隨機(jī)過程常用的統(tǒng)計特征參數(shù)：均值、均方值、方差、概率密度函數(shù)、概率分布函數(shù)和功率譜密度函數(shù)等。均值(mean value)：均方值(mean square value)：v這些特征參數(shù)均是按照集平均(set average)來計算的，即在集中的某個時刻對所有的樣本函數(shù)的觀測值取平均。l分類：平穩(wěn)隨機(jī)過程 ；非平穩(wěn)過程。NiiNxtxNt111)(1lim)(NiiNxtxNt11212)(1lim)(l平穩(wěn)隨機(jī)過程(stationary random process) ：過程的統(tǒng)計特性不隨時間的平移而變化、或者說不隨時間原點(diǎn)的選取而變化的過程。嚴(yán)格地說便是：如果對于時間t的任意n個數(shù)