1、精選ppt1精選ppt2第十二章第十二章 能量法能量法121 概述122 桿件變形能的計(jì)算123 變形能的普遍形式124 單位力法 (莫爾積分)125 互等定理126 卡氏定理127 能量法解超靜定問(wèn)題128 圖乘法129 能量法中其它原理的簡(jiǎn)介小結(jié)小結(jié)精選ppt3121 121 概述概述一、一、變形能（應(yīng)變能）：變形能（應(yīng)變能）： 變形固體在外力作用下由變形而儲(chǔ)存的能量。 V1、彈性變形能具有可逆性。2、塑性變形能不具有可逆性 。 彈性變形能彈性變形能：變形固體在外力作用下由于產(chǎn)生彈性變形而儲(chǔ)存的能量。 精選ppt4二、變形能的計(jì)算：二、變形能的計(jì)算：利用能量守恒原理WV 三、能量法三、能量

2、法：利用功能原理和功、能的概念進(jìn)行計(jì)算的方法。 能量守恒原理：能量守恒原理：變形固體在外力作用下產(chǎn)生的變形而儲(chǔ)存的能量，在數(shù)值上等于外力所作的外力功。 常見(jiàn)的能量法常見(jiàn)的能量法功能原理、單位力法（莫爾積分法）、 卡氏定理、圖乘法。精選ppt5122 122 桿件變形能的計(jì)算桿件變形能的計(jì)算一、軸向拉壓桿的變形能一、軸向拉壓桿的變形能在線(xiàn)彈性范圍內(nèi)在線(xiàn)彈性范圍內(nèi)：LFLLEALdLLEALdFdWWLL21)2(2011011FLLFL1F1dL1dF1LNNEAdxxFEALFVLFW0222)(221精選ppt6二、扭轉(zhuǎn)軸的變形能二、扭轉(zhuǎn)軸的變形能LPPGIdxxTGILTVmW0222)(

3、221 1T1d 1d T 1mmL在線(xiàn)彈性范圍內(nèi)在線(xiàn)彈性范圍內(nèi)：精選ppt7三、彎曲梁的變形能三、彎曲梁的變形能LEIdxxMEILMVMW0222)(221M四、注意四、注意1 1、同種類(lèi)型荷載的變形能不能疊加。、同種類(lèi)型荷載的變形能不能疊加。2 2、變形能的大小與加載次序無(wú)關(guān)，只與最終值有關(guān)。、變形能的大小與加載次序無(wú)關(guān)，只與最終值有關(guān)。在線(xiàn)彈性范圍內(nèi)在線(xiàn)彈性范圍內(nèi)：精選ppt8證證1 11） 共同作用下：21,FFEALFFEALFEALFEALFFV212221221222)(F1LF2L2） 單獨(dú)作用下：1FEALFV22113） 單獨(dú)作用下：2FEALFV2222VVV21證畢。

4、F1LF2精選ppt9證證2 21）若先加1FEALFV22113）此過(guò)程總的變形能2）在加完 后再加1FF2EALFV2222EALFFV212VVVVV2210證畢EALFFEALFEALFEALFFV212221221222)(F1LF2精選ppt10123 123 變形能的普遍形式變形能的普遍形式一、對(duì)線(xiàn)性彈性體的一般受力情況：一、對(duì)線(xiàn)性彈性體的一般受力情況：iiFFFFW21212121332211克拉貝依隆原理克拉貝依隆原理（ 廣義力， 廣義位移）iFiF1F2F3Fi123iiiFV21精選ppt11二、對(duì)線(xiàn)性彈性體的組合變形桿：二、對(duì)線(xiàn)性彈性體的組合變形桿：mmLFWT2121

5、21FFmmmTmTLLPLNEIdxxMGIdxxTEAdxxFV2)(2)(2)(222精選ppt12例例1 1：圖示半圓形等截面曲桿位于水平面內(nèi)，在A點(diǎn)受鉛垂力 F的作用。求A點(diǎn)的垂直位移。EI，GIp已知APR解解：用能量法（外力功等于應(yīng)變能）求內(nèi)力sin)(:FRM彎矩)cos1 ()(:FRT扭矩FMTQAP BntFFs精選ppt13外力功等于變形能變形能：LLPdxEIxMdxGIxTV2)( 2)( 22022202222)(sin2)cos1 (RdEIRFRdGIRFPEIRFGIRFP4433232VFWA2EIFRGIFRPA22333精選ppt14例例2 2：用能量

6、法求C點(diǎn)的撓度。梁為等截面直梁。EI 已知PaaA AC CB BCFwW21LdxEIxMV2)( 2)0( ; 2)(axxFxM在應(yīng)用對(duì)稱(chēng)性，得：EIaFdxxFEIVa12)2(2123202EIFawVWC63解解：求內(nèi)力外力功等于變形能變形能：F精選ppt15LaBCAF例例3 3：圖示桁架結(jié)構(gòu)，已知BC桿的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，兩桿的抗拉壓剛度均為EA，在B點(diǎn)受鉛垂力F。求B點(diǎn)的垂直位移。 求內(nèi)力FFN1FN2xy.;sin21aaFctgFFFNN外力功等于變形能變形能：VFWB2aaaaa232222sin2)cos1 (2cos)(2)sin(2EALFEALFctgEALFEALFV

7、Naa23sin)cos1 (EAFLB精選ppt16例例4 4：已知?jiǎng)偧艿?EI、 GIp，力F 鉛垂。求C點(diǎn)的鉛垂位移。 求內(nèi)力功等于變形能變形能：FABCbx1ax2.)()(:)(:22211FbxTFxxMBAFxxMBCLPLdxGIxTdxEIxMV2)( 2)( 22VFWc2pcGIFabEIbaF2333)(apabGIdxFbEIdxFxEIdxFxV020220212)(2)(2)(pGIabFEIbaF26)(22332精選ppt1712124 4 單位力法單位力法 (莫爾積分法莫爾積分法)一、問(wèn)題的提出：一、問(wèn)題的提出：桿件在外力作用下，任意截面沿任意方向的位移如何

8、確定？二、單位力法的原理二、單位力法的原理LdxEIxMV2)( 2LdxEIxMV2)( 20欲求任意點(diǎn)A的位移w A q（x）w AA圖圖aAP0=1圖圖bF精選ppt18q（x）w AAcwVVV10LddxEIxMxMV2)()( 2LAdcdxEIxMxMwVV)()( q（x）AF =1圖圖dLdxEIxMV2)( 2LdxEIxMV2)( 20AP0=1圖圖cF精選ppt19單位力法（莫爾積分）的基本計(jì)算公式。結(jié)論：結(jié)論：普遍形式的單位力法原理（莫爾定理）LEIdxxMxMw)()(LpGIdxxTxT)()(LNNEAdxxFxFL)()(LLpLNNEIdxxMxMGIdxx

9、TxTEAdxxFxF)()()()()()(精選ppt20三、注意的問(wèn)題三、注意的問(wèn)題1、此種方法存在兩個(gè)力系： 一個(gè)為實(shí)際的力系；另一個(gè)為單位力系。2、單位力必須與所求位移相對(duì)應(yīng)： 求線(xiàn)位移在所求點(diǎn)沿所求位移方向加單位集中力 求角位移在所求點(diǎn)沿所求位移方向加單位集中力偶4、結(jié)果為“+”說(shuō)明所加單位力方向與實(shí)際位移方向相同； “-”說(shuō)明所加單位力方向與實(shí)際位移方向相反。四、公式的使用條件：四、公式的使用條件： 線(xiàn)彈性的小變形、各種力引起的位移各自獨(dú)立。的坐標(biāo)系必須一致，每段桿的坐標(biāo)系可自由建立。 莫爾積分必須遍及整個(gè)結(jié)構(gòu)。精選ppt21例例5 5：用單位力法求等截面直梁C點(diǎn)的撓度和轉(zhuǎn)角，（E

10、I已知）qaaA AC CB B)0( ;2)(2axqxaqxxM)0( ; 2)(axxxMEIqadxxqxqaxEIa2452)2(2402積分求變形解解：求載荷作用下的內(nèi)力虛加單位力，再求內(nèi)力aaA AC CB BF =1xxadxEIxMxM0)()(2對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)性wc精選ppt22aaA AC CB Bm =1求轉(zhuǎn)角，重建坐標(biāo)系（如圖）aadxaxqxqaxEIdxaxqxqaxEI0222220112112)2(12)2(12)( :211qxqaxxMAC )()( )()()(0)(0aBCaABCdxEIxMxMdxEIxMxMqaaA AC CB BaxxM2)( 10

11、 2)( :BC222qxqaxxMaxxM2)(2x1x2x1x2精選ppt23500300P=60NBAC C20510例例6 6：折桿A處為一軸承，允許桿在軸承內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，但不能上下移動(dòng)，已知：E=210Gpa，G=0.4E，求B點(diǎn)的垂直位移500300F =1BAC C20510FxxMAB)(xxMAB)(FxTCA3 . 0)(13 . 0)(1xTCAxx1解解：畫(huà)單位載荷圖求內(nèi)力Fxx1精選ppt24LLPBdxEIxMxMdxGIxTxT)()( )()( 1113 . 0025 . 0013 . 03 . 0dxEIFxdxGIFPPACABABGILFLEIFL23333

12、3101052103123 . 06034210202104 . 0325 . 03 . 060mmm22. 8008219. 0變形求內(nèi)力FxxMAB)(xxMAB)(FxTCA3 . 0)(13 . 0)(1xTCA精選ppt25例例7 7：用單位力法求C 點(diǎn)的水平位移。（EI 已知）變形解解：畫(huà)單位載荷圖求內(nèi)力bx2ABCax1Fx2ABCx11axMFaxMBAxxMFxxMBC)(;)(:)(;)(:221111EIbaFaEIdxaFaEIdxxFxba3)3()(2020111LEIdxxMxM)()(精選ppt26例例8 8：用單位力法求剛架AD兩點(diǎn)的相對(duì)水平位移。（EI已知）

13、變形解解：畫(huà)單位載荷圖求內(nèi)力FFADBCLLLx1x1x311ADBCx1x1x3LxMFLxMBCxxMFxxMCDAB)(;)(:)(;)(: )(331111EIFLEIdxLFLEIdxxFxEIdxxMxMLLL35)()(2)()(30011精選ppt27例例9 9：用單位力法求桁架BD兩節(jié)點(diǎn)的相對(duì)位移。（EA已知）FADBCLLLLF=1ADBCF=1變形解解：畫(huà)單位載荷圖求內(nèi)力（如圖所示）000-FF2122222222EALFFEAdxxFxFNNLNN)()(EAFLLEAFLEAF2)24()22()(212精選ppt28125 125 互等定理互等定理一、前提條件：一、

14、前提條件：線(xiàn)彈性、小變形。二、基本原理：二、基本原理：1、線(xiàn)彈性小變形物體在 F1作用下， F1點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的位移為1 。則外力功為：11121FW2、先加 F1再加 F2，且F2 點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的位移為2 ，F(xiàn)1點(diǎn)處增加的位移為1 。此時(shí)外力功為：11221122121FFFWF11F111 12 2F2精選ppt29F11F22 22 23、先加 F2 再加 F1 ，同上相似 F2點(diǎn)處在 F2作用下對(duì)應(yīng)的位移為2 ，F(xiàn)1點(diǎn)處在 F1作用下對(duì)應(yīng)的位移為1 ，F(xiàn)2點(diǎn)處由于 F1的作用增加的位移為 2 。此時(shí)外力功為：22112232121FFFW4、因?yàn)樽冃文艿拇笮∨c加載次序無(wú)關(guān)，只于外力的最終值有關(guān)，

15、從而可得32WW 22112211221121212121FFFFFF2211FF精選ppt30三、功的互等定理三、功的互等定理 ：2211FF既：第一組力在第二組引起的位移上作的功，等于第二組力在第一組引起的位移上作的功。四、位移互等定理四、位移互等定理（令F1=F2） ：21既：F1 作用點(diǎn)沿 F1作用方向因 F2引起的位移，等于 F2作用點(diǎn)沿 F2作用方向因 F1 引起的位移。F111 12 2F2F11F22 22 2精選ppt31 例例10：圖示等截面直梁，EI已知，求：B點(diǎn)的支座反力ABCFaL解解：1、去掉 B支座，用支座反力代替。ABCFFBY2、第一組力為 F、FBY； 第二

16、組力為 F=1。 3、在第一組力作用下 B處的位移為 wB1； 在第二組力作用下B 處的位移為 wB2，C處的位移為 wC2 。 )3(6,3; 022321aLEIawEILwwCBB4、利用功的互等定理：323222212)3(03)3(60) 1(LaLFaFEILFaLEIaFFwFFwWWBYBYBBYCABCF=1精選ppt3212126 6 卡氏卡氏(Castigliano)(Castigliano)定理定理一、問(wèn)題的提出一、問(wèn)題的提出利用功能原理ABFLwA=？L/2L/2CABFwC=？EIFLwWVFwWEILFEIdxFxVAAL32162)(:133202AwEIFLF

17、V33EIFLwWVFwWEILFdxEIxFVCCL4821962)2(2:2320322CwEIFLFV483精選ppt33二、卡氏定理二、卡氏定理iiFV（使用條件：線(xiàn)彈性、小變形結(jié)構(gòu)）三、證明三、證明F1iF2F iiiFFF,:12121iiFFFWV2121212211iiF, ,:2211212iFi在Fi上完成的功為：iiF 21其余各力完成的功共為：iiFFF2211變形能的增量為iiiiFFFFV221121精選ppt343、根據(jù)互等定理有：iiFFFV2211（1）iiFFF2211iiF（2）4、比較（1）、（2）兩式得iiFViiFV0iFiiFV卡氏定理證畢。iii

18、iFFFFV221121精選ppt35四、注意的問(wèn)題四、注意的問(wèn)題結(jié)果為正時(shí)，說(shuō)明與F i的方向相同； 結(jié)果為負(fù)時(shí)，說(shuō)明與的F i方向相反。V整體結(jié)構(gòu)在外載作用下的線(xiàn)彈性變形能。F i 視為變量，結(jié)構(gòu)反力和變形能等都必須表示為 F i的函數(shù)為 F i 作用點(diǎn)的、沿 F i 方向的變形。處要有相應(yīng)的荷載，當(dāng)無(wú)與 對(duì)應(yīng)的Fi時(shí)，可采用附加 力法進(jìn)行計(jì)算。既先加一沿方向的 F i （在所求位移處沿 所求位移的方向加上相對(duì)應(yīng)的附加力） ，求偏導(dǎo)后，再令 其為零，結(jié)果即為實(shí)際荷載作用的位移。精選ppt36五、用卡氏定理計(jì)算桿件位移五、用卡氏定理計(jì)算桿件位移1、軸向拉壓桿：iNNiNLNiFFEALFdx

19、FxFEAxF)()(2、扭轉(zhuǎn)軸：iPiLPiFTGITLdxFxTGIxT)()(3、彎曲梁、剛架：dxFxMEIxMii)()(（ ，為廣義力、廣義位移。）iFiLiLiPLiNNiidxFxMEIxMdxFxTGIxTdxFxFEAxFFV)()( )()( )()( 4、組合變形的結(jié)構(gòu)：精選ppt37 例例11 圖示梁的材料為線(xiàn)彈性體，彎曲剛度為EI，不計(jì)剪力對(duì)位移的影響。試用卡氏定理求梁A端的撓度wA。 解：解：因?yàn)锳截面處無(wú)與wA相應(yīng)的集中力，不能直接利用卡氏定理，可在A截面上虛加一個(gè)與wA相應(yīng)的集中力F，利用卡氏定理后，令F=0 , 即0FAFVw 梁的彎矩方程以及對(duì)F的偏導(dǎo)數(shù)分

20、別為3061)(xlqFxxMxFxM)( 利用卡氏定理，得（和假設(shè)的（和假設(shè)的F 的指向一致的指向一致）這種虛加這種虛加F力的方法，也稱(chēng)為附加力法。力的方法，也稱(chēng)為附加力法。000d)()(1FlFAxFxMxMEIFVwEIlqxxEIlql30d640040()這是因?yàn)?為n個(gè)獨(dú)立廣義力的二次齊次式, 其中 也可以作為一個(gè)廣義力。),(21niFFFFfV0iF精選ppt39例例1212：用卡氏定理求A截 面的撓度和轉(zhuǎn)角（EI 已知）。 LPAEI變形求內(nèi)力解解：1、求撓度xFxFxMA)(EIFL33xO 將內(nèi)力對(duì)F A求偏導(dǎo)xFxMA)(LAAAdxFxMEIxMFVw)()( Ld

21、xEIFx02F精選ppt402、求轉(zhuǎn)角 AxO LP求內(nèi)力AMxFxM)(MAA沒(méi)有與A相對(duì)應(yīng)的力（廣義力），加之。EIFL22“負(fù)號(hào)”說(shuō)明 A與所加廣義力MA反向。EIFLA22 將內(nèi)力對(duì)M A求偏導(dǎo)后，令M A=0LAAdxMxMEIxM)()( LdxEIFx0求變形F 1AMxM精選ppt41 例例13 圖示剛架各桿的彎曲剛度均為EI，不計(jì)剪力和軸力對(duì)位移的影響。試用卡氏定理求 A截面的鉛垂位移Ay。 解：解：由于剛架上 A,C 截面的外力均為F，求A截面的鉛垂位移時(shí)，應(yīng)將A處的力F和C處的力F區(qū)別開(kāi)（圖b），在應(yīng)用卡氏第二定理后，令FA=F。 (a)FABll / 2l / 2FC

22、D(FA=F ) (b)xFAABCDFy1y2精選ppt42FFAAyAFV即 AB 段（0 x l） M (x)=FA x , xFxMA)(各段的彎矩方程及其對(duì) FA 的偏導(dǎo)數(shù)分別為lFyMA)(1 BC 段 （0y1 l / 2） M (y1)=FA l ,(FA=F ) (b)xFAABCDFy1y2精選ppt43 CD 段 （0y2 l / 2） M (y2)=FA l F y2 , lFyMA)(2令以上各彎矩方程中的FA=F，由卡氏第二定理得d)(dd12/022202/0122lllAyylyFlFylFxFxEIEIFl24353（）精選ppt44 例例14 懸臂梁受力如圖

23、所示，在兩力F共同作用下，1,2兩截面的撓度分別為w1 和 w2。試證明：21wwFVw11FF2w2 證明：證明：設(shè)作用在1, 2兩截面的外力分別為F1 和 F2 ，且 F1 =F , F2F，則梁的應(yīng)變能為VV(F1,F2)。根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則， 有212211wwFFFVFFFVFV精選ppt45 因此，若結(jié)構(gòu)上有幾個(gè)外力的字符相同時(shí)，在利用卡因此，若結(jié)構(gòu)上有幾個(gè)外力的字符相同時(shí)，在利用卡氏第二定理求其中某一力的作用點(diǎn)沿該力方向的位移時(shí)，應(yīng)氏第二定理求其中某一力的作用點(diǎn)沿該力方向的位移時(shí)，應(yīng)將該力與其它力區(qū)分開(kāi)。將該力與其它力區(qū)分開(kāi)。w11FF2w221wwFV精選ppt46例例151

24、5：結(jié)構(gòu)如圖，用卡氏定理求B 截面的垂直位移和 水平位移。（EI已知）。求內(nèi)力：解解：令 B截面的水平荷載 F=F0將內(nèi)力對(duì) F 求偏導(dǎo)求垂直位移； 將內(nèi)力對(duì) F0 求偏導(dǎo)求水平位移：求變形（注意最后令F0 0= =F）oABFFR)sin1 (cos)(0RFFRM)sin1 ()(cos)(0RFMRFM200)()(1)()(1RdFMMEIdxFxMxMEIFVLFB 截面的垂直位移B 截面的水平位移2000000)()(1)()(1RdFMMEIdxFxMxMEIFVLFF0精選ppt47例例1616：用卡氏定理求B 截面兩側(cè)的相對(duì)轉(zhuǎn)角。EI已知）。BLLqACBmB/LqL+ mB

25、/Lxx2mB+qL2/2mBmB解解：1、內(nèi)力方程xlmxMBCqxqlmxlmqLxMABBBB)(:2)22()()(:222、將內(nèi)力對(duì)m B求偏導(dǎo)后，令其為零LxmxMBCLxmxMABBB)(:2)(:求變形（注意最后令m B=0 ）EIqLdxLxqxqLqLxEImxMxMEILLBB247)2)(22(1)()(132020精選ppt48例例1717：結(jié)構(gòu)如圖，用卡氏定理求開(kāi)口 截面兩側(cè)的相對(duì)位移。 （EI已知）。解解：1、內(nèi)力方程2、將內(nèi)力對(duì)F求偏導(dǎo)求變形（利用對(duì)稱(chēng)性）FFR)cos1 ()(FRM)cos1 ()(RFMEIFRdRFREIdxFMMEI302203)cos

26、1 (12)()(12精選ppt49例例1818：圖示半圓形等截面曲桿位于水平面內(nèi)，在A點(diǎn)受鉛垂力 F的作用。求A點(diǎn)的垂直位移（EI、GIp已知）。APR解解：1、求內(nèi)力sin)(:FRM彎矩)cos1 ()(:FRT扭矩2、將內(nèi)力對(duì)F求偏導(dǎo)求變形)cos1 ()(;sin)(RFTRFMPGIFREIFR23233022022)cos1 (1sin1RdFRGIRdFREIPAFMTQAP ABnt tFFs精選ppt50例例1919：求C點(diǎn)的水平及垂直位移。（EA已知）FADBCLLLL2、內(nèi)力對(duì)外力 F 求偏導(dǎo)（如圖）解：方法一解：方法一、水平位移1、求內(nèi)力（如圖所示）000-FF2EA

27、FLFLLFEAEALFFFdxFxFxFEANNLNNF)221 ()222(1)()(1FADBCLLLL000-12求變形精選ppt512、內(nèi)力對(duì)外力F0求偏導(dǎo)（如圖所示）解：解：垂直位移1、求內(nèi)力（如圖所示）求變形（最后令F0=0）FADBCLLLLF0FADBCLLLLF0000-F-F0F2000-10EAFLLFFEAEALFFFdxFxFxFEANNLNNF)1)(1)()(10000精選ppt522、內(nèi)力對(duì)外力F、F0求偏導(dǎo)（如圖所示）1、求內(nèi)力（如圖所示）求變形（并令F0=0）FADBCLLLLF0FADBCLLLLF0000-10解：方法二、解：方法二、水平位移；垂直位移

28、FADBCLLLLF0000-12EAFLLFEALFEALFFFEANNF)221 () 1)(1)222(11EAFLLFEAEALFFFNNF)1)(10000-F-F0F20精選ppt53127 127 能量法解超靜定問(wèn)題能量法解超靜定問(wèn)題步驟步驟1、去掉多余約束，建立原超靜定結(jié)構(gòu)的靜定基；2、在多余約束處根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件，確定變形幾何方程；3、利用能量法把變形幾何方程轉(zhuǎn)化為力的補(bǔ)充方程（物理?xiàng)l件），確定多余的約束反力；4、根據(jù)靜力平衡方程，確定所有的未知力。精選ppt54例例2020：等截面梁如圖，求C支座的反力。求內(nèi)力解解：1、取靜定基（如圖）0CwLP0.5LABC將內(nèi)力對(duì)F C

29、Y求偏導(dǎo))5 .0()()(xLFxLFxMCYAB)()(xLFxMCYBCxLFxMCYAB)(xLFxMCYBC)(2、變形幾何方程3、求支反力FLP0.5LABCRCxFFCY精選ppt55變形LCYCYCdxFxMEIxMFVw)()( LLLCYdxxLFdxxLxLFEI5 .005 .02)()()5 .0(10)3485(133LFFLEICY165FFCY精選ppt56a/2a/2a=5mABCDq=10kN/mm=50kNm例例2121：如圖所示結(jié)構(gòu)，求B支座的反力。求內(nèi)力解解：1、取靜定基（如圖）0Bw將內(nèi)力對(duì) F BY求偏導(dǎo)2、變形幾何方程3、求支反力ABCDFBYx

30、xaFxMqxmaFxMCAxFxMmxFxMDCxFxMxFxMBDBYBYBYBYBYBY)(2)(:)()(:)()(:2精選ppt57變形0)2()(1)()( 022202aBYaaBYaBYLBYBYBadxqxmaFxdxmxFdxxFEIdxFxMEIxMFVw)(56.16)433(3212kNqamFBY精選ppt58對(duì)稱(chēng)及反對(duì)稱(chēng)性質(zhì)的利用對(duì)稱(chēng)及反對(duì)稱(chēng)性質(zhì)的利用1、對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)的幾何形狀、尺寸、材料和約束， 對(duì)稱(chēng)于某一軸線(xiàn)。精選ppt592、對(duì)稱(chēng)荷載對(duì)稱(chēng)荷載荷載的位置、大小和方向?qū)ΨQ(chēng)于結(jié)構(gòu)的對(duì)稱(chēng)軸， 產(chǎn)生對(duì)稱(chēng)變形。產(chǎn)生對(duì)稱(chēng)變形。 約束力、內(nèi)力分量以及變形和位移都是對(duì)稱(chēng)的約束

31、力、內(nèi)力分量以及變形和位移都是對(duì)稱(chēng)的; ; 反對(duì)稱(chēng)的內(nèi)力分量必為零反對(duì)稱(chēng)的內(nèi)力分量必為零; ; 。精選ppt60 0AB 精選ppt61 0; 0DDDD 精選ppt62 0CD 精選ppt63怎樣判斷什么樣的載荷是反對(duì)稱(chēng)的？將對(duì)稱(chēng)面（軸）一側(cè)的載荷反向，若變?yōu)閷?duì)稱(chēng)的，則原來(lái)的載荷便是反對(duì)稱(chēng)的。 其約束力、內(nèi)力分量、變形和位移等必須是反對(duì)稱(chēng)的；其約束力、內(nèi)力分量、變形和位移等必須是反對(duì)稱(chēng)的； 對(duì)稱(chēng)的內(nèi)力分量、約束力必為零；對(duì)稱(chēng)的內(nèi)力分量、約束力必為零； 某些反對(duì)稱(chēng)約束力和反對(duì)稱(chēng)的內(nèi)力分量也可能為零。某些反對(duì)稱(chēng)約束力和反對(duì)稱(chēng)的內(nèi)力分量也可能為零。3、反對(duì)稱(chēng)荷載反對(duì)稱(chēng)荷載荷載的位置、大小對(duì)稱(chēng)，方向

32、是反對(duì)稱(chēng)的。精選ppt64精選ppt65ll2l2lPFX3FX3FDDll2l2l2PF2PFX3FX3FDD精選ppt66精選ppt67128 128 圖乘法圖乘法一、基本原理一、基本原理1、分析：LEIdxxMxMw)()(LdxxMxMEI)()(1（EI=常數(shù)）設(shè)： 為線(xiàn)性。 圖是直線(xiàn)或由折線(xiàn)組成。令 。)(xM)(xMbxaxM)(若 中有一個(gè)為線(xiàn)性的，則上述積分就可以得到簡(jiǎn)化如下。)(),(xMxMxxM（x）M（x）L)(xM)(xM精選ppt68cccAALLLLMAbxaAbAxaAbxdAadAdxxbxMdxxaMdxxMbxadxxMxM)()()()()()()(c

33、MAEIw12 2、結(jié)論：、結(jié)論：EIMAwcEAFALNcpcGITA 圖乘法的基本計(jì)算公式。LEIdxxMxMw)()(LdxxMxMEI)()(1M（x）xdxM（x）ALxx)(xM)(xMCxcM0c)(xMc精選ppt69二、計(jì)算步驟二、計(jì)算步驟2、計(jì)算 M（x）的面積 A 。1、畫(huà)出 圖。)(),(xMxM4、利用公式求出位移。EIMAwc三、注意的問(wèn)題三、注意的問(wèn)題1、所加的單位力與莫爾積分的方法相同。2、M（x）圖的正、負(fù)影響“A”的符號(hào)。（兩者所取符號(hào)相同）4、結(jié)果若為“+”，說(shuō)明所加的單位力方向與實(shí)際位移方向相同。 反之為“-”， 說(shuō)明所加的單位力方向與實(shí)際位移方向相反。

34、5、 圖中必須至少有一個(gè)是直線(xiàn)組成的圖形。)(),(xMxM3、計(jì)算 M(x) 圖形心對(duì)應(yīng) 位置的數(shù)值 的大小。)(xMc)(xM3、 若由幾段直線(xiàn)組成的折線(xiàn)而成，需分段計(jì)算， 疊加求和。)(xM精選ppt70L/2qL/2CAB圖示結(jié)構(gòu)中，圖示結(jié)構(gòu)中， EI 已知。求已知。求 wc。CABF0=1qL2/8xM（x）A1A2（3/8）L/2解解：1、畫(huà)M（x）圖3、利用圖乘法求變形EIqLLqLEIMAMAEIMAEIwLLMMqLqLLAAcccccc3845)325)(241(2)(11325)4(85241)81)(2(32422112132212、加單位力 并畫(huà))(xMxL/4)(x

35、Mc)(xM精選ppt71 例：圖示變截面直梁，求：B點(diǎn)的撓度。Faa2EIEIABC解解：1、畫(huà)M(x)圖3、利用圖乘法求變形ABCF0=1M（x）2FaFaC1C3C2EIFaaFaaFaEIaFaEIMAEIwaMFaaFaAaMFaaFaAaMFaaFaAccccc23)352123(21)3221(1135;21)(2123;)(32;21)(2132223232221212、加單位力 并畫(huà))(xM2aa)(xM3cM2cM1cM精選ppt72 例：剛架受力如圖示，已知：橫桿彎曲剛度為2EI，豎桿彎曲剛度為EI、拉伸剛度為EA、載荷集度q、長(zhǎng)度l。求：求：B點(diǎn)的水平位移點(diǎn)的水平位移1

36、精選ppt73精選ppt741精選ppt75)(24174EIqlEIllql23221221iiciiIEMAMEIlql228322EIllql3221221精選ppt76EAlql12021NNiiCiiIEFAFEAql2221NiiCiiIEFA21iiCiiBIEMAEIql42417EAql222N1712)()(AlIMF22N1711712)()(lhAlIMF精選ppt77平面結(jié)構(gòu)空間受力，AB和BC兩桿具有相同的剛度，且EI、GIP、l、F等均為已知。 求：1. A端的鉛垂位移； 2. A端繞BC 軸線(xiàn)的轉(zhuǎn)角。求求A端鉛垂位移端鉛垂位移解：?jiǎn)挝涣ο到y(tǒng)解：?jiǎn)挝涣ο到y(tǒng)精選pp

37、t78精選ppt79精選ppt8021iiCiiIEMAEIaaFa342221EIaaFa3221EIFa3321PiixCiiIGMAP)(2GIaaFa0P33GIFa)(23P3321P21GIFaEIFaIGMAIEMAiiCixiiiCiiB精選ppt810EIFa2221iiCiiIEMAEIaFa121P) 1(2GIaFa21PiixCiiIGMA0P22GIFaP222121P22GIFaEIFaIEMAIGMAiiCiiiixCiiA精選ppt82129 129 能量法中其它原理的簡(jiǎn)介能量法中其它原理的簡(jiǎn)介一、變形能的一般表達(dá)式及余能：一、變形能的一般表達(dá)式及余能：ddF

38、O1F110FdWV1、變形能（應(yīng)變能）O11VdVvVdwv10VdVvVdv10精選ppt832、余能FO1F1O11dFd10FCCdFWVVCCCVCCCdVvVdvdVvVdv1100精選ppt84例：某結(jié)構(gòu)承受荷載P，其相應(yīng)的位移為=CF2，計(jì)算此結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能和余能。F=CF2解：由定義得CdCFdV3003233020CFdFCFdFVFFC精選ppt85例：原為水平位置的桿系如圖，試計(jì)算在荷載 F1作用下的應(yīng)變能和余能。兩桿長(zhǎng)度均為L(zhǎng)，橫截面面積均為A，材料相同，彈性模量為E，且均為線(xiàn)彈性材料。LLF1A解：1、確定外力與變形的關(guān)系FFNFNXYLEAFEAFEAFLLLLLL

39、EALFLNNNN2)(2()(22222222sin2FLLFtgFFFNaaEALFLEAF33)(;OFEALF3)(精選ppt862、變形能、余能的計(jì)算11340304141)(11FEALEAdLFdV11103043)(43313411FLEAFLdFEAFdFVFFC精選ppt87二、卡氏第一定理：二、卡氏第一定理：niiiidFWV10假設(shè)第 i荷載 Fi方向上的位移有一微小增量di，則結(jié)構(gòu)中應(yīng)變能的變化為iiidVdViV應(yīng)變能對(duì)位移i的變化率因只有 Fi 方向上的位移有一微小增量，其余各荷載方向上相應(yīng)的位移保持不變，所以外力功的變化量為iidFdWiiVF卡氏第一定理F1n

40、F2F nFi12i精選ppt88iCiiiCCiiCniFiiCCFVdFFVdVdFdWdFWVi;10余能定理對(duì)線(xiàn)性彈性結(jié)構(gòu)對(duì)線(xiàn)性彈性結(jié)構(gòu)，因?yàn)榱εc變形成正比，結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能在數(shù)值上等于余能，所以上式可表達(dá)為iiFV卡氏第二定理精選ppt89例：由兩根橫截面面積均為A的等直桿組成的平面桁架，在結(jié)點(diǎn)B處承受集中力F，兩桿的材料相同，彈性模量為E，且均為線(xiàn)彈性材料。試按卡氏第一定理，求節(jié)點(diǎn)B的水平和垂直位移。LFABC450ABC1B1ABC2B2解：1、設(shè)節(jié)點(diǎn)B只產(chǎn)生水平位移時(shí)，各桿的變形1011112245cos;BCABLL 2、設(shè)節(jié)點(diǎn)B只產(chǎn)生垂直位移時(shí)，各桿的變形202112245si

41、n; 0BCABLL精選ppt90 3、設(shè)節(jié)點(diǎn)B在水平和垂直位移同時(shí)發(fā)生時(shí)，各桿的變形)(2245cos;210121121BCBCBCABABABLLLLLL4、桁架的應(yīng)變能為)2121(22222222121212LEALEALEAEALFViiN5、應(yīng)用卡氏第一定理求變形EAFLEAFLFLEAFVLEAV)221 (,)(222; 0)22224(2021212211精選ppt91小結(jié)小結(jié)（一）、（一）、變形能：變形能：變形固體在外力作用下由變形而儲(chǔ)存的能量。 彈性變形能彈性變形能：變形固體在外力作用下產(chǎn)生的彈性變形而儲(chǔ)存 的能量。 V（二）、（二）、變形能的計(jì)算：變形能的計(jì)算：利用能

42、量守恒原理 能量守恒能量守恒原理：原理：變形固體在外力作用下產(chǎn)生的變形而儲(chǔ) 存的能量，在數(shù)值上等于外力所作的外力功。 “ ”。WV 1、彈性變形能具有可逆性。 2、塑性變形能不具有可逆性 。（三）、能量法（三）、能量法：利用功能原理和功、能的概念進(jìn)行計(jì)算的方法。 常見(jiàn)的能量法功能原理、單位力（莫爾積分）、功能原理、單位力（莫爾積分）、 卡氏定理、卡氏定理、圖乘法、互等定理。一、基本概念一、基本概念精選ppt92（一）、軸向拉壓桿的變形能（一）、軸向拉壓桿的變形能二、各桿在線(xiàn)彈性范圍工作時(shí)的變形能的計(jì)算二、各桿在線(xiàn)彈性范圍工作時(shí)的變形能的計(jì)算LNNEAdxxFEALFV0222)(2（二）、扭轉(zhuǎn)

43、軸的變形能（二）、扭轉(zhuǎn)軸的變形能LPPGIdxxTGILTV0222)(2（三）、彎曲梁的變形能（三）、彎曲梁的變形能LEIdxxMEILMV0222)(2注意問(wèn)題：注意問(wèn)題：1 1、同種類(lèi)型荷載的變形能不能疊加。、同種類(lèi)型荷載的變形能不能疊加。2 2、變形能的大小與加載次序無(wú)關(guān)，只與最終值有關(guān)。、變形能的大小與加載次序無(wú)關(guān)，只與最終值有關(guān)。（四）、組合變形桿：（四）、組合變形桿：LLLNEAdxxMEAdxxTEAdxxFV2)(2)(2)(222重點(diǎn)精選ppt93三、單位力法（莫爾積分）的基本計(jì)算公式三、單位力法（莫爾積分）的基本計(jì)算公式LEIdxxMxMw)()(LpGIdxxTxT)()(LNNEAdxxFxFL)()(LLpLNNEIdxxMxMGIdxxTxTEAdxxFxF)()()()()()(重點(diǎn)精選ppt94注意的問(wèn)題注意的問(wèn)題1、此種方法存在兩個(gè)力系： 一個(gè)為