1、二次函數(shù)常見題型二次函數(shù)常見題型及解題策略及解題策略中考二次函數(shù)壓軸題解題通法研究 二次函數(shù)在全國中考數(shù)學中常常作為壓軸題，同時在省級，國家級數(shù)學競賽中也有二次函數(shù)大題，在宜賓市的拔尖人才考試中同樣有二次函數(shù)大題，在成都，綿陽，瀘縣二中等地的外地招生考試中也有二次函數(shù)大題，很多學生在有限的時間內(nèi)都不能很好完成。由于在高中和大學中很多數(shù)學知識都與函數(shù)知識或函數(shù)的思想有關，學生在初中階段函數(shù)知識和函數(shù)思維方法學得好否，直接關系到未來數(shù)學的學習。所以二次函數(shù)綜合題自然就成了相關出題老師和專家的必選內(nèi)容。我通過近年的研究，思考和演算了上1000道二次函數(shù)大題，總結(jié)出了解決二次函數(shù)壓軸題的通法，供大家參

2、考。兩點間的距離公式 22BABAxxyyAB中點坐標 線段的中點的坐標為：22BABAyyxx，一元二次方程有整數(shù)根問題解題步驟如下： 用和參數(shù)的其他要求確定參數(shù)的取值范圍 解方程，求出方程的根 分析求解：若是分式，分母是分子的因數(shù)；若是二次根式，被開方式是完全平方式。 二次函數(shù)與軸的交點為整數(shù)點問題 解題步驟如下： 用和參數(shù)的其他要求確定參數(shù)的取值范圍 解方程，求出方程的根 分析求解：若是分式，分母是分子的因數(shù)；若是二次根式，被開方式是完全平方式。方程總有固定根問題 可以通過解方程的方法求出該固定根 已知關于的方程（ 為實數(shù)），求證：無論為何值，方程總有一個固定的根。23(1)230mxm

3、xm 解：當0m時，1x當0m時，032 m，mmx213，mx321、12x綜上所述無論:m 為何值，方程總有一個固定的根是1。函數(shù)過固定點問題舉例如下：已知拋物線22mmxxy（是常數(shù)），求證：不論為何值，該拋物線總經(jīng)過一個固定的點，并求出固定點的坐標。m解：把原解析式變形為關于 的方程mxmxy12201 02 2xxy解得：1 1 xy 拋物線總經(jīng)過一個固定的點（1，1）。（題目要求:關于的方程不論為何值,方程恒成立）小結(jié)：關于x的方程bax有無數(shù)解0 0 ba路徑最值問題（待定的點所在的直線就是對稱軸）（1）如圖，直線 ,點 在 上，分別在 、 上確定兩點 、 ，使得 之和最小。1l

4、2lA2l1l2lMNMNAM 路徑最值問題路徑最值問題在平面直角坐標系中求面積的方法 直接用公式、割補法函數(shù)的交點問題函數(shù)的交點問題方程法 （1）設：設主動點的坐標或基本線段的長度 （2）表示：用含同一未知數(shù)的式子表示其他相關的數(shù)量 （3）列方程或關系式幾何分析法 特別是構(gòu)造“平行四邊形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等圖形時，利用幾何分析法能給解題帶來方便。幾何分析法幾個自定義概念1.求證“兩線段相等”的問題、“平行于y軸的動線段長度的最大值”的問題3、求一個已知點關于一條已知直線的對稱點的坐標問題4、“拋物線上是否存在一點，使之到定直線的距離最大”的問題5.常

5、數(shù)問題6.“在定直線（常為拋物線的對稱軸，或x軸或y軸或其它的定直線）上是否存在一點，使之到兩定點的距離之和最小”的問題7.三角形周長的“最值(最大值或最小值)”問題8.三角形面積的最大值問題三角形面積的最大值問題9.“一拋物線上是否存在一點，使之和另外三個定點構(gòu)成的四邊形面積最大的問題” 由于該四邊形有三個定點，從而可把動四邊形分割成一個動三角形與一個定三角形（連結(jié)兩個定點，即可得到一個定三角形）的面積之和，所以只需動三角形的面積最大，就會使動四邊形的面積最大，而動三角形面積最大值的求法及拋物線上動點坐標求法與7相同。10、“定四邊形面積的求解”問題 有兩種常見解決的方案： 方案（一）：連接

6、一條對角線，分成兩個三角形面積之和； 方案（二）：過不在x軸或y軸上的四邊形的一個頂點，向x軸（或y軸）作垂線，或者把該點與原點連結(jié)起來，分割成一個梯形（常為直角梯形）和一些三角形的面積之和（或差），或幾個基本模型的三角形面積的和（差）11.“兩個三角形相似”的問題兩個定三角形是否相似：已知有一個角相等的情形：運用兩點間的距離公式求出已知角的兩條夾邊，看看是否成比例？若成比例，則相似;否則不相似。不知道是否有一個角相等的情形：運用兩點間的距離公式求出兩個三角形各邊的長，看看是否成比例？若成比例，則相似;否則不相似。一個定三角形和動三角形相似：已知有一個角相等的情形：先借助于相應的函數(shù)關系式，把

7、動點坐標表示出來（一母示），然后把兩個目標三角形（題中要相似的那兩個三角形）中相等的那個已知角作為夾角，分別計算或表示出夾角的兩邊，讓形成相等的夾角的那兩邊對應成比例（要注意是否有兩種情況），列出方程，解此方程即可求出動點的橫坐標，進而求出縱坐標，注意去掉不合題意的點。“兩個三角形相似”的問題 不知道是否有一個角相等的情形： 這種情形在相似性中屬于高端問題，破解方法是，在定三角形中，由各個頂點坐標求出定三角形三邊的長度，用觀察法得出某一個角可能是特殊角，再為該角尋找一個直角三角形，用三角函數(shù)的方法得出特殊角的度數(shù)，在動點坐標“一母示”后，分析在動三角形中哪個角可以和定三角形中的那個特殊角相等，

8、借助于特殊角，為動點尋找一個直角三角形，求出動點坐標，從而轉(zhuǎn)化為已知有一個角相等的兩個定三角形是否相似的問題了，只需再驗證已知角的兩邊是否成比例？若成比例，則所求動點坐標符合題意，否則這樣的點不存在。簡稱“找特角，求（動）點標，再驗證”。或稱為“一找角，二求標，三驗證”。2.、“某函數(shù)圖象上是否存在一點，使之與另兩個定點構(gòu)成等腰三角形”的問題 首先弄清題中是否規(guī)定了哪個點為等腰三角形的頂點。（若某邊底，則只有一種情況；若某邊為腰，有兩種情況；若只說該三點構(gòu)成等腰三角形，則有三種情況）。先借助于動點所在圖象的解析式，表示出動點的坐標（一母示），按分類的情況，分別利用相應類別下兩腰相等，使用兩點間

9、的距離公式，建立方程。解出此方程，即可求出動點的橫坐標，再借助動點所在圖象的函數(shù)關系式，可求出動點縱坐標，注意去掉不合題意的點（就是不能構(gòu)成三角形這個題意）。3、“某圖象上是否存在一點，使之與另外三個點構(gòu)成平行四邊形”問題 這類問題，在題中的四個點中，至少有兩個定點，用動點坐標“一母示”分別設出余下所有動點的坐標（若有兩個動點，顯然每個動點應各選用一個參數(shù)字母來“一母示”出動點坐標），任選一個已知點作為對角線的起點，列出所有可能的對角線（顯然最多有3條），此時與之對應的另一條對角線也就確定了，然后運用中點坐標公式，求出每一種情況兩條對角線的中點坐標，由平行四邊形的判定定理可知，兩中點重合，其坐

10、標對應相等，列出兩個方程，求解即可。3、“某圖象上是否存在一點，使之與另外三個點構(gòu)成平行四邊形”問題 進一步有： 若是否存在這樣的動點構(gòu)成矩形呢？先讓動點構(gòu)成平行四邊形，再驗證兩條對角線相等否？若相等，則所求動點能構(gòu)成矩形，否則這樣的動點不存在。 若是否存在這樣的動點構(gòu)成棱形呢？先讓動點構(gòu)成平行四邊形，再驗證任意一組鄰邊相等否？若相等，則所求動點能構(gòu)成棱形，否則這樣的動點不存在。 若是否存在這樣的動點構(gòu)成正方形呢？先讓動點構(gòu)成平行四邊形，再驗證任意一組鄰邊是否相等？和兩條對角線是否相等？若都相等，則所求動點能構(gòu)成正方形，否則這樣的動點不存在。4、“拋物線上是否存在一點，使兩個圖形的面積之間存在

11、和差倍分關系”的問題 先用動點坐標“一母示”的方法設出直接動點坐標，分別表示（如果圖形是動圖形就只能表示出其面積）或計算（如果圖形是定圖形就計算出它的具體面積），然后由題意建立兩個圖形面積關系的一個方程，解之即可。（注意去掉不合題意的點），如果問題中求的是間接動點坐標，那么在求出直接動點坐標后，再往下繼續(xù)求解即可。5、“某圖形直線或拋物線上是否存在一點，使之與另兩定點構(gòu)成直角三角形”的問題6、“某圖象上是否存在一點，使之與另兩定點構(gòu)成等腰直角三角形”的問題7、“題中含有兩角相等，求相關點的坐標或線段長度”等的問題 題中含有兩角相等，則意味著應該運用三角形相似來解決，此時尋找三角形相似中的基本模

12、型“A”或“X”是關鍵和突破口。18.“在相關函數(shù)的解析式已知或易求出的情況下，題中又含有某動圖形（常為動三角形或動四邊形）的面積為定常數(shù)，求相關點的坐標或線段長”的問題 （此為“單動問題”即定解析式和動圖形相結(jié)合的問題，本類型實際上是前面14的特殊情形。） 先把動圖形化為一些直角梯形或基本模型的三角形（有一邊在x軸或軸上，或者有一邊平行于x軸或y軸）面積的和或差，設出相關點的坐標（一母示），按化分后的圖形建立一個面積關系的方程，解之即可。一句話，該問題簡稱“單動問題”，解題方法是“設點（動點）標，圖形轉(zhuǎn)化（分割），列出面積方程”。19.“在相關函數(shù)解析式不確定（系數(shù)中還含有某一個參數(shù)字母）的

13、情況下，題中又含有動圖形（常為動三角形或動四邊形）的面積為定常數(shù)，求相關點的坐標或參數(shù)的值”的問題此為“雙動問題”（即動解析式和動圖形相結(jié)合的問題）。如果動圖形不是基本模型，就先把動圖形的面積進行轉(zhuǎn)化或分割（轉(zhuǎn)化或分割后的圖形須為基本模型），設出動點坐標（一母示），利用轉(zhuǎn)化或分割后的圖形建立面積關系的方程（或方程組）。解此方程，求出相應點的橫坐標，再利用該點所在函數(shù)圖象的解析式，表示出該點的縱坐標（注意，此時，一定不能把該點坐標再代入對應函數(shù)圖象的解析式，這樣會把所有字母消掉）。再注意圖中另一個點與該點的位置關系（或其它關系，方法是常由已知或利用（2）問的結(jié)論，從幾何知識的角度進行判斷，表示出另一