Hamilton-Cayley定理的計算應(yīng)用及冪等變換的性質(zhì)特征_第1頁
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1、1Hamilton-Cayley定理的計算應(yīng)用及冪等變換的性質(zhì)特征2006.3 2 傳統(tǒng)的高等代數(shù)教材，在介紹完Hamilton-Cayley定理（即：方陣A的特征多項式是A的零化多項式）之后，利用該定理對“線性空間的直和分解”和“最小多項式”理論推導(dǎo)了相關(guān)結(jié)論，但未涉及它在計算方面的應(yīng)用。以下簡單考慮該定理在矩陣計算方面的兩個應(yīng)用，旨在拋磚引玉。31. 1.求矩陣大方冪求矩陣大方冪 一般地，矩陣大方冪的求法有二：一是尋找規(guī)律，利用數(shù)學(xué)歸納法；二是該矩陣可以對角化，從而轉(zhuǎn)化為對角矩陣的方冪運算。利用Hamilton-cayley定理也不失為一個有效的方法，值得在教學(xué)過程中加以介紹。022201

2、1101110001A例 ，求500A解：特征多項式) 1()(3f，由帶余除法可設(shè))()()()(23500dcbafQg令0，得0d；令1，得1cba4又0是三重根，故有0)()( gg，得0 bc最后有3500)()(fQ利用CayleyHamilton 定理即得：33500)()(AAAfAQA2.求逆矩陣?yán)?可逆矩陣A1A*A的逆矩陣與伴隨矩陣都可表示為A的多項式nnnnaaaf111)(利用CayleyHamilton 0)(111EaAaAaAAfnnnnA0) 1(Aann)(112111EaAaAaAnnnn)() 1(12111*EaAaAAAAnnnn證 設(shè)特征多項式定理

3、，則有而可逆，得從而以及 證畢。利用該結(jié)論即可做具體的求逆計算5 冪等變換是一類較為常見的線性變換，它有著良好的性質(zhì)特征，并且涉及了線性變換的諸多內(nèi)容，對訓(xùn)練學(xué)生融會貫通“線性變換”知識點有較好的作用。以下對冪等變換的良好性質(zhì)作歸納整理，供教學(xué)上參考。 6VAV|3.值域A對應(yīng)于特征值1的特征子空間核A1（0）=對應(yīng)于特征值0的特征子空間VV4.AA1（0），且A是平行于核在值域上的投影； 考慮A+(E-A)n易證VV5. 值域A 與核A1（0）對的線性變換B不變的充要條件是A,B可交換；6. E+A為可逆變換； 逆為E-A/2n7. 秩（A）秩（E-A）；A1（0） A V|=（E-A） V,已知A V與A1（0）的維數(shù)和 n8. A必可對角化,且關(guān)于 V某個基的矩陣為 000rE設(shè)A是維線性空間的冪等

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