1、選考部分選考部分第十二篇幾何證明選講選修第十二篇幾何證明選講選修4-14-1第第1 1節(jié)類似三角形的斷定及有關(guān)性質(zhì)節(jié)類似三角形的斷定及有關(guān)性質(zhì) 編寫意圖編寫意圖 平行線分線段成比例定理、類似三角形的斷定與性質(zhì)及平行線分線段成比例定理、類似三角形的斷定與性質(zhì)及直角三角形的射影定理是高考調(diào)查的熱點內(nèi)容直角三角形的射影定理是高考調(diào)查的熱點內(nèi)容, ,難度不大難度不大. .本節(jié)圍繞本節(jié)圍繞高考命題的規(guī)律進展設(shè)點選題高考命題的規(guī)律進展設(shè)點選題, ,重點凸現(xiàn)類似三角形的斷定與性質(zhì)、重點凸現(xiàn)類似三角形的斷定與性質(zhì)、直角三角形的射影定理的了解與運用直角三角形的射影定理的了解與運用, ,考點突破以類似三角形為背景

2、考點突破以類似三角形為背景的綜合問題的綜合問題, ,思想方法欄目突破了分類討論思想在類似三角形中的運思想方法欄目突破了分類討論思想在類似三角形中的運用用. .課時訓(xùn)練以調(diào)查根底知識和根本方法為主課時訓(xùn)練以調(diào)查根底知識和根本方法為主, ,重點培育經(jīng)過添加輔重點培育經(jīng)過添加輔助線解題的方法與技巧助線解題的方法與技巧, ,培育邏輯思想才干和運算才干培育邏輯思想才干和運算才干. .考點突破考點突破思想方法思想方法夯基固本夯基固本夯基固本夯基固本 抓主干抓主干 固固雙基雙基知識梳理知識梳理1.1.平行線截割定理及運用平行線截割定理及運用1 1平行線等分線段定理平行線等分線段定理假設(shè)一組平行線在一條直線上

3、截得的線段假設(shè)一組平行線在一條直線上截得的線段 , ,那么在其他直線上截得的那么在其他直線上截得的線段線段 . .2 2平行線等分線段定理的推論平行線等分線段定理的推論經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必 . .經(jīng)過梯形一腰的中點經(jīng)過梯形一腰的中點, ,且與底邊平行的直線必且與底邊平行的直線必 . .3 3平行線分線段成比例定理及其推論平行線分線段成比例定理及其推論三條平行線截兩條直線三條平行線截兩條直線, ,所得的對應(yīng)線段所得的對應(yīng)線段 . .平行于三角形一邊的直線截其他兩邊或兩邊的延伸線所得的對應(yīng)線平行于三角形一邊的直線截其他兩邊或兩邊的延伸線所

4、得的對應(yīng)線段段 . .也相等也相等平分第三邊平分第三邊平分另一腰平分另一腰成比例成比例成比例成比例相等相等2.2.類似三角形的斷定定理與性質(zhì)定理類似三角形的斷定定理與性質(zhì)定理1 1類似三角形的斷定定理類似三角形的斷定定理定理定理內(nèi)容內(nèi)容斷定定理斷定定理1 1 對應(yīng)相等對應(yīng)相等, ,兩三角形類似兩三角形類似斷定定理斷定定理2 2 對應(yīng)成比例且對應(yīng)成比例且 相等相等, ,兩三角形類似兩三角形類似斷定定理斷定定理3 3 對應(yīng)成比例對應(yīng)成比例, ,兩三角形類似兩三角形類似兩角兩角兩邊兩邊三邊三邊夾角夾角2 2類似三角形的性質(zhì)定理類似三角形的性質(zhì)定理定理與推論定理與推論內(nèi)容內(nèi)容性質(zhì)定理性質(zhì)定理1 1類似

5、三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分類似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于線的比都等于 . .類似三角形周長的比等于類似三角形周長的比等于 . .性質(zhì)定理性質(zhì)定理2 2類似三角形面積的比等于類似比的類似三角形面積的比等于類似比的 . .推論推論類似三角形外接圓的直徑比、周長比等于類似比類似三角形外接圓的直徑比、周長比等于類似比, ,外外接圓的面積比等于類似比的接圓的面積比等于類似比的 . .類似比類似比類似比類似比平方平方平方平方3.3.直角三角形類似的斷定定理與射影定理直角三角形類似的斷定定理與射影定理1 1直角三角形類似的斷定定理直角三角形類似的斷定定理定理定理內(nèi)

6、容內(nèi)容斷定定理斷定定理1 1假設(shè)兩個直角三角形假設(shè)兩個直角三角形 對應(yīng)相等對應(yīng)相等, ,那么那么它們類似它們類似斷定定理斷定定理2 2假設(shè)兩個直角三角形的假設(shè)兩個直角三角形的 對應(yīng)成比例對應(yīng)成比例, ,那么它們類似那么它們類似斷定定理斷定定理3 3假設(shè)一個直角三角形的假設(shè)一個直角三角形的 和一條直角邊與另一和一條直角邊與另一個三角形的個三角形的 和一條直角邊對應(yīng)和一條直角邊對應(yīng) , ,那那么這兩個直角三角形類似么這兩個直角三角形類似有一個銳角有一個銳角兩條直角邊兩條直角邊斜邊斜邊斜邊斜邊成比例成比例2 2直角三角形的射影定理直角三角形的射影定理直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的直角三

7、角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的 ; ;兩直角邊分別是它們在斜邊上射影與斜邊的兩直角邊分別是它們在斜邊上射影與斜邊的 . .比例中項比例中項比例中項比例中項根底自測根底自測1.1.給出以下命題給出以下命題: :三角形類似不具有傳送性三角形類似不具有傳送性; ;兩組對應(yīng)邊成比例兩組對應(yīng)邊成比例, ,一組對應(yīng)邊所對的角相等的兩三角形類似一組對應(yīng)邊所對的角相等的兩三角形類似; ;兩個三角形類似兩個三角形類似, ,那么對應(yīng)線段都成比例那么對應(yīng)線段都成比例; ;類似三角形的內(nèi)切圓的半徑之比等于類似比類似三角形的內(nèi)切圓的半徑之比等于類似比. .其中正確的選項是其中正確的選項是 A AB BC CD

8、DC CD D B B 答案答案:24:24考點突破考點突破 剖典例剖典例 找規(guī)律找規(guī)律考點一考點一 平行線截割定理及運用平行線截割定理及運用 反思歸納反思歸納 1 1利用平行線分線段成比例定理來計算或證明利用平行線分線段成比例定理來計算或證明, ,首首先要察看平行線組先要察看平行線組, ,再確定所截直線再確定所截直線, ,進而確定比例線段及比例式進而確定比例線段及比例式, ,同時留意合比性質(zhì)、等比性質(zhì)的運用同時留意合比性質(zhì)、等比性質(zhì)的運用. .2 2平行線分線段成比例定理及推論是證明兩條線段相等的重要平行線分線段成比例定理及推論是證明兩條線段相等的重要根據(jù)根據(jù), ,特別是在運用推論時特別是在

9、運用推論時, ,一定要明確哪一條線段平行于三角形一定要明確哪一條線段平行于三角形的一邊的一邊, ,能否過一邊的中點能否過一邊的中點. .考點二考點二 類似三角形的斷定與性質(zhì)類似三角形的斷定與性質(zhì)反思歸納反思歸納 1 1求解線段長度問題要充沛利用所求線段與線段求解線段長度問題要充沛利用所求線段與線段長度之間的關(guān)系長度之間的關(guān)系, ,化歸到相應(yīng)三角形中化歸到相應(yīng)三角形中, ,經(jīng)過構(gòu)造類似三角形求解經(jīng)過構(gòu)造類似三角形求解. .2 2由類似三角形構(gòu)構(gòu)成比例線段時由類似三角形構(gòu)構(gòu)成比例線段時, ,要留意邊與邊的對應(yīng)要留意邊與邊的對應(yīng), ,可可以利用等角所對的邊對應(yīng)成比例構(gòu)造等式以利用等角所對的邊對應(yīng)成比

10、例構(gòu)造等式, ,防止出錯防止出錯. .直角三角形中的射影定理直角三角形中的射影定理考點三考點三【例【例3 3】 20212021重慶模擬如圖重慶模擬如圖, ,在在ABCABC中中,ADBC,ADBC于于D,DEABD,DEAB于于E,E,DFACDFAC于于F.F.求證求證:AEAB=AFAC.:AEAB=AFAC.證明證明: :由于由于ADBC,ADBC,所以所以ADBADB為直角三角形為直角三角形. .又由于又由于DEAB,DEAB,由射影定理知由射影定理知,AD2=AEAB.,AD2=AEAB.同理可得同理可得AD2=AFAC,AD2=AFAC,所以所以AEAB=AFAC.AEAB=AF

11、AC.【變式】【變式】 此題中此題中“在在ABCABC中改為中改為“在在RtRtABCABC中中, ,BAC=90BAC=90, ,證明證明BDDC=AEAB.BDDC=AEAB.證明證明: :在在RtRtABCABC中中,ADBC,ADBC,所以所以AD2=BDDC.AD2=BDDC.又由例題解析知又由例題解析知AD2=AEAB,AD2=AEAB,所以所以BDDC=AEAB.BDDC=AEAB.反思歸納反思歸納 1 1運用直角三角形中的射影定理時要留意大前運用直角三角形中的射影定理時要留意大前提是在直角三角形中提是在直角三角形中, ,要確定好直角邊及其射影要確定好直角邊及其射影. .2 2在

12、證明問題中要留意等積式與比例式的相互轉(zhuǎn)化在證明問題中要留意等積式與比例式的相互轉(zhuǎn)化, ,同時留同時留意射影定理的其他變式意射影定理的其他變式. .助學(xué)微博助學(xué)微博1.1.當(dāng)證兩個三角形類似當(dāng)證兩個三角形類似, ,在已具備一角對應(yīng)相等的條件時在已具備一角對應(yīng)相等的條件時, ,往往先往往先找能否有另一角對應(yīng)相等找能否有另一角對應(yīng)相等, ,當(dāng)此思緒不通時當(dāng)此思緒不通時, ,再找等角的兩邊對應(yīng)再找等角的兩邊對應(yīng)成比例成比例. .2.2.從平行線等分線段定理的推導(dǎo)到平行線分線段成比例定理的推從平行線等分線段定理的推導(dǎo)到平行線分線段成比例定理的推導(dǎo)導(dǎo), ,留意定理推導(dǎo)過程從特殊到普通的思索方法留意定理推導(dǎo)

13、過程從特殊到普通的思索方法. .類似地類似地, ,類似直類似直角三角形是從恣意兩個三角形類似斷定定理獲得的角三角形是從恣意兩個三角形類似斷定定理獲得的. .3.3.類似三角形性質(zhì)的運用可用來調(diào)查與類似三角形相關(guān)的元素類似三角形性質(zhì)的運用可用來調(diào)查與類似三角形相關(guān)的元素, ,如兩個三角形的高、周長、角平分線、中線、面積、外接圓的直如兩個三角形的高、周長、角平分線、中線、面積、外接圓的直徑、內(nèi)切圓的面積等徑、內(nèi)切圓的面積等. .思想方法思想方法 融思想融思想 促遷移促遷移 分類討論思想在類似三角形中的運用分類討論思想在類似三角形中的運用答案答案: :直角三角形或鈍角三角形直角三角形或鈍角三角形方法點睛方法點睛 射