1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2012-2013學(xué)年第一學(xué)期統(tǒng)計10本隨機過程期中考試一. 填空題1設(shè)馬氏鏈的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣，步轉(zhuǎn)移矩陣，二者之間的關(guān)系為 2.狀態(tài)i常返的充要條件為。3.在馬氏鏈中，記=，n1. =,若<1,稱狀態(tài)i為 。二. 判斷題1. 是一個可數(shù)集，是取值于S的一列隨機變量，若，則是一個馬氏鏈。 × 2. 任意狀態(tài)都與它最終到達的狀態(tài)是互通的，但不與它自己是互通的。 ×3. 一維與二維簡單隨機游動時常返的，則三維或更高維的簡單隨機游動也是常返的。×4. 若狀態(tài)狀態(tài)，則與具有相同的周期。 5. 一個有限馬爾科夫鏈中不可能所有的狀態(tài)都是暫態(tài)。

2、 三. 簡答題1什么是隨機過程，隨機序列？答：設(shè)T為0，+）或（-，+），依賴于t(tT)的一族隨機變量（或隨機向量）通稱為隨機過程，t稱為時間。當(dāng)T為整數(shù)集或正整數(shù)集時，則一般稱為隨機序列。2 .什么是時齊的獨立增量過程？答：稱隨機過程：t0為獨立增量過程，如果對于起始隨機變量及其后的增量是相互獨立的隨機變量組；如果的分布不依賴于s, 則此獨立增量過程又稱為時齊的獨立增量過程。3.由4個狀態(tài)組成的馬氏鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣 ，確定哪些狀態(tài)是暫態(tài)，哪些狀態(tài)是常返態(tài)？4.考慮由狀態(tài)0,1,2,3,4組成的馬爾科夫鏈，而，確定常返態(tài)？5.設(shè)有四個狀態(tài)的馬氏鏈，它的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣1) 對狀態(tài)進行分類；2

3、) 對狀態(tài)空間進行分解。解：1) 均為零，所以狀態(tài)3構(gòu)成一個閉集，它是吸收態(tài)，記；0，1兩個狀態(tài)互通，且它們不能到達其它狀態(tài)，它們構(gòu)成一個閉集，記，且它們都是正常返非周期狀態(tài)；由于狀態(tài)2可達中的狀態(tài)，而中的狀態(tài)不可能達到它，故狀態(tài)2為非常返態(tài)，記。 2）狀態(tài)空間可分解為：3)四. 計算題1. 說是有一位賭徒，他去賭博帶有賭資100元，而對手有200元賭資，他們的規(guī)則是每次下注五元，每次贏五元或輸五元的概率相等, = =1/2.當(dāng)賭徒破產(chǎn)或完勝時停止賭博。問：（1）該賭徒完勝和破產(chǎn)的概率分別是什么？ （2）賭博結(jié)束時，該賭徒平均能贏多少錢？ （3）這場賭博平均要用多長時間？解：（1）由題可得，m

4、=100.M=300.則完勝時: =m/M=100/300=1/3, 破產(chǎn)時： (2): （元）2. 設(shè)子代分布為二項分布B(2，1/2).考察相應(yīng)的分支過程及其滅絕時間，求滅絕概率 解：由子代分布為二項分布B(2，1/2)，可得：Pk= =P0=1/4，P1=1/2，P2=1/4.又知f()=1/4+1/2+1/4解得：=1 3. 設(shè)馬爾科夫鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣為: (1).求兩步轉(zhuǎn)移概率矩陣及當(dāng)初始分布為 ，時，經(jīng)兩步轉(zhuǎn)移后處于狀態(tài)2的概率。 （2）求馬爾科夫鏈的平穩(wěn)分布。：4.設(shè)馬爾科夫鏈的狀態(tài)空間I=1,2,3,4,5，轉(zhuǎn)移概率矩陣為：求狀態(tài)的分類，各常返閉集的平穩(wěn)分布及各狀態(tài)平均返回時間

5、。解：（1）狀態(tài)分類=1,2,3；=4,5（2）由常返閉集的定義可知，常返集有兩個，下面分別求其平穩(wěn)分布及各狀態(tài)的平均返回時間。A對的常返閉集而言解方程組解上述方程組的平穩(wěn)分布為各狀態(tài)的平均返回時間為B對的常返閉集而言解方程組解上述方程組的平穩(wěn)分布為各狀態(tài)的平均返回時間為5.若,它的滅絕概率為,且,它的滅絕概率為.求:(1) 的值；（2）的值；（3）假定它們的初始時由n個個體組成，分別求出兩者的總體滅絕的概率。解：（1）由于所以=1； （2）滿足 = 解得這個二次方程的最小的正解是=。 （3）因為總體滅絕當(dāng)且僅當(dāng)初始代的每個成員的家庭都滅絕，要求的概率是。則 =1， =6小張的賓館剛開張不久，

6、入住的家庭數(shù)是均值為的隨機變量，再假定一個家庭在賓館停留的天數(shù)是參數(shù)為的幾何隨機變量，（于是在前一個晚上留在賓館的一個家庭，獨立于已經(jīng)在賓館呆了多久，將在第二天以概率P退房），再假定所有的家庭是彼此獨立的，在這些條件下容易看出，如果以記在第n天開始入住賓館的家庭數(shù)，那么，n0是馬爾科夫鏈。求：此馬爾科夫鏈的轉(zhuǎn)移概率。解：為了求，我們假定在一天開始是賓館中有i個家庭，因為這i個家庭將以概率q=1-q再呆一天，由此推出這i個家庭中再留一天的家庭數(shù)是二項（i,q）隨機變量。所以，以N記這天新入住的家庭數(shù)，我們看到對于取條件，并且利用N是均值為的泊松隨機變量，我們得到7.設(shè)明天是否有雨僅與今天的天氣有

7、關(guān)，而與過去的天氣無關(guān)。又設(shè)今天下雨而明天也下雨的概率為，而今天無雨明天有雨的概率為；規(guī)定有雨天氣為狀態(tài)0，無雨天氣為狀態(tài)1。設(shè)，求今天有雨且第四天仍有雨的概率。解：由題設(shè)條件，得一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為，于是，四步轉(zhuǎn)移概率矩陣為，從而得到今天有雨且第四天仍有雨的概率為。8.一質(zhì)點在1,2,3三個點上作隨機游動，1和3是兩個反射壁，當(dāng)質(zhì)點處于2時，下一時刻處于1,2,3是等可能的。寫出一步轉(zhuǎn)移概率矩陣，判斷此鏈是否具有遍歷性，若有，求出極限分布。解：一步轉(zhuǎn)移概率矩陣， 9 設(shè)馬爾科夫鏈的狀態(tài)空間為, 一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為，求其相應(yīng)的極限分布。解：設(shè)其極限分布由W=WP得到方程組 解方程組得到： 10.設(shè)馬氏鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣為P，求該馬氏鏈的平穩(wěn)分布及各狀態(tài)的的平均返回時間？ 11.設(shè)有時齊次的馬氏鏈轉(zhuǎn)移概率矩陣為P ，討論其馬氏性，并求其平穩(wěn)分布。解 馬氏鏈的狀態(tài)空間為I=1,2，均為吸收態(tài)，狀態(tài)空間可分解為兩個閉集之和，I=1+2，故其是不可約的馬氏鏈， 1 0 P= =PPP=P(n),0 1所以狀態(tài)1和狀態(tài)2都是非周期的，且有LimP11(n)=1不等于Lim