1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上高等數(shù)學（上冊）復習資料 一：函數(shù)的兩個要素： 定義域 對應(yīng)法則 1 兩個函數(shù)相同： （1）定義域相同 （2）對應(yīng)法則相同 至于自變量與因變量用什么符合來表示無所謂。 例如： 與是同一個函數(shù)。 2 函數(shù)的幾種特性 （1）有界性 如果存在實數(shù) ，使得 ，則稱在上有上界 如果存在實數(shù) ，使得 ，則稱在上有下界。有界：既有上界 ，又有下界 。即存在實數(shù)，使得 等價于存在 ，使得（2）單調(diào)性若對區(qū)間內(nèi)任意兩點 ，都有 ，則稱在內(nèi)單調(diào)增加（減少）。若將“ ”改成“”稱為嚴格單調(diào)增加（減少）。（3）奇偶性 設(shè)函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱 如果 ，則稱 為偶函數(shù) 如果 ，則稱 為奇函數(shù)

2、（4） 周期性 若 則稱是以為周期的函數(shù) 注：周期通常指的是它的最小正周期 3復合函數(shù) 設(shè)的定義域為 ，又的定義域為，且 ，則函數(shù)稱為由函數(shù)和 函數(shù) 構(gòu)成的復合函數(shù)。稱為中間變量，記為：4 基本初等函數(shù)： （1）冪函數(shù) （2）指數(shù)函數(shù) （3）對數(shù)函數(shù) 特例 （4）三角函數(shù) 等 （5）反三角函數(shù) 等5 初等函數(shù)：由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和有限次復合運算得到的并可以用一個式子表示的函數(shù)。例： 兩個式子 ，故不是初等函數(shù)6 函數(shù)的極限當時，若無限地接近于某個確定的數(shù)，則稱為當時的極限。記為重要結(jié)論：的幾何意義： 一、 是他的水平漸近線 例如： 二、 而 ，則說明它有兩條漸近線。例如：

3、兩條漸近線。當時 ，如果無限地接近于某一確定的常數(shù)，則稱為當時的極限。記為：注：（1）在處的極限存在與否與在處有無定義沒有關(guān)系。因為定義中沒有要求，只是 （2）趨近于的方式是任意的。（即 可以從左邊 ，也可以從右邊） 左極限：當從左邊趨近于（記為：）時 ，則稱為 當時的左極限。記為： 或 。右極限： 即左右極限存在且相等 若： ，則不存在7 無窮小量定義：以 為極限的變量稱為無窮小（量） 定義：當（或）時 ，對應(yīng)的函數(shù)值的絕對值無限增大注意 無窮大是一種特殊的無界變量，但無界變量不一定是無窮大無窮大的幾何意義： ，直線是函數(shù)圖形的鉛直漸近線 （回憶水平漸近線 定理二：在自變量的同一變化過程中，

4、如果為無窮大 ，則為無窮小；反之 ，如果為無窮小 ，且 ，則為無窮大。無窮小的性質(zhì)：定理三：有限個無窮小的和仍是無窮小定理二：有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小推論：（1） 有極限的量與無窮小的量的乘積是無窮小。 （有極限有界）（2）常數(shù)與無窮小量的乘積是無窮小 （3）有限個無窮小量的乘積也是無窮小8 無窮小的比較定義： 設(shè)都是無窮小 (1) 若 ，則稱是比高階的無窮小 ，記為：(2) 若 ，則稱是比低階的無窮小(3) 若 ，則稱與是同階無窮小(4) 若 ，則稱與是等價無窮小 ，記為：最重要是等價無窮小 ，關(guān)于等價無窮小，我們要記住以下結(jié)論 當時 ， ， ， ， ， ， ，注意其引申 即上面的無窮

5、小可換成其他無窮小定理一：設(shè) ， ，且存在，則 9 函數(shù)的連續(xù)性定義：設(shè)函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)有定義 ，如果 ，則稱在點處連續(xù)。強調(diào)：包含 ；記： ，則 相當于 相當于 由此 ，我們得到連續(xù)的另一個等價定義 定義2 ：設(shè)在點的某一鄰域內(nèi)有定義，如果 ，則稱在點處連續(xù)。 即 ：在處的極限等于它在該點的函數(shù)值與左、右極限相對應(yīng) ，也有左、右連續(xù)的概念若 ，即 ，則稱在點處左連續(xù)若 ，即 ，則稱在點處右連續(xù)在點處連續(xù)左右都連續(xù) 即 若函數(shù)在點處不連續(xù) ，則稱在點處間斷 。稱為的間斷點 。（1） 可去間斷點極限存在 ，但在點處無定義或在點處有定義 ，但 。則稱為的可去間斷點 。（2 ）跳躍間斷點 若與

6、存在，但 可去間斷點和跳躍間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點 。第一類間斷點的特點是左右極限都存在。第一類間斷點以外的間斷點稱為第二類間斷點 。特點：是至少有一個單側(cè)極限不存在。 常見的有無窮間斷點 。特點：至少有一個單側(cè)極限為無窮大 。一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的10 函數(shù)的導數(shù)定義：設(shè)函數(shù)在點處的某個鄰域內(nèi)有定義，給以增量（仍然在該鄰域內(nèi)），若存在。 則稱在處可導。 并稱這個極限值為在處的導數(shù)。記為： ， ， 即 關(guān)于導數(shù)的幾點說明： （1）導數(shù)反映因變量關(guān)于自變量的變化率，即反映了因變量隨自變量的變化而變化的快慢程度。 （2） 令 ，當時 等價定義 或（1） 若定義中極限不存在， 則稱在處不

7、可導。 在不可導中有一個特殊情形。當 ，則稱在處的導數(shù)為無窮大。（2） 如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的每一點處都可導， 就稱函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)可導。（3） 對于任一個 ，都對應(yīng)著的一個確定的導數(shù)值 ， 。 這個函數(shù) 叫做原來函數(shù)的導函數(shù) 。記作：或 即 或注 ：（1）導函數(shù)簡稱為導數(shù)（2）（6）單側(cè)導數(shù) 1、 左導數(shù) 2、 右導數(shù) 存在（7）如果在開區(qū)間內(nèi)可導 ，且都存在，就說在閉區(qū)間上可導。函數(shù)在點處的導數(shù)的幾何意義就是曲線在對應(yīng)點處的切線的斜率。 于是：曲線在點處的切線方程可寫成：（1）存在，則 切線方程： 法線方程： （2）若切線方程：法線方程：定理：若在處可導 。則在處必連續(xù)連續(xù)但不可導的例子： 在

8、處 所以連續(xù) ，但不可導注：若不連續(xù) ，則一定不可導11 函數(shù)的微分定義：設(shè)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)有定義，在處給自變量以增量， 如果相應(yīng)的函數(shù)的增量總能表示為： ，其中與無關(guān)，是的高階無窮小。則稱函數(shù)在點處可微 。并稱為在點處的微分。 記作：或 即： 稱為微分系數(shù)。定理：函數(shù)在處可微函數(shù)在處可導我們得到函數(shù)的可微性與可導性是等價的。 （可微可導）。函數(shù)在處的微分12 函數(shù)的不定積分定義1 設(shè)函數(shù)F（x）在某區(qū)間I上可導，且xI有F(x)=f（x），則稱F（x）為函數(shù)f（x）在區(qū)間I上的一個原函數(shù).定理1 設(shè)F（x）是f（x）在區(qū)間I上的一個原函數(shù)，則F（x）+C（C為任意常數(shù)）為f（x）的全體原函數(shù).

9、定義 設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間I上有定義，稱f（x）在區(qū)間I上的原函數(shù)的全體為f（x）在I上的不定積分，記作，其中記號“”稱為積分號，f（x）稱為被積函數(shù)，x稱為積分變量.定理1 設(shè)F（x）是f（x）在區(qū)間I上的一個原函數(shù)，則=F（x）+C，C為任意常數(shù).強調(diào)：不能丟，僅是一個原函數(shù)，不定積分是原函數(shù)的全體。通常，我們把f（x）在區(qū)間I上的原函數(shù)的圖形稱為f（x）的積分曲線，不定積分的性質(zhì)（1）=+，其中，為常數(shù)；（2）=f（x）；（3）=f(x)+C,C為任意常數(shù).13 函數(shù)的定積分定義 設(shè)函數(shù)f（x在區(qū)間a，b上有界，今取n+1個分點：a=x0x1x2xi -1xixn -1xn=b，將a，b

10、分成n個小區(qū)間xi -1，xi，其長度記為xi=xi -xi -1（i=1，2，n），并令=,若ixi -1,xi（i=1，2，n），極限(i)xi存在，且該極限值與對區(qū)間a，b的分劃及i的取法無關(guān)，則稱f（x）在a，b上可積，且稱該極限值為f（x）在a，b上的定積分，記為，其中,f（x）稱為被積函數(shù)，x稱為積分變量，a和b分別稱為積分下限和上限，a，b稱為積分區(qū)間，（i）xi稱為積分和.注意：（1） 定積分是一個和式的極限 ，它是一個數(shù)。和式很復雜 ，區(qū)間的分法 無窮多 ，點的 取法也無窮多。 但是，極限與取法、分法無關(guān)。（2） 定積分由被積函數(shù)與積分區(qū)間確定 ，與積分變量無關(guān)。即 。 （3

11、） 曲邊梯形的面積 （4） 當被積函數(shù)在積分區(qū)間上恒等于1時，其積分值即為積分區(qū)間長度，即 =b -a；（5） 可積條件 為方便起見，我們用R（a，b）表示區(qū)間a，b上所有可積函數(shù)的集合，可以證明：（1）若f（x）C（a，b），則f（x）R（a，b）；（2）若f（x）為a，b上的單調(diào)有界函數(shù)，則f（x）R（a，b）；（3）若f（x）在a，b上僅有有限個第一類間斷點，則f（x）R（a，b）.定積分的幾何意義：（1） 圖（2） 圖（3） 在上有正有負 圖 面積的代數(shù)和總之，若f（x）C（a，b），則定積分的幾何意義是表示由x軸、曲線y=f（x）、直線x=a與x=b所圍成的各部分圖形面積的代數(shù)和，其

12、中位于x軸上方的圖形面積取正號，位于x軸下方的圖形面積取負號.定積分的性質(zhì)（1） 當a=b時，=0；（2） 當ab時，= -積分中值定理） 設(shè)f（x）C（a，b），則a，b，使得=f（）（b -a）.設(shè)f（x）C（a，b），F(xiàn)（x）是f（x）在a，b上的一個原函數(shù)，則 =F（b） -F（a）. 要掌握的具體內(nèi)容：如何求極限；如何求導數(shù)與微分如何求不定積分與定積分導數(shù)和定積分的應(yīng)用一 如何求極限求極限的方法（1） 約去零因子法（適用于時的型）（2） 無窮小因子分出法（適用于時的型）當時有理分式的極限為 （3） 有理化（適用于含有根式的極限）（4） 通分（適用于型）（5） 利用兩個重要極限1 第一

13、個重要極限 這個極限的特點：（1）型 （2） 推廣： ，其中是的該變化過程中的無窮小2 第二個重要極限 （是無理數(shù) ，）幾種變形 有如下特點： （1） 型 （2） 加號上的量與肩膀上的量互為倒數(shù)推廣：若 ，則 若 ，（6）等價無窮小替換當時 ， ， ， ， ， ， ，注意其引申 即上面的無窮小可換成其他無窮小定理一：設(shè) ， ，且存在，則 強調(diào)：乘積時才用等價無窮小代替 ，在加減中不能代替 ， 即被替換的無窮小必須處于乘積因子位置例：原式 錯 在加減中不要替換（7）利用無窮小的性質(zhì)（定理二：有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮?。?）利用左右極限與極限的關(guān)系（適用于分段函數(shù)在分段點處的極限）（9）連續(xù)

14、性的定義（設(shè)連續(xù)函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)有定義，則 ）（10）洛必達法則型，型直接使用法則， 型，將其中的一個倒下來，化成型或型，再使用法則。型，通分后化成型，再使用法則。型，化成以為底的指數(shù)，或取對數(shù)后化成以上10種方法中，特別要注意洛必達法則與重要極限，無窮小替換，相結(jié)合二 如何求導數(shù)（1）基本求導公式求導公式：（1）（2） 特例：（3） 特例：（4） 特例： （5） （6） （2）求導的四則運算法則： 為常數(shù)（3） 復合函數(shù)的求導法則 定理三： 如果在點處可導，而在點處可導， 則復合函數(shù)在點處可導，且其導數(shù)為： 或 鏈式法則 ：函數(shù)對的導數(shù) ：對的導數(shù) ：對求導 復合函數(shù)的導數(shù)，等于函數(shù)對中

15、間變量的導數(shù)乘以中間變量對自變量的導數(shù)。（4） 參數(shù)方程的求導法若參數(shù)方程確定與之間的函數(shù)關(guān)系，稱此為由參數(shù)方程所確定的函數(shù)。求導公式 對的導數(shù)比上對的導數(shù)二階導數(shù) 對的導數(shù)比上對的導數(shù)（5） 隱含數(shù)的求導法 什么叫隱含數(shù)？ 定義：由方程所確定的函數(shù)稱為隱函數(shù)隱函數(shù)的求導法則： 用復合函數(shù)的求導法則直接對方程兩邊求導（6）對數(shù)求導法： 先兩邊取對數(shù) ，然后按照隱函數(shù)的求導方法求導。 適用范圍：（1）冪指函數(shù) （2）多個函數(shù)相乘或還有開方的情況（7）變限函數(shù)的求導(x)= =f(x) =f（u（x）u(x) -f(v(x)v(x).（8）如何求微分先求出函數(shù)的導數(shù)，則千萬不要忘記寫三 如何求積分

16、基本積分公式 =kx+C（k為常數(shù)）, =+C(a -1),特別地： =lnx+C(x0), =ex+C, =+C(a0且a1), =sinx+C, = -cosx+C, =tanx+C, = -cotx+C, =secx+C, = -cscx+C, =+C, =積分的方法一， 分項積分=+，其中，為常數(shù)；=二 換元法第一換元法（湊微分）= F(x)+C.（注意：中間的換元過程可省略。）第二換元 對于定積分的第二換元法要注意：（1） 換元必換限（2） 當時 ，不一定有 ，但下限一定要對應(yīng)下限 ，上限一定要對應(yīng)上限（3） 選取可能不唯一 ，原則上：不自找麻煩 ，越小越好三 分部積分 注意：1將誰

17、看成 2回歸法對于定積分還有三個要注意的地方一， 分段函數(shù)的定積分如果積分區(qū)間包含了被積函數(shù)的分段點，則利用積分對區(qū)間的可加性，分成幾個定積分的和。例： ，計算解：例：，求解：因為 二 奇零偶倍 三、廣義積分（1）無窮積分定義： 若廣義積分與都收斂 ，則收斂 ，且定義為這兩個廣義積分之和。 =計算： （2）瑕積分定義：若為的瑕點，則若為的瑕點，則若為的瑕點，則計算：若為的瑕點，則若為的瑕點，則若為的瑕點，則=+四 應(yīng)用題（一）求曲線的切線，法線（二）求極值，單調(diào)區(qū)間，拐點，凹凸區(qū)間，最大值，最小值。確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間，極值的步驟為：（1） 寫出定義域（2） 找出駐點和導數(shù)不存在的點 ，將定義域進

18、行劃分。（3） 判斷各區(qū)間導數(shù)的符號 ，并判斷單調(diào)性，。（4）寫出單調(diào)區(qū)間，求出各極值點的函數(shù)值 ，即得全部極值。判斷凹凸區(qū)間，曲線拐點的步驟：（1） 寫出定義域，求（2） 令 ，解出實根 ，并找出二階導數(shù)不存在的點，將定義域進行劃分。對每一點 ，考察在的左、右兩側(cè)的符號。寫出凹凸區(qū)間，若左、右兩側(cè)符號相反， 則為拐點，否則不是。求最值的步驟：（1） 在內(nèi)找出駐點和不可導點，（2） 計算及（3） 從這些值中找出最大值、最小值。（三）與中值定理有關(guān)的證明題（四）利用單調(diào)性證明不等式（五）關(guān)于閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明題（六）求平面圖形的面積 記住：被積函數(shù)是上面的函數(shù)減下面的函數(shù)。 記?。罕环e函數(shù)是右邊的函數(shù)減