1、1題組層級(jí)快練(四十四)1 若平面a的一個(gè)法向量為(1 , 2 , 0)，平面B的一個(gè)法向量為(2 , - 1 , 0)，則平面a和平面B的位置關(guān)系 是()A .平行B .相交但不垂直C.垂直D .重合答案 C解析 由(1 , 2, 0)(2, - 1 , 0) = 1X2+ 2X( 1)+ 0X0= 0,知兩平面的法向量互相垂直，所以兩平面互相垂直.內(nèi)的是(答案 AAB, AC=組盈=_3_= 1.|AB|AC|32X；2 2向量 AB 與 AC 的夾角為 60C.(詩,于,答案 D2.已知平面a內(nèi)有一個(gè)點(diǎn) M(1 , 1 , 2),平面a的一個(gè)法向量是n= (6 , 3 , 6),則下列點(diǎn)

2、 P 在平面aA . P(2, 3,3)B . P( 2, 0, 1)C. P( 4, 4, 0)D . P(3, 3,4)解析/ n= (6 ,3, 6)是平面a的法向量,n 血5,在選項(xiàng)A 中，MP = (1, 4, 1), An MP = 0.3.若平面的法向量分別為 n1= (2, 3, 5), n2= ( 3, 1,4)，則(A.a II 3C.a,3相交但不垂直D.以上均不正確答案 C4.已知點(diǎn) A(2 , 5, 1), B(2 , 2, 4) , C(1 ,4, 1),則向量 AB 與 AC 的夾角為(A. 30B. 45C. 60D.90答案解析由已知得 AB = (0, 3

3、, 3) , AC = ( 1 , 1,0),cos5.已知 A(1 , 0 , 0) , B(0 , 1 , 0) , C(0 , 0 ,A.(3,3,_1),則平面 ABC 的一個(gè)單位法向量是(B.(3 ,2解析 AB = (- 1, 1 , 0), AC = ( 1 , 0, 1),平面 ABC，貝 U BP=()a(0ac) 什A卩歸+2 +入 = 4(甘 2 卩)一 2 卩一 4A=0.故 AB1Jm ,結(jié)論得證.方法二：基向量的取法同上.7AB1BA1=(ac) (a+c)=|a|2|c|2=0,TT1121-TTT T,AB1BD = (a c) (Ja + b) = I + a

4、 b ?a c b c= 0, AB11BA1, AB1JBD ,即 AB1JBA1, AB1JBD ,由直8線和平面垂直的判定定理，知ABi丄平面 AiBD.方法三：取 BC 的中點(diǎn) 0,連接 AO.BC 為正三角形， AO JBC.在正三棱柱 ABC AiBiCi中，平面 ABC 丄平面 BCCiBi, A0 丄平面 BCCiBi.取 BiCi的中點(diǎn) Oi,以 O 為原點(diǎn)，OB, OOi, 0A 的方向分別為 x , y , z 軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,n BAi= 0,x+ 2y+ 3z= 0 ,令 x= i,貝 U y= 2 ,故 n = (i, 2, .3)為平面 AiBD 的

5、一個(gè)法向量，而 ABi= (i , 2, , 3) , /ABi= n,即ABi/n , .ABi丄平面 AiBD.i3.(20i6 海淀區(qū)模擬)如圖所示,ABCD 是邊長(zhǎng)為 3 的正方形，DE 丄平面 ABCD , AF / DE , DE = 3AF , BE與平面 ABCD 所成角為 60(1) 求證：AC 丄平面 BDE ;(2) 設(shè)點(diǎn) M 是線段 BD 上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試確定 M 的位置，使得 AM /平面 BEF ,并證明你的結(jié)論. 答案略i丄十=(2)BM =尹 D 時(shí),AM /平面 BEF.解析 (i)因?yàn)?DE 丄平面 ABCD ,所以 DE 丄 AC.因?yàn)?ABCD 是正方形，

6、所以 AC 丄 BD.如下圖所示，則 B(i , 0, 0), D( i ,i,0), Ai(0, 2,3), A(0 , 0,3), Bi(i , 2 , 0).設(shè)平面 AiBD 的法向量為 n=2,3), BD = ( 2, i , 0).z= . 3.2x + y= 0,9從而 AC 丄平面 BDE.(2)因?yàn)?DA , DC , DE 兩兩垂直，所以建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz 如圖所示.因?yàn)?BE 與平面 ABCD 所成角為 60,即/ DBE = 60。，所以 DB = 3.因?yàn)檎叫?ABCD 的邊長(zhǎng)為 3,所以 BD = 3 2，所以 DE = 3 .6, AF = 6.則 A

7、(3 , 0, 0), F(3, 0,.6), E(0, 0, 3 6), B(3, 3, 0) , C(0 , 3 , 0).所以BF= (0 , 3 ,6) , EF = (3 , 0, 2 ,6).n EBF = 0 ,設(shè)平面 BEF 的法向量為 n= (x , y , z),則 S ,n EF = 0 ,3y+ 6z= 0即 $,令 z = 6 ,貝 U n= (4 , 2 , 6).3x 2 辰=0點(diǎn) M 是線段 BD 上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè) M(t , t , 0).則 AM = (t 3 , t , 0).因?yàn)?AM /平面 BEF ,所以 AM n= 0.即 4(t 3)+ 2t =

8、0,解得 t= 2.1此時(shí)，點(diǎn) M 為(2 , 2 , 0) , BM = 3BD,符合題意.14 . (2016 山東師大附中月考)如圖是某直三棱柱被削去上底后的直觀圖與三視圖的側(cè)視圖、俯視圖，在直1觀圖中，M 是 BD 的中點(diǎn)，AE = 2CD ,側(cè)視圖是直角梯形，俯視圖是等腰直角三角形，有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示.104), E(0, 0, 2), M( 1, 1, 2), DB = (2, 2, 4) , DE = (2 , 0, 2) , DC = (0 , 0, 4) , DM = (1 , 1 ,(1) 求證：EM /平面 ABC ;(2) 求出該幾何體的體積；3答案(1)略(2)4存在，

9、當(dāng) DN = 3DC 時(shí)，NM丄平面 BDE解析 證明： M 為 DB 的中點(diǎn)，取 BC 中點(diǎn) G,連接 MG, AG ,MG /DC,且 MG =2DC.MG /AE 且 MG = AE , 四邊形 AGME 為平行四邊形， EM /AG.又 AG?平面 ABC , EM ?平面 ABC , /EM /平面 ABC.EA 丄平面 ABC ,.EA _1AB.又 AB 丄 AC , AEQAC = A , /AB 丄平面 ACDE , 四棱錐 B ACDE 的高 h = AB = 2,梯形 ACDE 的面積 S= 6,1 VB ACDE= 3 Sh= 4,即所求幾何體的體積為 4.(3)以 A 為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，貝 UA(0 ,0, 0), B(0 , 2, 0), C( 2, 0, 0), D( 2, 0,2).假設(shè)在 DC 邊上存在點(diǎn) N 滿足題意，設(shè) DN =TDC =(0, 0, 4 入)入0 , 1,則 NM = DM DN = (1 ,試問在邊 CD 上是否存在點(diǎn)N，使 MN 丄平面 BDE ?若存在，確定點(diǎn)N 的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.由題意知,EA丄平面 ABC , DC 丄平面 ABC , AE /DC , AE = 2, DC = 4, A