1、通訊原理通訊原理第七章：第七章： 取樣理論取樣理論大綱l 簡介l 取樣定理 (sampling theorem)l 膺頻(aliasing)效應(yīng)l 信號(hào)重建 (signal reconstruction)l 取樣的實(shí)際考量l 取樣定理的應(yīng)用大綱l 簡介l 何謂取樣(sampling)及均勻取樣(uniform sampling) l 取樣的重要性l 取樣定理(sampling theorem)簡介 幾個(gè)直觀的例子l 取樣定理 (sampling theorem)l 膺頻(aliasing)效應(yīng)l 信號(hào)重建 (signal reconstruction)l 取樣的實(shí)際考量l 取樣定理的應(yīng)用l 取

2、樣值(sample value)：連續(xù)時(shí)間信號(hào)在某個(gè)取樣時(shí)間的值。 l 例子：考慮一連續(xù)時(shí)間信號(hào) ，則 為取樣時(shí)間點(diǎn) 的取樣值。何謂取樣(Sampling)l 取樣：將連續(xù)時(shí)間(continuous-time)信號(hào)轉(zhuǎn)換成離散時(shí)間(discrete-time) 信號(hào) 的過程。)(txl均勻取樣(uniform sampling) ：取樣時(shí)間點(diǎn)為等間隔的取樣方式。l假設(shè)取樣時(shí)間點(diǎn)的間隔為T，則對(duì) 取樣所構(gòu)成的離散時(shí)間信號(hào)l 可表示成：l 本課程主要討論均勻取樣。)(0txnx0tt )()(nTxtxnxnTt)(tx取樣的重要性l 透過取樣，可將連續(xù)時(shí)間信號(hào)轉(zhuǎn)換成離散時(shí)間信號(hào)，即可由電腦或數(shù)位系

3、統(tǒng)處理。由於VLSI的進(jìn)步，電腦或數(shù)位系統(tǒng)可以執(zhí)行非常複雜的處理，這部分在連續(xù)時(shí)間領(lǐng)域做非常困難。處理完，再將離散時(shí)間信號(hào)還原成連續(xù)時(shí)間信號(hào)。取樣定理(Sampling Theorem)簡介l 在一定的條件下，連續(xù)時(shí)間信號(hào)可以完全由其取樣值來還原。l 例子: 動(dòng)畫由個(gè)別的瞬間畫面組成；但假設(shè)放映速度夠快，感覺會(huì) l 像是本來連續(xù)動(dòng)作的重現(xiàn)。取樣定理(Sampling Theorem)簡介(續(xù))例子:l 每秒取樣一次。取樣之後的信號(hào)l看起來像是一個(gè)直流信號(hào)，和原先l的信號(hào)大不一樣。l 每0.05秒取樣一次。取樣之後的l 信號(hào)和原先的信號(hào)甚為接近。)2cos()(ttx012345678910-1

4、-0.500.51TimeSignal ValueContinuous-Time Signal012345678910-1-0.500.51Sample IndexSample ValueSampled Version of the Continuous-Time Signal012345678910-1-0.500.51TimeSignal ValueContinuous-Time Signal01234567891000.511.52Sample IndexSample ValueSampled Version of the Continuous-Time Signal取樣定理(Sampl

5、ing Theorem)簡介(續(xù))l 如前頁左圖所示，當(dāng)取樣點(diǎn)足夠密集的時(shí)候， 似乎和 非常接近。因此，我們希望探討以下三個(gè)問題：l 能否能以取樣值 表示原來的連續(xù)時(shí)間信號(hào) ？l 假設(shè)是的話，成立的條件為何？l 如何以取樣值 還原 ？nxnxnx)(tx)(tx)(tx取樣定理回答此三個(gè)問題。大綱l 簡介l 取樣定理 (sampling theorem)l 脈衝串取樣(impulse train sampling)的信號(hào)模型l 脈衝串取樣的頻域分析l 觀察取樣頻譜所得結(jié)論l 取樣定理的應(yīng)用l 補(bǔ)充推導(dǎo)取樣函數(shù)p(t)的傅立葉轉(zhuǎn)換l 膺頻(aliasing)效應(yīng)l 信號(hào)重建 (signal re

6、construction)l 取樣的實(shí)際考量l 取樣定理的應(yīng)用取樣定理l 考慮一有限頻寬(band-limited)之信號(hào) ，其最高頻率為(即 )。l 假設(shè)取樣頻率 大於 的2倍，則 可由其取樣值 獨(dú)一表示。l - T : 取樣週期(或稱取樣時(shí)間間隔)l - : 取樣頻率(單位 Hz)l - : 取樣頻率(單位 rad/sec) l 有限頻寬之信號(hào)如圖所示 :MMS)T(nxTfss22s)(txTfs1MjX 0)(,)(txl 脈衝串取樣為一個(gè)簡單的模型，用以描畫如何對(duì)一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)l 做均勻取樣。l 取樣後之信號(hào)為一脈衝串 ： l 脈衝串取樣(Impulse Train Samplin

7、g)的信號(hào)模型)(tx)()()(tptxtxp)(txp取樣函數(shù)(sampling function)脈衝串取樣的頻域分析l 週期脈衝串 稱為取樣函數(shù)(sampling function)：l 將 之性質(zhì)代入 ：l l 可得：l 然後對(duì) 做傅立葉轉(zhuǎn)換 :l 其中l(wèi) l l l )()()()(000tttxtttx)(txp )()(j21)()()()(.jPXjXtptxtxpTFp nsnTtpFjP)(2)()(npnTtnTxtx)()()(nnTttp)()()(tp)()()(tptxtxp在時(shí)域相乘在頻域做摺積l 脈衝串 在時(shí)域與頻域 圖示如下 :l 所以l 我們現(xiàn)在可以求得

8、 之頻譜圖如下 :脈衝串取樣的頻域分析(續(xù))(jP)(jXp)(tpnnjXspsnjXTjX 向右位移)(Scaling)(1)(原始信號(hào)的頻譜F.T.原始頻譜複製在整數(shù)的 處。脈衝串取樣所得頻譜為這些複製的頻譜之總和。s觀察頻譜所得結(jié)論l 假設(shè) ，亦即 ：l 信號(hào)經(jīng)取樣後之複製的頻譜不會(huì)發(fā)生相互重疊，因此信號(hào) 可經(jīng)由低通濾波器恰好還原。)(MsMMs2)(tx)()()(jHjXjXpr用以重建信號(hào)之低通濾波器重建信號(hào)的頻譜(和原始信號(hào)的頻譜一致)原始信號(hào)的頻譜觀察頻譜所得結(jié)論(續(xù))l 假設(shè) ，亦即 ：l 信號(hào)經(jīng)取樣後頻譜發(fā)生重疊之現(xiàn)象，此稱為膺頻效應(yīng)(Aliasing Effect)。l

9、 故取樣後無法藉由低通濾波器完美重建原來的信號(hào)。l 稱為奈奎斯特頻率(Nyquist rate)。l 只需滿足取樣頻率大於奈奎斯特頻率(即 奈奎斯特頻率)， 則信號(hào)經(jīng)l 取樣後,可藉由低通濾波器完美重建。M2MMs)(Ms2s頻譜重疊，呵斥此部分信號(hào)失真。取樣定理的應(yīng)用l 音樂光碟：音樂的類比波形是以44.1 kHz的取樣頻率，而後儲(chǔ)存於光碟上。l 一 般人耳朵可聽見的聲音頻率介於20 Hz20 kHz之間。所以l 44.1 kHz的取樣頻率滿足取樣定理。l 電話：語音信號(hào)主要的頻率成分在300 Hz 4 kHz。故現(xiàn)行電話系統(tǒng)的取l 樣頻率為8 kHz，滿足取樣定理。ktTjkktTjkke

10、T eatp221)(補(bǔ)充推導(dǎo)取樣函數(shù)p(t)的傅立葉轉(zhuǎn)換l 取樣函數(shù)l 步驟一：求出 的傅立葉級(jí)數(shù)l l nnTttp)()( T dtetpTaTTtTjkk1)(1222)(tpkktTjkTkTeFTtpFP)2(2 1 )()(2補(bǔ)充推導(dǎo)取樣函數(shù)p(t)的傅立葉轉(zhuǎn)換 (續(xù))l 步驟二：求出 的傅立葉轉(zhuǎn)換l l )(tp)2(2 .2TkeTFtTjk)(P傅立葉轉(zhuǎn)換大綱l 簡介l 取樣定理 (sampling theorem)l 膺頻(aliasing)效應(yīng)l 由頻域的觀點(diǎn)了解膺頻效應(yīng)l 由時(shí)域的觀點(diǎn)了解膺頻效應(yīng)l 信號(hào)重建 (signal reconstruction)l 取樣的實(shí)

11、際考量l 取樣定理的應(yīng)用例子：由頻域的觀點(diǎn)了解膺頻效應(yīng)NoImagesl 假設(shè)取樣頻率為 rad/sec)()cos()(;6500txtt xsrs)()cos()( ;6400txttx srs)()cos()(;6200txtt xrs)()cos()(;600txtt xrs)cos(0tx(t)滿足取樣定理不滿足取樣定理l l l l l 例子：由時(shí)域的觀點(diǎn)了解膺頻效應(yīng))()( 21nxnx f f ttx f ttxsHz 5)Hz 6()12cos()()Hz 1()2cos()(2211l 在取樣頻率 下mmfffs 12)(1tx)(2tx雖然 和 具有不同的頻率，但經(jīng)過取樣

12、後，我們無法區(qū)別 和 。結(jié)論：(1)(2)當(dāng) ； 整數(shù)，我們無法分辨其取樣後的信號(hào)。)(1nx)(2nx頻率頻率)(2tx)(1tx取樣值大綱l 簡介l 取樣定理 (sampling theorem)l 膺頻(aliasing)效應(yīng)l 信號(hào)重建 (signal reconstruction)l 內(nèi)插法(interpolation)的觀點(diǎn)l 例子: 以sinc函數(shù)為內(nèi)插函數(shù)l 取樣的實(shí)際考量l 取樣定理的應(yīng)用信號(hào)的重建內(nèi)插法(Interpolation)的觀點(diǎn)l 重建訊號(hào)的數(shù)學(xué)式 :NoImage)(txrnnnprnTthnTx h(t)nT)(tnTxthnTtnTx thtxtx)()()

13、( )( )()()()()(取樣值內(nèi)插函數(shù))()(1jHFth信號(hào)重建可視為以重建濾波器之單位脈衝函數(shù) 為內(nèi)插函數(shù)，去內(nèi)插取樣值之外的x(t)之值。l 重建訊號(hào)的低通濾波器信號(hào)的重建內(nèi)插法的觀點(diǎn)(續(xù))l 例子：當(dāng) h(t) 是一個(gè)理想低通濾波器：NoImagenT)(tnT)(tTx(nT)(t) xtt)(T h(t)cccnrcccsinsin重建的信號(hào)，為 式子中各項(xiàng)的疊加 )(txr有限頻帶信號(hào)x(t)x(t)取樣的脈衝列重建的信號(hào)取樣值以sinc為內(nèi)插函數(shù), :截止頻率。c大綱l 簡介l 取樣定理 (sampling theorem)l 膺頻(aliasing)效應(yīng)l 信號(hào)重建 (

14、signal reconstruction)l 取樣的實(shí)際考量l 例子: 實(shí)際的取樣系統(tǒng)-零階堅(jiān)持(Zero-Order Hold)l 零階堅(jiān)持的信號(hào)重建l 例子: 實(shí)際的取樣系統(tǒng)-自然取樣(Natural Sampling)l 取樣的實(shí)際考量 I：提高取樣頻率l 取樣的實(shí)際考量 II：運(yùn)用抗膺頻濾波器l 取樣定理的應(yīng)用實(shí)際的取樣系統(tǒng)-零階堅(jiān)持(Zero-Order Hold)l 的時(shí)域表示： l noonoponTthnTxthnTtnTxthtxtx)()()()()()()()()(txo)(txo輸入信號(hào)經(jīng)零階堅(jiān)持取樣的信號(hào)零階堅(jiān)持的 信號(hào)模型實(shí)際的取樣系統(tǒng)-零階堅(jiān)持(Zero-Ord

15、er Hold)l 的頻域表示：l 其中)(txo)2/sin(22/ )()()()()(TTjetohFjoHjpXjoHjoXl 假設(shè)要重建無失真的訊號(hào)(即 )， 須滿足如下l 條 件：l 零階堅(jiān)持的信號(hào)重建)()(txtrx)()()(jHjHjHro信號(hào)重建所需求的濾波器零階堅(jiān)持)(jrHho(t) 和 hr(t)串聯(lián)的等效系統(tǒng)理想低通濾波器故)()()(jHjHjHor零階堅(jiān)持的信號(hào)重建(續(xù))(jHr)(jH)(joH及的大小頻譜如圖所示如下圖所示理想的低通濾波器實(shí)際的取樣系統(tǒng)-自然取樣(Natural Sampling)l 下圖所示一振幅為A、波寬為Tp且週期為T的週期信號(hào) k(

16、t)，此週期信號(hào) l 可以用傅立葉級(jí)數(shù)表示成 tjnnnseKtk)(類比信號(hào) )(tx自然取樣函數(shù) k(t) )2(Ts實(shí)際的取樣系統(tǒng)-自然取樣(續(xù))l 取樣後的離散時(shí)間信號(hào)xk(t)如下圖所示，其表示式為 tjnnnksetxKtktxtx)()()()(均勻自然取樣得到的離散時(shí)間信號(hào) xk(t) 實(shí)際的取樣系統(tǒng)-自然取樣(續(xù))l 的傅立葉轉(zhuǎn)換l 傅立葉級(jí)數(shù)之係數(shù) 可表示為l 最後可將均勻自然取樣得到的離散時(shí)間信號(hào)之傅立葉轉(zhuǎn)換寫成 nsnknjXKjX)()()(sincTnTTATKppnnsppknjXTnTTATjX)()(sinc)()(txknK信號(hào)均勻自然取樣程序在頻域之表示圖

17、 ( )實(shí)際的取樣系統(tǒng)-自然取樣(續(xù))l 一限頻信號(hào)經(jīng)自然取樣後的離散時(shí)間信號(hào)可以利用低通濾波器加以還原，但仍要滿足取樣速率要大於等於原信號(hào)頻寬的兩倍的條件。 Ms2理想低通濾波器頻率響應(yīng)實(shí)際的取樣系統(tǒng)-自然取樣 (總結(jié))(取樣後的信號(hào)頻譜)(取樣後的信號(hào))取樣的實(shí)際考量 I：提高取樣頻率l 假設(shè)取樣頻率恰為奈奎斯特頻率：假設(shè)取樣頻率恰為奈奎斯特頻率：l 複製頻譜之間沒有任何間隔，需求一理想的低通濾波器複製頻譜之間沒有任何間隔，需求一理想的低通濾波器l 以重建訊號(hào)。以重建訊號(hào)。l 需求理想的低通濾波器提高取樣頻率之後，複製頻譜間有間隔了，因此不需求完美的低通濾波器亦可進(jìn)行信號(hào)重建。=2w2w取

18、樣的實(shí)際考量II：運(yùn)用抗膺頻濾波器l 現(xiàn)實(shí)世界中的訊號(hào)皆為時(shí)限(time-limited)信號(hào)，所以不是限頻(band-limited) l 的信號(hào)，因此無法重建本來的信號(hào)。l l l 解決方法：在取樣前，運(yùn)用抗膺頻濾波器(anti-aliasing filter)l 移除在頻譜上|f|fs/2的部份。(其截止頻率為fs/2)。l 抗膺頻濾波器例子:未運(yùn)用抗膺頻濾波器的結(jié)果理想的低通濾波器取樣信號(hào)的頻譜被截止的尾端頻率被截止的尾端頻率會(huì)疊合至此較高頻部份被濾除，呵斥失真。原來信號(hào)高頻部份疊合至此，呵斥低頻部份的失真。理想的低通濾波器用以重建信號(hào)jX重建的頻譜例子:運(yùn)用抗膺頻濾波器的結(jié)果因?yàn)檫\(yùn)用

19、抗膺頻濾波器把原來信號(hào)在 的部份移除，故重建後的信號(hào)在 的部份呵斥失真，但在 部分則無失真。2sff 2sff 2sff 取樣信號(hào)頻譜重建頻譜(低頻無失真)大綱l 簡介l 取樣定理 (sampling theorem)l 膺頻(aliasing)效應(yīng)l 信號(hào)重建 (signal reconstruction)l 取樣的實(shí)際考量l 取樣定理的應(yīng)用l 以離散時(shí)間的方式處理連續(xù)時(shí)間信號(hào)l 在很多應(yīng)用中，為了處理連續(xù)時(shí)間信號(hào)，常先將之轉(zhuǎn)換成離散時(shí)l 間信號(hào)以作處理，如圖所示。l 首先將連續(xù)時(shí)間信號(hào) 轉(zhuǎn)為離散時(shí)間信號(hào) 。l 可在離散時(shí)間系統(tǒng)下做處理，例如超大型積體電路(VLSI) 。l VLSI在技術(shù)上

20、，可執(zhí)行非常快且複雜的數(shù)位信號(hào)處理。處理l 完，再將離散時(shí)間信號(hào)還原成連續(xù)時(shí)間信號(hào)。以離散時(shí)間的方式處理連續(xù)時(shí)間信號(hào)nxdnxdnxd系統(tǒng)模型數(shù)學(xué)模型取樣週期C/D轉(zhuǎn)換離散時(shí)間系統(tǒng)D/C轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)換至離散時(shí)間)(txcnxdnyd)(tyc離散時(shí)間系統(tǒng)轉(zhuǎn)換至連續(xù)時(shí)間)(txc)(tyc)(nTxnxcd)(nTynycdTT例子：音樂光碟片(CD)和光碟機(jī)l音樂光碟片：l音樂信號(hào) 經(jīng)過取樣後轉(zhuǎn)成 ，取樣的頻率l 為44.1 kHz。l本例子中的離散時(shí)間系統(tǒng)為編碼系統(tǒng)(如 Reed- l Solomon Codes)，編碼後之信號(hào)為 ，儲(chǔ)存於l CD上。l光碟機(jī)：l將 由CD讀出，解碼之後再透過連續(xù)

21、時(shí)間轉(zhuǎn)換l 成為類比信號(hào) 由喇叭(類比器材)播出。)(tyc轉(zhuǎn)換至離散時(shí)間)(txcnxdnyd離散時(shí)間系統(tǒng)轉(zhuǎn)換至連續(xù)時(shí)間nxdnyd)(txc)(tycnyd習(xí)題習(xí)題習(xí)題一 一連續(xù)時(shí)間信號(hào) 為由一截止頻率為 的理想低通濾波 器來得到，假設(shè) 經(jīng)過脈衝串取樣，以下哪個(gè)取樣週期可以保證 可以利用近似低通濾波器由其取樣值來還原？ a ? b ? c ?)(tx000, 1c)(tx)(tx3105 . 0T3102T410T習(xí)題二 有一頻寬為W的基頻訊號(hào) ，經(jīng)取樣週期為T的取樣器取樣後可得一脈衝訊 號(hào)為 ，其中 是恣意波形。請(qǐng)問 的傅立葉轉(zhuǎn)換為何? npnTtpnTxtx)()()()(tp)(tx)(txp習(xí)題三 信號(hào) 是一實(shí)函數(shù)、奇函數(shù)及週期函數(shù)，