1、4/3/20221粒子物理與核物理實驗中的粒子物理與核物理實驗中的數(shù)據(jù)分析數(shù)據(jù)分析楊振偉楊振偉清華大學清華大學第二講：基本概念（續(xù)）第二講：基本概念（續(xù)）艾滋病檢驗結果再認識艾滋病檢驗結果再認識4/3/20222()0.001 ()()0.032 ()P AIDSP AIDS 驗前概率前概率驗后概率后概率 對于個人而言，對于個人而言，0.032 是主觀概率。如果沒有是主觀概率。如果沒有其它額外的信息時，應把其它額外的信息時，應把 0.001 當作相對頻率解釋。當作相對頻率解釋。但是往往在病毒檢驗前，該相對頻率被當作一種信但是往往在病毒檢驗前，該相對頻率被當作一種信念來處理個人是否患病。念來處理

2、個人是否患病。 如果還有其它額外的信息，應該給出不同的先如果還有其它額外的信息，應該給出不同的先驗概率。這種貝葉斯統(tǒng)計的特點必定是主觀的。例驗概率。這種貝葉斯統(tǒng)計的特點必定是主觀的。例如，受檢者有過吸毒歷史。一旦驗前概率改變，貝如，受檢者有過吸毒歷史。一旦驗前概率改變，貝葉斯定理就會告訴患病的可能性。對陽性結果的詮葉斯定理就會告訴患病的可能性。對陽性結果的詮釋就會改變。釋就會改變。問題：能否構造含自變量的概率？問題：能否構造含自變量的概率？4/3/20223隨機變量與概率密度函數(shù)隨機變量與概率密度函數(shù)假設實驗結果為假設實驗結果為 x (記作樣本空間中元素記作樣本空間中元素)的概率為的概率為(

3、, )( )Pxx xdxf x dx 觀測到到在在范范圍內內那么概率密度函數(shù)那么概率密度函數(shù) p.d.f. 定義為定義為 f (x)，它對全部樣本空間，它對全部樣本空間S 滿足滿足( )1Sf x dx 定義累積分布函數(shù)為定義累積分布函數(shù)為( )()xF xf x dx 對于離散型隨機變量對于離散型隨機變量1(), 1, ( )()iniiiiixxfP xfF xP x )(xf)(xFxx 分位數(shù)、中值與模分位數(shù)、中值與模4/3/20224分位分位點點 x 定義為隨機變量定義為隨機變量 x 的值，它使得的值，它使得 ()F x 這里這里 0 1。因此可以容易求出分位點。因此可以容易求出分

4、位點1( )xF 隨機變量隨機變量 x 的的中值中值定義為定義為 11/2(1/2)xF 隨機變量隨機變量 x 被觀測到大于或小于中值的概率是相等的。被觀測到大于或小于中值的概率是相等的。 模模定義為使概率密度函數(shù)值達到極大的隨機變量值。定義為使概率密度函數(shù)值達到極大的隨機變量值。 4/3/20225直方圖與概率密度函數(shù)直方圖與概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)概率密度函數(shù) p.d.f. 就是擁有無窮大樣本，區(qū)間寬度為零，就是擁有無窮大樣本，區(qū)間寬度為零，而且歸一化到單位面積的而且歸一化到單位面積的直方圖直方圖。( )( )( )()N xf xn xN xnx 每每個個區(qū)區(qū)間的的事事例例數(shù)數(shù) 頻數(shù)數(shù)填

5、填入入直直方方圖的的總事事例例數(shù)數(shù)區(qū)區(qū)間的的寬度度)(xN)(xN)(xN)(xfxxxx直方圖在統(tǒng)計分析中非常重直方圖在統(tǒng)計分析中非常重要，應準確理解它的含義。要，應準確理解它的含義。4/3/20226多變量情形多變量情形如果觀測量大于一個，例如如果觀測量大于一個，例如 x 與與 y()( , )( , )p.d.f .( , )1P ABf x y dxdyf x yf x y dxdy 聯(lián)合合的的4/3/20227邊緣分布邊緣分布將聯(lián)合概率密度函數(shù)將聯(lián)合概率密度函數(shù) p.d.f. 分別投影到分別投影到 x 與與 y 軸軸y)(yfyx)(xfxyx( )( , )y( )( , )( )

6、,( )p.d.f .xyxyxfxf x y dyfyf x y dxfxfy 投投影影到到軸： ：投投影影到到邊緣的的軸： ：定定義： ：若若 x，y 相互獨立，則可構造相互獨立，則可構造2-維維p.d.f4/3/20228條件概率密度函數(shù)條件概率密度函數(shù)利用條件概率的定義，可得到利用條件概率的定義，可得到dxxfdxdyyxfAPBAPABPx)(),()()()|(定義條件概率的密度函數(shù)定義條件概率的密度函數(shù) p.d.f. 為為)(),()|(,)(),()|(yfyxfyxg xfyxfxyhyx則貝葉斯定理可寫為則貝葉斯定理可寫為)()()|()|(yfxfxyhyxgyx)()(

7、),(yfxfyxfyx h(y|x)yyxdxdx4/3/20229名詞總匯名詞總匯隨機事例隨機事例概率概率條件概率條件概率相對頻率與主觀概率相對頻率與主觀概率貝葉斯定理貝葉斯定理隨機變量隨機變量概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)條件密度函數(shù)條件密度函數(shù)直方圖直方圖4/3/202210問題問題()(|)( )P ABP A BP B條件概率條件概率如果如果 A 與與 B 相互獨立相互獨立，則從文恩圖上得到，則從文恩圖上得到0AB因此因此 ()(|()0)( ) 0 ?( )P ABP A BPBPAAPB4/3/202211解答：概率都是條件概率解答：概率都是條件概率由柯尓莫哥洛夫公理，我們定義了概率

8、由柯尓莫哥洛夫公理，我們定義了概率 P(A)。但在實際應用中，我們總是對但在實際應用中，我們總是對 A 相對于許多樣本空間的概率相對于許多樣本空間的概率感興趣，而不僅僅只是一個空間。因此，通常以記號感興趣，而不僅僅只是一個空間。因此，通常以記號(| )P A S來表示所進行的研究是在特定的樣本空間來表示所進行的研究是在特定的樣本空間 S 中，也就是中，也就是 A 相相對于對于 S 的條件概率。的條件概率。因此，所有概率在實際應用中都是因此，所有概率在實際應用中都是條件概率條件概率。只有當只有當 S 的選擇是明白無誤時，才能簡單記為的選擇是明白無誤時，才能簡單記為(| )P A S( )P A4

9、/3/202212解答：互斥與相互獨立解答：互斥與相互獨立互斥互斥的定義為的定義為ABAB 也就是兩個事例的定義沒有交集。所給出的推論為也就是兩個事例的定義沒有交集。所給出的推論為0()( )( )ABP ABP AP B相互獨立相互獨立的定義為的定義為 ()( ) ( ) P ABP A P BAB如果則與相互獨立。因此，根據(jù)定義兩個相互獨立的事例不意味著是互斥的。前因此，根據(jù)定義兩個相互獨立的事例不意味著是互斥的。前面的問題屬于把兩者定義混淆了。面的問題屬于把兩者定義混淆了。4/3/202213證明舉例：事例與逆事例證明舉例：事例與逆事例如果 A 是在 S 中的任意一個事例，則( ) 1(

10、 )P AP A證明：由于 A 與 根據(jù)定義是互斥的，并且從文恩圖得到AAAS因此可以寫出( )( )()( )1P AP AP AAP S( ) 1( )P AP A4/3/202214舉例：檢查給定概率的合理性舉例：檢查給定概率的合理性如果一個實驗有三種可能并且互斥的結果 A，B 和 C ，檢查下列各種情況給出的概率值是否是合理的：1) ( )1/3, ( )1/3, ( )1/32) ( )0.64, ( )0.38, ( )0.023) ( )0.35, ( )0.52, ( )0.264) ( )0.57, ( )0.24, ( )0.19P AP BP CP AP BP CP AP

11、 BP CP AP BP C 結論：只有結論：只有1）與）與4）是合理的。）是合理的。評論：作為一個合格的實驗研究人員，一定要具備判斷評論：作為一個合格的實驗研究人員，一定要具備判斷 結果是否合理的能力！結果是否合理的能力！4/3/202215舉例：檢查經驗概率密度函數(shù)舉例：檢查經驗概率密度函數(shù)221) ( ) 1,2,3,422) ( ) 0,1,2,3,425xf xxxh xx對于對于實驗上經常經驗性地從直方圖中給出概率密度函數(shù)（例如通過擬合直方圖分布等等），但是需要確定得到的函數(shù)是否滿足概率密度函數(shù)的定義，例如試判斷哪一個可以用作概率密度函數(shù)？答案：1）有負概率值；2）累積函數(shù)值大于1

12、。因此，兩者在給定的隨機變量范圍內都不能用作概率密度函數(shù)。4/3/202216數(shù)據(jù)分析中的問題數(shù)據(jù)分析中的問題粒子與核物理實驗中對動量的測量通常是分別測量粒子與核物理實驗中對動量的測量通常是分別測量xypzp在已知兩分量測量值的概率密度函數(shù)情況下，總動量為在已知兩分量測量值的概率密度函數(shù)情況下，總動量為如何導出總動量的測量值的概率密度函數(shù)？如何導出總動量的測量值的概率密度函數(shù)？22xyzppp(,)xyzf pp( )g p是研究隨機變量函數(shù)的是研究隨機變量函數(shù)的p.d.f問題。問題。4/3/202217一維隨機變量的函數(shù)一維隨機變量的函數(shù)隨機變量的函數(shù)自身也是一個隨機變量。隨機變量的函數(shù)自身

13、也是一個隨機變量。假設假設 x 服從服從 p.d.f. f (x)，對于函數(shù)，對于函數(shù) a(x)，其，其p.d.f. g(a)為何？為何？()( )( )( )( )( ) ,( )()()( )( ( )dSx a dax adxx adadax ag a daf x dxdSaa adaxg a daf x dxf x dxdxg af x ada 在在內內的的 空空間間范范圍圍cos:與例如4/3/202218函數(shù)的逆不唯一情況函數(shù)的逆不唯一情況假如假如 a(x) 的逆不唯一，則函數(shù)的的逆不唯一，則函數(shù)的 p.d.f. 應將應將 dS 中對應于中對應于 da 的所有的所有 dx 的區(qū)間包

14、括進來的區(qū)間包括進來2:, , 2( )( ),22()()( )22dSdaaxxadxag a daf x dxdadadSaaaaaafafag aaa 例例如如4/3/202219多維隨機變量的函數(shù)多維隨機變量的函數(shù)考慮隨機矢量考慮隨機矢量 與函數(shù)與函數(shù) ，對應的，對應的 p.d.f.),.,(1nxxx )(xa11()(,.,).( )( )nndSg a daf xx dxdxdSa xaa xadax 在在與與定定義義的的曲曲面面空空間間范范圍圍如果兩個獨立變量如果兩個獨立變量 x 與與 y，分別按，分別按 g(x) 與與 h(y)分布，那么分布，那么函數(shù)函數(shù) z = xy 應

15、具有何種形式？應具有何種形式？( , )( ) ( )f x yg x h y ()/| |/| |( )( , )( ) ( )( )( )dSdSz dzxz xf z dzf x y dxdyg x h y dxdyg x dxh y dy 多維隨機變量的函數(shù)多維隨機變量的函數(shù)(續(xù)一續(xù)一)4/3/202220( )( ) ()() ( )|zdxzdyf zg x hgh yxxyyfgh 記作記作 g 與與 h 的的Mellin卷積卷積如果函數(shù)為如果函數(shù)為 z = x+y ，則應具有何種形式？，則應具有何種形式？( )( ) ()() ( )f zg x h zx dxg zy h y

16、 dy fgh 記作記作 g 與與 h 的傅立葉卷積的傅立葉卷積注意：通常將兩者皆稱為注意：通常將兩者皆稱為 g 與與 h 的卷積的卷積，已相同記號表示。，已相同記號表示。4/3/202221多維隨機變量的函數(shù)多維隨機變量的函數(shù)(續(xù)二續(xù)二)考慮具有聯(lián)合的考慮具有聯(lián)合的 p.d.f. 的隨機矢量的隨機矢量 ，構造，構造 個線性獨立的函數(shù)：個線性獨立的函數(shù)： ，而且其逆，而且其逆函數(shù)函數(shù) 存在。那么存在。那么 的聯(lián)合的聯(lián)合 p.d.f. 為為1(,.,)nxxx n1( )( ),.,( )na xaxax 1( ),.,( )nx ax a a ( )( )g aJ f x 這里這里 是雅可比行

17、列式是雅可比行列式J1111222212nnnnxxxaaaxxxaaaJxa 任意一個函數(shù)任意一個函數(shù)均可通過對函數(shù)均可通過對函數(shù)積分掉其它不用的變積分掉其它不用的變量而得到。是數(shù)據(jù)處量而得到。是數(shù)據(jù)處理中誤差傳遞的基礎。理中誤差傳遞的基礎。()iig a( )g a 4/3/202222期待值期待值考慮具有考慮具有 p.d.f. 的隨機變量的隨機變量 ，定義，定義期待期待(平均平均)值為值為 )(xfxdxxfxxE)(注意注意: 它不是它不是 的函數(shù)，而是的函數(shù)，而是 的一個參數(shù)。的一個參數(shù)。x)(xf通常記為：通常記為：xE對對離散型離散型變量，有變量，有niiixPxxE1)(對具有

18、對具有 p.d.f. 的函數(shù)的函數(shù) ，有，有)(xy)(ygdxxfxydyyygyE)()()(方差方差定義為定義為222)(xExExExV通常記為：通常記為：2xV標準偏差標準偏差：24/3/202223協(xié)方差與相關系數(shù)協(xié)方差與相關系數(shù)定義定義協(xié)方差協(xié)方差 (也可用矩陣表示也可用矩陣表示 )為為 ,covyxxyVyxyxxyEyxEyx)(,cov相關系數(shù)相關系數(shù)定義為定義為 11 ,covxyyxxyyx如果如果 x，y 獨立，即獨立，即 )()(),(yfxfyxfyx則則 0,covyx4/3/202224舉例：樣本平均值舉例：樣本平均值假設實驗上研究一核素衰變壽命，在探測效率為

19、100%的情況下，每次探測到的壽命為 ti，一共測量了 n 次，求平均壽命（也就是壽命的期待值）。根據(jù)離散型期待值的定義1 ( )niiiE tt P t問題的關鍵是 ti 的概率密度函數(shù)是什么？根據(jù)概率的相對頻率定義，在 n 次測量中出現(xiàn) ti 頻率為一次1( )iP tn因此，期待值（或平均壽命）為1111 nniiiiE tttnn思考：如果頻率為 mi 次，結果會不同嗎？4/3/202225誤差傳遞誤差傳遞),.,(1nxxx 假設假設 服從某一聯(lián)合服從某一聯(lián)合 p.d.f. ，我們也許并不，我們也許并不全部知道該函數(shù)形式全部知道該函數(shù)形式 ，但假設我們有協(xié)方差，但假設我們有協(xié)方差)(

20、xf,covjiijxxV 和平均值和平均值 xE現(xiàn)考慮一函數(shù)現(xiàn)考慮一函數(shù) ，方差，方差 是什么？是什么？ )(xy22)(yEyEyV將將 在在 附近按附近按泰勒展開泰勒展開到第一級到第一級)(xy)()()(1iixniixxyyxy然后，計算然后，計算 與與 yE2yE4/3/202226誤差傳遞誤差傳遞(續(xù)一續(xù)一)由于由于0iixE所以利用泰勒展開式可求所以利用泰勒展開式可求)()(yxyEijxnjijinjjjxjniiixiiixniiVxyxyyxxyxxyExExyyyxyE1,211122)()()()(2)()(4/3/202227誤差傳遞誤差傳遞(續(xù)二續(xù)二)兩項合起來給

21、出兩項合起來給出 的方差的方差)(xy2,1 nyiji jijxyyV yVxx如果如果 之間是無關的，則之間是無關的，則 ，那么上式變?yōu)椋敲瓷鲜阶優(yōu)閕xijiijV22221 nyiiixyV yx類似地，對于類似地，對于 組函數(shù)組函數(shù)m)(),.,()(1xyxyxym4/3/202228誤差傳遞誤差傳遞(續(xù)三續(xù)三)ijxnjijliklkklVxyxyyyU1,cov或者記為矩陣形式或者記為矩陣形式xjiijTxyAAVAU ,)(xy注意：上式只對注意：上式只對 為線性時是精確的，近似程度在函數(shù)非為線性時是精確的，近似程度在函數(shù)非線性區(qū)變化比線性區(qū)變化比 要大時遭到很大的破壞。另外

22、，上式并不需要大時遭到很大的破壞。另外，上式并不需要知道要知道 的的 p.d.f. 具體形式，例如，它可以不是高斯的。具體形式，例如，它可以不是高斯的。iix4/3/202229誤差傳遞的一些特殊情況誤差傳遞的一些特殊情況,cov2212221221xxxxyy2121222221212221,cov2xxxxxxyxxyy注意在相關的情況下，最終的誤差會有很大的改變，例如當注意在相關的情況下，最終的誤差會有很大的改變，例如當1 ,10 ,212121xxy0 , 0211 , 0 :14 . 1 , 211 , 0 :022212221yyyVyEyVyE這種特征有時候是有益的：將公共的或難

23、以估計的誤差，這種特征有時候是有益的：將公共的或難以估計的誤差，通過適當?shù)臄?shù)學處理將它們消掉，達到減小誤差的目的。通過適當?shù)臄?shù)學處理將它們消掉，達到減小誤差的目的。4/3/202230坐標變換下的誤差矩陣坐標變換下的誤差矩陣實驗上經常通過測量粒子在探測器中各點的擊中坐標實驗上經常通過測量粒子在探測器中各點的擊中坐標（x, y）來擬合在極坐標下的徑跡來擬合在極坐標下的徑跡（r, ）。通常情況下，。通常情況下， （x, y）的的測量是不關聯(lián)的。測量是不關聯(lián)的。222tan/rxyy x ( , )( , )TU rAV x y A 由于由于因此，坐標變換后的誤差矩陣為因此，坐標變換后的誤差矩陣為2

24、222222222222222222222()0cov( , )101cov( , )()()xyyxxryyxxyxyxyxyxyrrrrrryxyxrxyryxrrrrrr 4/3/202231大亞灣反應堆中微子實驗大亞灣反應堆中微子實驗4/3/2022321r2r1S2S反應堆中微子反應堆中微子反應堆能產生大量反電子型中微子3 GW 熱功率反應堆206 10個反電子中微子/秒中微子幾乎無損穿透物質假設產生的中微子以球面波傳播，那么在任一地方任一給定面元的中微子流強為24rSIIrenpe 4/3/202233大亞灣中微子振蕩大亞灣中微子振蕩中微子振蕩中微子在運動過程中自己不斷改變形態(tài)測量

25、中微子形態(tài)隨運動距離的改變1214rSIIr2224rSIIr中微子形態(tài)隨運動距離的改變理論預言2132()4(,sin)4reeSII PrSIfmr 截面效率4/3/202234如何保證如何保證1%精度？精度？測量中微子振蕩的影響2112rIII方案 ：方案 ：那一種方案更易實現(xiàn)那一種方案更易實現(xiàn)1%精度的測量？為什么？精度的測量？為什么？132(,sin)4rSIIfmr 截面效率4/3/202235不同坐標系下相關性的變化不同坐標系下相關性的變化通過轉動坐標，隨機變量的相關性會發(fā)生改變。通過轉動坐標，隨機變量的相關性會發(fā)生改變。xyx y 顯然，通過將坐標系轉動顯然，通過將坐標系轉動

26、450，上面的相關性在新坐標系下，上面的相關性在新坐標系下消失。消失。隨機變量作正則變換去除相關性隨機變量作正則變換去除相關性4/3/202236對應的協(xié)方差矩陣為對應的協(xié)方差矩陣為11,1,1cov,cov,cov,ijijnnikkjllkknikjlklk lnTikklljk lUyyA xA xA AxxA V A ,1cov,klklnkliji jijxUyyyyVxx 非線性情況非線性情況1niijjjyA x 假設有假設有 n 個隨機變量個隨機變量 x1,xn 以及協(xié)方差矩陣以及協(xié)方差矩陣Vij=covxi, xj，可以證明有可能通過可以證明有可能通過線性變換線性變換重新定義重新定義 n 個新的變量個新的變量 y1,yn 使得對應的協(xié)方差矩陣使得對應的協(xié)方差矩陣Uij=covyi, yj非對角元為零。令非對角元為零。令4/3/202237變換后的變量協(xié)方差矩陣對角化變換后的變量協(xié)方差矩陣對角化為了使協(xié)方差矩陣為了使協(xié)方差矩陣 U 對角化對角化TUAVA iiiiikl li kVrrV rr 或或由于協(xié)方差矩陣總是對稱的，因此可知本征矢量是正交的由于協(xié)方差矩陣總是對稱的，因