1、八年級數(shù)學競賽例題雙曲線專題講解專題 11 雙曲線閱讀與思考形如的函數(shù)叫做反比例函數(shù)，這也是現(xiàn)實生活中普遍使 用的模型，如通過改變電阻來控制電流的變化，從而使舞臺 的燈光達到變幻的效果； 又如過濕地時，在地面上鋪上木板， 人對地面的壓強減小，從而使人不陷入泥中.反比例函數(shù)的基本性質(zhì)有：反比例函數(shù)圖象是由兩條曲線組成的雙曲線，雙曲線向坐標軸無限延伸，但不能與坐標軸相交；的正負性，決定雙曲線大致位置及 y 隨 x 的變化情況；雙曲線上的點是關(guān)于中心對稱的，雙曲線也是軸對稱圖 形，對稱軸是直線及.反比例函數(shù)與一次函數(shù)有著內(nèi)在的聯(lián)系.如在作圖時都要經(jīng)歷列表、描點、連線的過程；研究它們的性質(zhì)時，都是 通

2、過幾個具體的函數(shù)歸納出一般的規(guī)律，但它們畢竟不同.反比例函數(shù)中的幾何意義是：等于雙曲線上任意一點作x 軸、y 軸的垂線所得的矩形的面積，如圖：求兩個函數(shù)圖象的交點坐標，常通過解由這兩個函數(shù)解 析式組成的方程組得到.求符合某種條件的點的坐標，常根據(jù)問題的數(shù)量關(guān)系和 幾何元素間的關(guān)系建立關(guān)于橫縱坐標的方程，解方程求得相 關(guān)點的坐標.解反比例函數(shù)有關(guān)問題時，應(yīng)充分考慮它的對稱性，這 樣既能從整體上思考問題，又能提高思維的周密性反比例函數(shù)是描述變量之間相互關(guān)系的重要數(shù)學模型 之一，用反比例函數(shù)解決實際問題，既要分析問題情景，建 立模型，又要綜合方程、一次函數(shù)等知識.例題與求解【例 1】如圖，已知雙曲線

3、經(jīng)過矩形oABc 邊 AB 的中點F 且交 Bc 于點 E，四邊形 oEBF 的面積為 2,則.如圖， P1oA1, P2A1A2 都是等腰直角三角形， 點 P1,P2 在函數(shù)的圖象上，斜邊 oA1，A1A2 都在 x 軸上，則點 A2 的坐標是.解題思路：對于，通過連線，把相關(guān)圖形的面積用表示；對于，設(shè)，把 A，c 兩點坐標用 a，b 表示.【例 21如圖，P 是函數(shù)圖象上一點，直線交 x 軸于點 A, 交y 軸于點 B, P 丄 x 軸于，交 AB 于 E, PN y 軸于 N,交 AB 于 F,則的值為.解題思路：設(shè)，把 AF, BE 用 a, b 的式子表示.【例 31如圖，已知直線與

4、雙曲線交于A、B 兩點，且點A 的橫坐標為 4.求的值；若雙曲線上一點 c 的縱坐標為 8,求厶 Aoc 的面積； 過原點 o的另一條直線 I 交于 P、Q 兩點，若由點AB、 P、Q 為頂點組成的四邊形面積為 24,求點 P 的坐標.解題思路：對于，有下列不同的解法：圖 1 圖 2 圖 3對于，需要思考的是，四邊形 APBQ 的形狀，P 點與 A 點 有怎樣的位置關(guān)系.【例 4】已知反比例函數(shù)和一次函數(shù)，其中一次函數(shù)的 圖象經(jīng)過，兩點.求反比例函數(shù)的解析式；如圖，已知 A 點在象限且同時在上述兩個函數(shù)的圖象上，求 A點坐標；利用的結(jié)果，請問：在 x 軸上是否存在點卩，使厶 AoP 為等腰三角

5、形？若存在，把符合條件的P 點坐標都求出來；若不存在，請說明理由.解題思路：對于，應(yīng)分類討論，并注意A 點坐標隱含的信息.【例 5】一次函數(shù)的圖象分別與 x 軸、y 軸交于點、N, 與反比例函數(shù)的圖象相交于點 A、B,過點 A 分別作 Ac 丄 x 軸， AE 丄 y軸，垂足分別為 c, E;過點 B 分別作 BF 丄 x 軸，BD 丄 y 軸，垂足分別為 F, D, Ac 與 BD 交于點，連接 cD.若點 A, B 在反比例函數(shù)的圖象的同一分支上，如圖1,試證明：1；.若點 A，B 分別在反比例函數(shù)的圖象的不同分支上，女口圖 2,則 AN 與 B 還相等嗎？試證明你的結(jié)論.圖 1 圖 2解

6、題思路：對于，通過連線證明面積相等，進而可證ABIIDe,貝 U 四邊形 ANDc DeB 為平行四邊形；方法同.例 5 的拓展變化：如圖，點，N 在反比例函數(shù)的圖象上，過點作E 丄 x 軸，過點 N 作 NF 丄 y 軸，垂足分別為 E、F,則 N/ EF.【例 6】點，與點 e 構(gòu)成邊長是 3, 4, 5 的直角三角形， 如果點 e 在反比例函數(shù)的圖象上，求可能取的一切值.解題思路： 本題是與反比例函數(shù)相關(guān)的綜合題， 運用了 代數(shù)化、勾股定理、消元降次、分類討論等思想方法.能力訓練A 級已知是反比例函數(shù)，貝 U .若反比例函數(shù)的圖象位于第二、四象限，則滿足條件的 正整數(shù)的值是.已知雙曲線經(jīng)

7、過點，如果，兩點在該雙曲線上，且，那已知函數(shù)的圖象上有三點，貝 y,的大小關(guān)系是.如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)相交于A,B兩點，則圖中使反比例函數(shù)的值小于一次函數(shù)的值的x 的取值范圍是.如圖，B 為雙曲線上一點，直線 AB 平行于 y 軸交直線于 點 A，若，則.如圖，直線與雙曲線交于 A、B 兩點，過點 A 作 A 丄 x 軸 于點，連接 B,若，則的值是A.2B.C.D.4如圖，反比例函數(shù)的圖象與直線的交點為 A、B,過 A 作 y 軸的平行線與過 B 作 x 軸的平行線相交于點 c,則厶 ABc 的 面積為A.8B.6C.4D.2函數(shù)與在同一坐標系中的圖象可能是0.如圖，Rt ABo 的頂

8、點 A 是雙曲線與直線在第四象限 的交點，AB 丄 x 軸于 B,且.求這兩個函數(shù)的解析式；求直線與雙曲線的兩個交點 A,c 的坐標和厶 Aoc 的面積.1.如圖，在平面直角坐標系中，直線AB 與 y 軸、x 軸分別交于點 A、點 B,與反比例函數(shù)在象限的圖象交于點、， 過 c 點作cE 丄 y 軸于 E,過點 D 作 DF 丄 x 軸于 F.求，n 的值；求直線 AB 的函數(shù)解析式；求證： AEZADFB.如圖所示，已知雙曲線的圖象上有兩點，且，分別過， 向 x軸作垂線，垂足為 B，D,過，向 y 軸作垂線，垂足分別 為 A，c.若記四邊形和四邊形的面積分別為，周長分別為，試比較和，和的大小

9、；若 P 是雙曲線上一點，分別過 P 向 x 軸、y 軸作垂線， 垂足分別為，N.試問當 P 在何處時四邊形 PoN 的周長最小， 最小值為多少？B 級已知，且與成反比例，與成反比例 .且當時，；當時，. 當時，.直線與雙曲線交于，兩點，則.如圖，過原點的直線與反比例函數(shù)的圖象交于點 A，c， 自點A 和點 c 作 x 軸的垂線，垂足分別為 B 和 D,則四邊形 ABcD 的面積等于.已知函數(shù)的圖象與 x 軸、y 軸分別交于點 c，B，與雙曲 線交于點 A，D，若，則的值為.兩個反比例函數(shù)和在象限內(nèi)的圖象如圖所示，點P 在的圖象上，Pc 丄 x 軸于點 c，交的圖象于點 A，PD 丄 y 軸于

10、點 D, 交的圖象于點 B，當點 P 在的圖象上運動時，有以下結(jié)論：厶 oDB 與厶 ocA 的面積相等；2四邊形 PAoB 的面積不會發(fā)生變化；3PA 與 PB 始終相等；4當點 A 是 Pc 的中點時，點 B 一定是 PD 的中點.其中一定正確的是.如圖，正方形 oABc, ADEF 的頂點 A D, c 在坐標軸上， 點 F在 AB 上，點 B，E 在函數(shù)的圖象上，則點E 的坐標是A.B.c.D.如圖，兩個反比例函數(shù)和在象限內(nèi)的圖象依次是曲線和，設(shè) P 點在上，PE 丄 x 軸于點 E,交于點 A, PDL y 軸于點 D 交于點 B,貝 U 四邊形 PAoB 的面積為A.B.c.D.等

11、腰直角三角形 ABc 位于象限，直角頂點 A 在直線上， 其中 A 點的橫坐標為 1,且兩條直角邊 AB Ac 分別平行于 x 軸、y 軸，若雙曲線與 ABc 有交點，則的取值范圍是A.B.c.D.如圖，正方形 oABc 的面積為 9,點 o 為坐標原點，點 A 在 x軸上，點 c 在 y 軸上，點 B 在函數(shù)的圖象上，點是函數(shù) 的圖象上的任意一點，過點P 分別作 x 軸、y 軸的垂線，垂足分別為 E, F,并設(shè)矩形 oEPF 和正方形 oABc 不重合部分的 面積為 S.求 B 點坐標和的值；當時，求點 P 的坐標；寫出 S 關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式.0.如圖，已知直線交 x 軸于 A,交 y 軸于 B, P 為反比例 函數(shù)上一點，過 P 作 x 軸平行線交直線 I 于 E，過 P 作 y 軸 平行線交直線I 于 F.求的值.11.已知一次函數(shù)與反比例函數(shù) 的圖象交于點，.求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；求厶 oN 的面積.已知直角坐標系內(nèi)有一條直線和一條曲線，這條直線和 x 軸，y 軸分別交于點 A 和點 B，且.這條曲線是函數(shù)的圖象 在象限內(nèi)的一個分支，點 P 是這條曲線上任意一點，它的坐 標是，由點 P 向 x軸、y 軸作垂線 P，PN 分別與直線