1、38綜合知識講解目錄1.1初中數(shù)學的特點.1.2怎么學習初中數(shù)學.1.3如何去聽課.1.4幾點建議.第二章應知應會知識點.2.1代數(shù)篇.2.2幾何篇.第三章 例題講解.第四章 興趣練習.4.1代數(shù)部分.384.2幾何部分.第五章復習提綱.第一章緒 論I.1 初中數(shù)學的特點1._2._3._4._5._6._7. _8._9._10._II._12._13._14._15._16._1.2怎么學習初中數(shù)學1，培養(yǎng)良好的學習興趣。兩千多年前孔子說過：“知之者不如好之者，好之者不如樂之者?！币馑颊f，干一件 事，知道它，了解它不如愛好它，愛好它不如樂在其中?！昂谩焙汀皹贰本褪窃敢鈱W，喜 歡學，這就是興

2、趣。興趣是最好的老師，有興趣才能產(chǎn)生愛好，愛好它就要去實踐它，達 到樂在其中，有興趣才會形成學習的主動性和積極性。在數(shù)學學習中，我們把這種從自發(fā) 的感性的樂趣出發(fā)上升為自覺的理性的“認識”過程，這自然會變?yōu)榱⒅緦W好數(shù)學，成為 數(shù)學學習的成功者。那么如何才能建立好的學習數(shù)學興趣呢？（1） 課前預習，對所學知識產(chǎn)生疑問，產(chǎn)生好奇心。（2） 聽課中要配合老師講課，滿足感官的興奮性。聽課中重點解決預習中疑問，把老 師課堂的提問、停頓、教具和模型的演示都視為欣賞音樂，及時回答老師課堂提問，培養(yǎng) 思考與老師同步性，提高精神，把老師對你的提問的評價，變?yōu)楸薏邔W習的動力。（3） 思考問題注意歸納，挖掘你學習的

3、潛力。（4）聽課中注意老師講解時的數(shù)學思想，多問為什么要這樣思考，這樣的方法怎樣是產(chǎn)生的?5）把概念回歸自然。所有學科都是從實際問題中產(chǎn)生歸納的，數(shù)學概念也回歸于現(xiàn)實生活，如角的概念、直角坐標系的產(chǎn)生都是從實際生活中抽象出來的。只有回歸現(xiàn)實才能對概念的理解切實可 * ，在應用概念判斷、推理時會準確。2，建立良好的學習數(shù)學習慣。習慣是經(jīng)過重復練習而鞏固下來的穩(wěn)重持久的條件反射和自然需要。建立良好的學習 數(shù)學習慣，會使自己學習感到有序而輕松。高中數(shù)學的良好習慣應是：多質(zhì)疑、勤思考、 好動手、重歸納、注意應用。良好的學習數(shù)學習慣還包括課前自學、專心上課、及時復 習、獨立作業(yè)、解決疑難、系統(tǒng)小結和課外

4、學習幾個方面。學生在學習數(shù)學的過程中，要 把教師所傳授的知識翻譯成為自己的特殊語言，并永久記憶在自己的腦海中。另外還要保 證每天有一定的自學時間，以便加寬知識面和培養(yǎng)自己再學習能力。3，有意識培養(yǎng)自己的各方面能力 。數(shù)學能力包括：邏輯推理能力、抽象思維能力、計算能力、空間想象能力和分析解決 問題能力共五大能力。這些能力是在不同的數(shù)學學習環(huán)境中得到培養(yǎng)的。在平時學習中要 注意開發(fā)不同的學習場所，參與一切有益的學習實踐活動，如數(shù)學第二課堂、數(shù)學競賽、 智力競賽等活動。平時注意觀察，比如，空間想象能力是通過實例凈化思維，把空間中的 實體高度抽象在大腦中，并在大腦中進行分析推理。其它能力的培養(yǎng)都必須學

5、習、理解、 訓練、應用中得到發(fā)展。特別是，教師為了培養(yǎng)這些能力，會精心設計“智力課”和“智 力問題”比如對習題的解答時的一題多解、舉一反三的訓練歸類，應用模型、電腦等多媒 體教學等，都是為數(shù)學能力的培養(yǎng)開設的好課型，在這些課型中，學生務必要用全身心投 入、全方位智力參與，最終達到自己各方面能力的全面發(fā)展4、及時了解、掌握常用的數(shù)學思想和方法。學好初中數(shù)學，需要我們從數(shù)學思想與方法高度來掌握它。中學數(shù)學學習要重點掌握 的的數(shù)學思想有以上幾個：集合與對應思想，分類討論思想，數(shù)形結合思想，運動思想， 轉(zhuǎn)化思想，變換思想。有了數(shù)學思想以后，還要掌握具體的方法，比如：換元、待定系 數(shù)、數(shù)學歸納法、分析法

6、、綜合法、反證法等等。在具體的方法中，常用的有：觀察與實 驗，聯(lián)想與類比，比較與分類，分析與綜合，歸納與演繹，一般與特殊，有限與無限，抽 象與概括等。解數(shù)學題時，也要注意解題思維策略問題，經(jīng)常要思考：選擇什么角度來進入，應遵 循什么原則性的東西。高中數(shù)學中經(jīng)常用到的數(shù)學思維策略有：以簡馭繁、數(shù)形結合、進 退互用、化生為熟、正難則反、倒順相還、動靜轉(zhuǎn)換、分合相輔等。5、逐步形成“以我為主”的學習模式。數(shù)學不是老師教會的，而是在老師的引導下，自己主動的思維活動去獲取的。學習數(shù) 學就要積極主動地參與學習過程，養(yǎng)成實事求是的科學態(tài)度，獨立思考、勇于探索的創(chuàng)新 精神；正確對待學習中的困難和挫折，敗不餒，

7、勝不驕，養(yǎng)成積極進取，不屈不撓，耐挫 折的優(yōu)良心理品質(zhì)；在學習過程中，要遵循認識規(guī)律，善于開動腦筋，積極主動去發(fā)現(xiàn)問 題，注重新舊知識間的內(nèi)在聯(lián)系，不滿足于現(xiàn)成的思路和結論，經(jīng)常進行一題多解，一題 多變，從多側(cè)面、多角度思考問題，挖掘問題的實質(zhì)。學習數(shù)學一定要講究“活”，只看 書不做題不行，只埋頭做題不總結積累也不行。對課本知識既要能鉆進去，又要能跳出 來，結合自身特點，尋找最佳學習方法。6、針對自己的學習情況，采取一些具體的措施。記數(shù)學筆記，特別是對概念理解的不同側(cè)面和數(shù)學規(guī)律，教師在課堂中擴展的課外知 識。記錄下來本章你覺得最有價值的思想方法或例題，以及你還存在的未解決的問題，以 便今后將

8、其補上。建立數(shù)學糾錯本。把平時容易出現(xiàn)錯誤的知識或推理記載下來，以防再犯。爭取做 到：找錯、析錯、改錯、防錯。達到：能從反面入手深入理解正確東西；能由果朔因把錯 誤原因弄個水落石出、以便對癥下藥；解答問題完整、推理嚴密。1.3如何去聽課認真聽好每一節(jié)棵。要上好每一節(jié)課，數(shù)學課有知識的發(fā)生和形成的概念課，有解題思路探索和規(guī)律總結 的習題課，有數(shù)學思想方法提煉和聯(lián)系實際的復習課。要上好這些課來學會數(shù)學知識，掌 握學習數(shù)學的方法。概念課要重視教學過程，要積極體驗知識產(chǎn)生、發(fā)展的過程，要把知識的來龍去脈搞清楚， 認識知識發(fā)生的過程，理解公式、定理、法則的推導過程，改變死記硬背的方法，這樣我 們就能從知

9、識形成、發(fā)展過程當中，理解到學會它的樂趣；在解決問題的過程中，體會到 成功的喜悅。習題課要掌握“聽一遍不如看一遍， 看一遍不如做一遍， 做一遍不如講一遍， 講一遍不如辯 一辯”的訣竅。除了聽老師講，看老師做以外，要自己多做習題，而且要把自己的體會主 動、大膽地講給大家聽，遇到問題要和同學、老師辯一辯，堅持真理，改正錯誤。在聽課 時要注意老師展示的解題思維過程，要多思考、多探究、多嘗試，發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造性的證法及解 法，學會“小題大做”和“大題小做”的解題方法，即對選擇題、填空題一類的客觀題要 認真對待絕不粗心大意，就像對待大題目一樣，做到下筆如有神；對綜合題這樣的大題目 不妨把“大”拆“小”，以“退”

10、為“進”，也就是把一個比較復雜的問題，拆成或退為 最簡單、最原始的問題，把這些小題、簡單問題想通、想透，找出規(guī)律，然后再來一個飛 躍，進一步升華，就能湊成一個大題，即退中求進了。如果有了這種分解、綜合的能力， 加上有扎實的基本功還有什么題目難得倒我們。復習課在數(shù)學學習過程中，要有一個清醒的復習意識，逐漸養(yǎng)成良好的復習習慣，從而逐步 學會學習。數(shù)學復習應是一個反思性學習過程。要反思對所學習的知識、技能有沒有達到 課程所要求的程度；要反思學習中涉及到了哪些數(shù)學思想方法，這些數(shù)學思想方法是如何 運用的，運用過程中有什么特點；要反思基本問題 （ 包括基本圖形、圖像等 ） ，典型問題有 沒有真正弄懂弄通

11、了，平時碰到的問題中有哪些問題可歸結為這些基本問題；要反思自己 的錯誤，找出產(chǎn)生錯誤的原因，訂出改正的措施。在新學期大家準備一本數(shù)學學習“病例 卡”，把平時犯的錯誤記下來，找出“病因”開出“處方”，并且經(jīng)常拿出來看看、想想 錯在哪里，為什么會錯，怎么改正，通過你的努力，到高考時你的數(shù)學就沒有什么“病 例”了。并且數(shù)學復習應在數(shù)學知識的運用過程中進行，通過運用，達到深化理解、發(fā)展 能力的目的，因此在新的一年要在教師的指導下做一定數(shù)量的數(shù)學習題，做到舉一反三、 熟練應用，避免以“練”代“復”的題海戰(zhàn)術1.4幾點建議1、記數(shù)學筆記，特別是對概念理解的不同側(cè)面和數(shù)學規(guī)律，教師為備戰(zhàn)高考而加的 課外知識

12、。如：我在講課時的注解。2、建立數(shù)學糾錯本。把平時容易出現(xiàn)錯誤的知識或推理記載下來，以防再犯。爭取 做到：找錯、析錯、改錯、防錯。達到：能從反面入手深入理解正確東西；能由果朔因把 錯誤原因弄個水落石出、以便對癥下藥；解答問題完整、推理嚴密。3、記憶數(shù)學規(guī)律和數(shù)學小結論。4、與同學建立好關系，爭做“小老師”，形成數(shù)學學習“互助組”。5、爭做數(shù)學課外題，加大自學力度。6、反復鞏固，消滅前學后忘。7、學會總結歸類。從數(shù)學思想分類從解題方法歸類從知識應用上分類?？傊瑢Τ踔猩鷣碚f，學好數(shù)學，首先要抱著濃厚的興趣去學習數(shù)學，積極展開思維的翅 膀，主動地參與教育全過程，充分發(fā)揮自己的主觀能動性，愉快有效地

13、學數(shù)學。其次要掌握正確的學習方法。鍛煉自己學數(shù)學的能力，轉(zhuǎn)變學習方式，要改變單純接受的 學習方式，要學會采用接受學習與探究學習、合作學習、體驗學習等多樣化的方式進行學 習，要在教師的指導下逐步學會“提出問題實驗探究開展討論形成新知應用反 思”的學習方法。這樣，通過學習方式由單一到多樣的轉(zhuǎn)變，我們在學習活動中的自主 性、探索性、合作性就能夠得到加強，成為學習的主人。第二章 應知應會知識點2.1 代數(shù)篇一 數(shù)與式（一）有理數(shù)1有理數(shù)的分類2數(shù)軸的定義與應用3相反數(shù)4倒數(shù)5絕對值6有理數(shù)的大小比較7有理數(shù)的運算（二）實數(shù)8實數(shù)的分類9實數(shù)的運算10科學記數(shù)法11近似數(shù)與有效數(shù)字12平方根與算術根和立

14、方根13非負數(shù)14零指數(shù)次冪 負指數(shù)次冪（三）代數(shù)式15代數(shù)式 代數(shù)式的值16列代數(shù)式（四）整式17整式的分類18整式的加減 乘除的運算19冪的有關運算性質(zhì)20乘法公式21因式分解（五）分式22分式的定義23分式的基本性質(zhì)24分式的運算六）二次根式25二次根式的意義26根式的基本性質(zhì)27根式的運算二 方程和不等式（一）一元一次方程28方程 方程的解的有關定義29一元一 次的定義30一元一次方程的解法31列方程解應用題的一般步驟（二）二元一次方程32二元一次方程的定義33二元一次方程組的定義34二元一次方程組的解法（代入法消元法35二元一次方程組的應用加減消元法）（三）一元二次方程36一元二次方

15、程的定義37一元二次方程的解法（配方法 因式分解法 公式法38一元二次方程根與系數(shù)的關系和根的判別式39一元二次方程的應用（四）分式方程40分式方程的定義41分式方程的解法（轉(zhuǎn)化為整式方程 檢驗）42分式方程的增根的定義43分式方程的應用（五）不等式和不等式組44不等式（組）的有關定義45不等式的基本性質(zhì)46一元一次不等式的解法47一元一次不等式組的解法48一元一次不等式（組）的應用十字相乘法）函數(shù)(一)位置的確定與平面直角坐標系49位置的確定50坐標變換51平面直角坐標系內(nèi)點的特征52平面直角坐標系內(nèi)點坐標的符號與點的象限位置53 對稱問題：P(x,y)fQ(x,-y )關于 x 軸對稱P(

16、x,y)fQ(-x,y)關于 y 軸對稱P(x,y)fQ(-x,-y) 關于原點對稱54變量 自變量 因變量 函數(shù)的定義55函數(shù)自變量 因變量的取值范圍(使式子有意義的條件56函數(shù)的圖象：變量的變化趨勢描述(二)一次函數(shù)與正比例函數(shù)57一次函數(shù)的定義與正比例函數(shù)的定義58一次函數(shù)的圖象：直線，畫法59一次函數(shù)的性質(zhì)(增減性)圖象法)60一次函數(shù) y=kx+b(k 工 0)中 k b 符號與圖象位置61待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式（一設二列三解四回）62一次函數(shù)的平移問題63一次函數(shù)與一元一次方程 一元一次不等式 二元一次方程的關系（圖象法）64一次函數(shù)的實際應用65一次函數(shù)的綜合應用（1）一次

17、函數(shù)與方程綜合（2）一次函數(shù)與其它函數(shù)綜合（3）一次函數(shù)與不等式的綜合（4）一次函數(shù)與幾何綜合（三）反比例函數(shù)66反比例函數(shù)的定義67反比例函數(shù)解析式的確定68反比例函數(shù)的圖象：雙曲線69反比例函數(shù)的性質(zhì)（增減性質(zhì)）70反比例函數(shù)的實際應用71反比例函數(shù)的綜合應用（四個方面 面積問題）四）二次函數(shù)72二次函數(shù)的定義73二次函數(shù)的三種表達式（一般式 頂點式 交點式）74二次函數(shù)解析式的確定（待定系數(shù)法）75二次函數(shù)的圖象：拋物線 畫法（五點法）76二次函數(shù)的性質(zhì)（增減性的描述以對稱軸為分界）77 二次函數(shù) y=ax2+bx+c（a 工 0）中 a b c 與特殊式子的符號與圖象位置關系78求二次

18、函數(shù)的頂點坐標 對稱軸 最值79二次函數(shù)的交點問題80二次函數(shù)的對稱問題81二次函數(shù)的最值問題（實際應用）82二次函數(shù)的平移問題83二次函數(shù)的實際應用84二次函數(shù)的綜合應用（1）二次函數(shù)與方程綜合2）二次函數(shù)與其它函數(shù)綜合3）二次函數(shù)與不等式的綜合（4）二次函數(shù)與幾何綜合2.2 幾何篇1過兩點有且只有一條直線2兩點之間線段最短3同角或等角的補角相等4同角或等角的余角相等5過一點有且只有一條直線和已知直線垂直6直線外一點與直線上各點連接的所有線段中 垂線段最短7經(jīng)過直線外一點 有且只有一條直線與這條直線平行8如果兩條直線都和第三條直線平行 這兩條直線也互相平行9同位角相等 兩直線平行10內(nèi)錯角相

19、等 兩直線平行11同旁內(nèi)角互補 兩直線行12兩直線平行 同位角相等13兩直線平行 內(nèi)錯角相等兩直線平行 同旁內(nèi)角互補三角形兩邊的和大于第三邊三角形兩邊的差小于第三邊 三角形三個內(nèi)角的和等 180 直角三角形的兩個銳角互余 三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和 三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角 全等三角形的對應邊 對應角相等 有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等(SAS) 有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等 (ASA) 有兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等 (AAS) 有三邊對應相等的兩個三角形全等 (SSS) 有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角

20、形全等 (HL) 在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等到一個角的兩邊的距離相同的點 在這個角的平分線上 角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合1415161718192021222324252627282930等腰三角形的性質(zhì)定理 等腰三角形的兩個底角相等31等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊32等腰三角形的頂角平分線 底邊上的中線和高互相重合33等邊三角形的各角都相等 并且每一個角都等于 6034等腰三角形的判定定理 如果一個三角形有兩個角相等 那么這兩個角所對的邊也 相等（等角對等邊 ）35三個角都相等的三角形是等邊三角形36有一個角等于 60的等腰三角形是等邊三角形

21、37在直角三角形中 如果一個銳角等于 30那么它所對的直角邊等于斜邊的一半38直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半39線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等40和一條線段兩個端點距離相等的點 在這條線段的垂直平分線上41線段的垂直平分線可看作和線段兩端點距離相等的所有點的集合42關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形43如果兩個圖形關于某直線對稱 那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線44兩個圖形關于某直線對稱 如果它們的對應線段或延長線相交 那么交點在對稱軸上如果兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂直平分 那么這兩個圖形關于這條直線對直角三角形兩直角邊 a b 的平方和 等于斜邊 c 的平

22、方 即 a+b=c 如果三角形的三邊長 a b c有關系 a+b=c 那么這個三角形是直角三角形 四邊形的內(nèi)角和等于 360四邊形的外角和等于 360多邊形內(nèi)角和定理 n 邊形的內(nèi)角的和等于（n-2）X180 任意多邊的外角和等于 360平行四邊形的對角相等平行四邊形的對邊相等 夾在兩條平行線間的平行線段相等平行四邊形的對角線互相平分兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形 兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形 對角線互相平分的四邊形是平行四邊形一組對邊平行相等的四邊形是平行四邊形45稱464748495051525354555657585960矩形的四個角都是直角61矩形的對角線相等62有三個角

23、是直角的四邊形是矩形63對角線相等的平行四邊形是矩形64菱形的四條邊都相等65菱形的對角線互相垂直 并且每一條對角線平分一組對角66 菱形面積二對角線乘積的一半即 S=(axb) - 267四邊都相等的四邊形是菱形68對角線互相垂直的平行四邊形是菱形69正方形的四個角都是直角四條邊都相等70正方形的兩條對角線相等并且互相垂直平分 每條對角線平分一組對角71關于中心對稱的兩個圖形是全等的72關于中心對稱的兩個圖形對稱點連線都經(jīng)過對稱中心 并且被對稱中心平分73如果兩個圖形的對應點連線都經(jīng)過某一點 并且被這一 點平分 那么這兩個圖形關于這一點對稱74等腰梯形在同一底上的兩個角相等75等腰梯形的兩條

24、對角線相等76在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形77對角線相等的梯形是等腰梯形78如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等 那么在其他直線上截得的線段也相等79經(jīng)過梯形一腰的中點與底平行的直線 必平分另一腰80經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線 必平分第三邊81三角形的中位線平行于第三邊 并且等于它的一半82梯形的中位線平行于兩底 并且等于兩底和的 一半L=(a+b) S=L_Xh83如果 a:b=c:d那么 ad=bc如果 ad=bc 那么 a:b=c:d84如果 a/b=c/d那么(a b)/b=(c d)/d85如果 a/b=c/d= =m/n(b+d+n0) 那么(a+c+ +

25、m)/(b+d+ +n )=a/b86三條平行線截兩條直線 所得的對應線段成比例87平行于三角形一邊的直線截其他兩邊 ( 或兩邊的延長線 ) 所得的對應線段成比例88如果一條直線截三角形的兩邊 ( 或兩邊的延長線 )所得的對應線段成比例 那么這條直 線平行于三角形的第三邊89平行于三角形的一邊 并且和其他兩邊相交的直線 所截得的三角形的三邊與原三角 形三邊對應成比例90平行于三角形一邊的直線和其他兩邊 ( 或兩邊的延長線 )相交 所構成的三角形與原三 角形相似91兩角對應相等 兩三角形相似 (ASA)92直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似93兩邊對應成比例且夾角相等 兩三

26、角形相似 (SAS)94三邊對應成比例 兩三角形相似 (SSS)95如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例 那么這兩個直角三角形相似96相似三角形對應高的比 對應中線的比與對應角平分線的比都等于相似比97相似三角形周長的比等于相似比98相似三角形面積的比等于相似比的平方99任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值 任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值100任意銳角的正切值等于它的余角的余切值 任意銳角的余切值等 于它的余角的正切值101圓是定點的距離等于定長的點的集合102圓的內(nèi)部可以看作是圓心的距離小于半徑的點的集合103圓的外部可以看作是圓心的距離大

27、于半徑的點的集合104同圓或等圓的半徑相等105到定點的距離等于定長的點的軌跡 是以定點為圓心 定長為半徑的圓106和已知線段兩個端點的距離相等的點的軌跡 是著條線段的垂直平分線107到已知角的兩邊距離相等的點的軌跡 是這個角的平分線108到兩條平行線距離相等的點的軌跡 是和這兩條平行線平行且距離相等的一條直線109不在同一直線上的三個點確定一條直線110垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對的兩條弧111平分弦 （不是直徑 ）的直徑垂直于弦 并且平分弦所對的兩條弧 弦的垂直平分線經(jīng)過圓心 并且平分弦所對的兩條弧 平分弦所對的一條弧的直徑 垂直平分弦 并且平分弦所對的另一條弧112圓的兩條平行

28、弦所夾的弧相等113圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形114在同圓或等圓中相等的圓心角所對的弧相等 所對的弦相等 所對的弦的弦心距相等115在同圓或等圓中如果兩個圓心角 兩條弧 兩條弦或兩弦的弦心距中有一組量相等那么它們所對應的其余各組量都相等116一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半117同弧或等弧所對的圓周角相等 ; 同圓或等圓中 相等的圓周角所對的弧也相等118半圓（ 或直徑）所對的圓周角是直角 ;90 的圓周角所對的弦是直徑119如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半 那么這個三角形是直角三角形120圓的內(nèi)接四邊形的對角互補 并且任何一個外角都等于它的內(nèi)對角121直線 L 和。O

29、相交 dvr2直線 L 和。O 相切 d=r3直線 L 和。O 相離 d r122經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線123圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑124經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點125經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心126從圓外一點引圓的兩條切線 它們的切線長相等 圓心和這一點的連線平分兩條切 線的夾角127圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等128弦切角等于它所夾的弧對的圓周角129如果兩個弦切角所夾的弧相等 那么這兩個弦切角也相等130圓內(nèi)的兩條相交弦 被交點分成的兩條線段長的積相等131如果弦與直徑垂直相交 那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項132

30、從圓外一點引圓的切線和割線 切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例 中項133從圓外一點引圓的兩條割線 這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等134如果兩個圓相切 那么切點一定在連心線上135兩圓外離 d R+r 兩圓外切 d=R+r兩圓相交 R-rvdr)兩圓內(nèi)切 d=R-r(R r) 兩圓內(nèi)含 dvR-r(R r)136相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦137把圓分成 n(n 3):依次連結各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正n 邊形經(jīng)過各分點作圓的切線以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n 邊形138任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓這兩個圓是同心圓139正

31、n 邊形的每個內(nèi)角都等于(n-2)X180 /n140 正 n 邊形的半徑和邊心距把正 n 邊形分成 2n 個全等的直角三角形141正 n 邊形的面積 Sn=pnrn/2 p 表示正 n 邊形的周長142正三角形面積V3a/4 a 表示邊長143 如果在一個頂點周圍有 k 個正 n 邊形的角由于這些角的和應為360 因此 kX(n-2)180 /n=360?；癁?n-2)(k-2)=4144弧長計算公式：L=nnR/180145扇形面積公式:S 扇形二nnR/360=LR/2146內(nèi)公切線長 = d-(R-r) 外公切線長 = d-(R+r)【例1】如圖 10,平行四邊形 ABCD 中，A 吐

32、 5, BO 10, BC 邊上的高 AM=4, E 為 BC 邊上的一個動點(不與 B、C 重合)過 E 作直線 AB 的垂線，垂足為 F. FE 與 DC 的延長線相交于點 G 連結DEDR(1)求證： BEFACEG(2)當點 E 在線段 BC 上運動時， BEF 和厶 CEG 勺周長之間有什么關系？并說明你的理由.(3)設 BE= x, DEF 的面積為 y,請你求出 y 和 x 之間的函數(shù)關系式，并求出當 x 為 何值時，y 有最大值，最大值是多少？所以B GCE , G BFE所以 BEF CEG(2)BEF與厶CEG的周長之和為定值.理由一：過點 C 作 FG 的平行線交直線 A

33、B 于 H,AVV*第二早例題講解因為 GFLAB,所以四邊形 FHC 助矩形所以 FHkCG FG= CH=3因此，BEF與厶CEG的周長之和等于 BC+ CH BH由 BC= 10, A 吐 5, AMk4,可得 CH= 8, BHk6,GCBFEF BE,5 BE, GE5所以， BEF 的周長是12BE,5又 BE+ CEk10,(3)設 BE= x,5CE,12 ECG勺周長是一CE5因此VBEF與VCEG的周長之和是 24.EF4x, GC53(10 x)51所以y -EFgDG1 432號迄(1x)56222x x 255配方得：y625552121(x孑E所以，當x55時，y

34、有最大值.10 分【例2】 如圖二次函數(shù) y = ax2+ bx+ c(a0)與坐標軸交于點 A B C 且 OAk1OB=OC2(1)求此二次函數(shù)的解析式.(2)寫出頂點坐標和對稱軸方程.(3)點MN 在 y= ax2+ bx+ c 的圖像上(點 N 在點 M 的右邊)且MN x軸 求以 MN為直徑且與 x 軸相切的圓的半徑.解析過程及每步分值(1 )依題意A( 1,0,B(3,0), C(0,3)分別代入y ax2bx c .解方程組得所求解析式為y x22x 3.2 2(2)y x 2x 3 (x 1)4.頂點坐標(1, 4)，對稱軸 x 1(3) 設圓半徑為r，當 MN 在x軸下方時，

35、N 點坐標為(1 r,r) 8 分圓的半徑為 衛(wèi) 或1衛(wèi) 10 分把 N 點代入y x22x 3得r1 717.2同理可得另一種情形r1*172【例 3】已知兩個關于X的二次函數(shù)yi與討2,Yia(x k)22(k 0),yx26x 12，當 x k 時，y 17;且二次函數(shù)y2的圖象的對稱軸是直線 x 1 .(1) 求 k 的值；(2) 求函數(shù)Y1，Y2的表達式；(3)在同一直角坐標系內(nèi)，問函數(shù) 的圖象與Y2的圖象是否有交點？請說明理由. 解析過程及每步分值(1)由Y1a(xk)22，Y1yx26x 12得y2(Y-iy2) y1x26x 12a(xk)22x26x 10 a(x k)2.又

36、因為當 x k 時，y217，即k26k 10 17，解得k11，或k27(舍去)，故 k 的值為 1 .(2)由 k 1，得Y2x26x 10 a(x 1)2所以函數(shù)Y2的圖象的對稱軸為x2a 6，2(1 a)于是，有亙61，解得 a 1，2(1 a)所以Y12 2x 2x 1，y22x 4x 11.(1 a)x2(2a 6)x 10 a，2(3)由yi(x 1)2，得函數(shù)yi的圖象為拋物線，其開口向下，頂點坐標為(1,2);由y 2x24x 11 2(x 1)29，得函數(shù)y的圖象為拋物線，其開口向上，頂點坐標為(1，);故在同一直角坐標系內(nèi)，函數(shù)y1的圖象與y2的圖象沒有交點.【例 4】如

37、圖,拋物線y x24x與 x 軸分別相交于點 B 0,它的頂點為 A,連接 AB,把 AB 所的直線沿 y 軸向上平移，使它經(jīng)過原點 0,得到直線 I,設 P 是直線 I 上一動點.(1) 求點 A 的坐標；(2) 以點AB O P 為頂點的四邊形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,請分別直接 寫出這些特殊四邊形的頂點 P 的坐標；(3)設以點 A、B、O P 為頂點的四邊形的面積為 S,點 P 的橫坐標為 x,當4 6.2 S 6 8-、2時,求 x 的取值范圍.解析過程及每步分值解：(1)Ty x24x (x 2)24-A(-2,-4)(2) 四邊形 ABPO 為菱形時，Pi(-2,4)24四

38、邊形 ABOP 為等腰梯形時，Pi(-,-)55四邊形 ABPO 為直角梯形時，Pi(4,8)5 5四邊形 ABOP 為直角梯形時，Pi(- ,2)55(3)由已知條件可求得 AB 所在直線的函數(shù)關系式是 y=-2x-8,所以直線 I 的函數(shù)關系式是y=-2x當點 P 在第二象限時，xvO,1 POB 的面積SPOB- 4 ( 2x) 4X2 AOB 勺面積SAOB 4 4 8,2二s SAOBsPOB4x 8(X 0)v4 6、.2 S 6 8、2,S 6 8.24x 8 4 6.24x 86 8、 一22 3.2x21 4 2 S2 x 的取值范圍是1 4、222 3.2x2當點 P 在第

39、四象限是，x0,過點 A、P 分別作 x 軸的垂線，垂足為 A、P則四邊形 POA A 的面積1AA B 的面積SAAB丄4 242SpoA ASAAB4x 8( x 0)/4 6.2 S 6 8、2,xS462即4x846、2.S6 8.24x86 8.2 x的取值范圍是3.2224.21232 224. 2 12【例 4】隨著綠城南寧近幾年城市建設的快速發(fā)展，對花木的需求量逐年提高。某園林專業(yè)戶計劃投資種植花卉及樹木，根據(jù)市場調(diào)查與預測，種植樹木的利潤y1與投資量x成正比例關系，如圖所示；種植花卉的利潤y2與投資量x成二次函數(shù)關系，如圖 所示（注：利潤與投資量的單位：萬元）（1）分別求出利

40、潤yi與y關于投資量x的函數(shù)關系式；（2）如果這位專業(yè)戶以 8 萬元資金投入種植花卉和樹木，他至少獲得多少利潤？他能 獲取的最大利潤是多少？解析過程及每步分值解：（1）設 ykx,由圖所示，函數(shù) ykx 的圖像過（1，2），所以 2=k 1， k 2故利潤y1關于投資量x的函數(shù)關系式是yj=2x ；因為該拋物線的頂點是原點，所以設y2=ax2，由圖 12-所示，函數(shù)y2=ax2的圖像過（2, 2），所以2 a 22，a 2故利潤y關于投資量x的函數(shù)關系式是y1x2；2（2）設這位專業(yè)戶投入種植花卉x萬元（0 x 8），則投入種植樹木（8 x）萬元，他獲得的利潤是z萬元，根據(jù)題意，得121212

41、z=2（8 x）+x2= x22x 16=（x 2）2142 2 2當 x 2 時，z的最小值是 14;因為 0 x 8，所以 2x26所以(x 2)236所以l(x 2)2182所以!(x 2)214 18 1432，即 z 32，此時 x 82當 x 8 時，z的最大值是 32.【例 5】如圖，已知A( 4,0)，B(0,4)，現(xiàn)以 A 點為位似中心，相似比為 9:4，將 OB 向右側(cè)放大，B 點的對應點為 C.(1) 求 C 點坐標及直線 BC 的解析式；(2)一拋物線經(jīng)過 B、C 兩點，且頂點落在 x 軸正半軸上，求該拋物線的解析式并畫出函數(shù)圖象；(3) 現(xiàn)將直線 BC 繞 B 點旋轉(zhuǎn)

42、與拋物線相交與另一點 P,請找出拋物線上所有滿足到直線 AB 距離為3.2的點P.解析過程及每步分值解：(1)過 C 點向 x 軸作垂線，垂足為 D,由位似圖形性質(zhì)可知:AO AB3AACD 二AOBO 4CD 9.由已知A( 4,0)，B(0,4)可知：AO 4,BO 4. AD CD 9 .AC點坐標為（5,9）.直線 BC 的解析是為：以口9 45 0化簡得：y x 44 c(2)設拋物線解析式為y ax2bx c(a 0)，由題意得：9 25a 5b c,2b 4ac 014A解得拋物線解析式為yi x24x 4或y2 x2- x 4.2554又Iy2x2-x 4的頂點在 x 軸負半軸

43、上，不合題意，故舍去.255A滿足條件的拋物線解析式為y x24x 4(準確畫出函數(shù)y x24x 4圖象)(3)將直線 BC 繞 B 點旋轉(zhuǎn)與拋物線相交與另一點 P,設 P 到直線 AB 的距離為 h,故 P 點應在與直線 AB 平行，且相距 3.2 的上下兩條平行直線l1和12上.由平行線的性質(zhì)可得：兩條平行直線與 y 軸的交點到直線 BC 的距離也為 32 .如圖，設 h 與 y 軸交于 E 點，過 E 作 EF 丄 BC 于 F 點,在 Rt BEF 中EF h 3、2,EBF ABO 45,a2ai解得：b1q25b2C2 BE 6 可以求得直線li與 y 軸交點坐標為（0,10）同理

44、可求得直線12與 y 軸交點坐標為（0, 2）兩直線解析式l1: yx10;l2: y x2.根據(jù)題意列出方程組: y x24x4.y2x4x 4y x 10yx 2解得：X1 6;X21.X32 .x43y16y29y30y41滿足條件的點P有四個,它們分別是R(6,16),P2(1,9),P3(2,0),巳(3,1).【例 6】如圖，拋物線L1:yx22x 3交x軸于 A、B兩.占交八、y 軸于 M 點.拋物線L1向右平移 2 個單位后得到拋物線L2,L2交x軸于 C、D 兩點.（1） 求拋物線L2對應的函數(shù)表達式；（2） 拋物線L1或L2在x軸上方的部分是否存在點 N,使以 A，C, M

45、 N 為頂點的四邊 形是平行四邊形.若存在，求出點 N 的坐標；若不存在，請說明理由；（3） 若點 P 是拋物線L1上的一個動點（P 不與點 A、B 重合），那么點 P 關于原點的 對稱點 Q 是否在拋物線L2上，請說明理由.解析過程及每步分值例 7】如圖，在矩形 ABCD 中，AB 9 ,AD 3、3，點 P 是邊 BC 上的動點(點 P 不與 點 B，點 C 重合)，過點 P 作直線PQ/BD，交 CD 邊于Q點，再把PQC沿著動直 線PQ對折，點 C 的對應點是 R 點，設 CP 的長度為x，PQR與矩形 ABCD 重疊部 分的面積為y(1) 求CQP的度數(shù)；(2) 當x取何值時，點 R

46、 落在矩形 ABCD 的 AB 邊上？(3) 求 y 與x之間的函數(shù)關系式；當x取何值時，重疊部分的面積等于矩形面積的 ?270 xW23,SACPQiCP CQixg3x于x2,解析過程及每步分值解:(1)如圖，Q四邊形 ABCD 是矩形,AB CD, AD BC .又 AB 9,AD 3 3,C 90o,CD 9,BC 3.3.BC長otan CDBCDB 30.CD 3Q PQ/BD,CQPCDB 30o.(2)如圖 1,由軸對稱的性質(zhì)可知,RPQ CPQ，RP CP .RPQCPQ,由(1)知CQP 30。,RPQCPQRPB 60, RP 2BP .QCP x ,PR x,PB 3

47、3 x.在厶 RPB 中，根據(jù)題意得：2(3,3 x) x,解這個方程得：x 2 3.(3) 當點 R 在矩形 ABCD 的內(nèi)部或 AB 邊上時,而r.5加，所以當0 x2乜時，y的值不可能是矩形面積的土；Q RPQ6CPQ，當0 x=小時，yI3當 R 在矩形 ABCD 的外部時（如圖 2）,2、3 x3、3,在 Rt PFB 中，QRPB60,PF 2BP 2(3、3x),又 Q RP CP x ,RFRP PF 3x 6 3,在 RtAERF 中,Q EFR PFB 30o,ER .3x 6.13J32SAERF2ER FRTx18x 18、3,Q ySARPQSAERF,x 3-一3時

48、，y.3x218x18、3.綜上所述,y 與x之間、.3xy 2、3x218x 18.3(2i3 x 3.3)2(0 x2 3)矩形面積9 3、3 27. 3，當0 x23時函數(shù)y于x2隨自變量的增大而增大，所以y的最大值是6-.3，而矩形面積的的值當2. 3 x 3,3時，根據(jù)題意，得：、3x218x 18.3 7、.3，解這個方程，得x 3.32，因為3二.2 3.3,所以X 3、.3、2不合題意，舍去.所以x 3. 3 ,2.綜上所述，當x 3、3.2時，PQR與矩形 ABCD 重疊部分的面積等于矩形面積的727.第四章興趣練習4.1 代數(shù)部分1.已知：拋物線y ax2bx c與 x 軸

49、交于AB 兩點，與 y 軸交于點 C.其中點 A 在 x 軸的 負半軸上，點 C 在 y 軸的負半軸上，線段 OA 0C 的長(OAOC 是方程x25x 4 0的 兩個根，且拋物線的對稱軸是直線 x 1 .(1)求AB C 三點的坐標；(2)求此拋物線的解析式；(3)若點 D 是線段 AB 上的一個動點(與點AB 不重合)，過點 D 作 DE/ BC 交 AC 于點 E,連結 CD 設 BD 的長為 m CDE 勺面積為 S,求 S 與 m 的函數(shù)關系式， 并寫出自變量 m 的取值范圍.S 是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此 時 D 點坐標；若不存在，請說明理由.2.已知，如圖 1,過點

50、 E 0, 1 作平行于x軸的直線 I，拋物線y lx2上的兩點A B的橫4坐標分別為 1 和 4,直線 AB 交 y 軸于點 F ,過點 A、B 分別作直線 I 的垂線，垂足分別為點 C、D，連接 CF、DF .(1)求點AB、F 的坐標;(2)求證：CF DF ;1(3)點 P 是拋物線y x2對稱軸右側(cè)圖象上的一動點，過點 P 作PQ丄PO交x軸于4點Q，是否存在點 P 使得OPQ與厶 CDF 相似？若存在，請求出所有符合條件的得到PEC，再在 AB 邊上選取適當?shù)狞c。,將厶 PAD 沿 PD 翻折，得到PFD，使得直線 PE、PF 重合.(1) 若點 E 落在 BC 邊上，如圖，求點

51、P、C、D 的坐標，并求過此三點的拋物線的函數(shù)關系式；(2)若點 E 落在矩形紙片 OABC 的內(nèi)部，如圖，設OP x,AD y,當x為何值時，y 取得最大值？(3) 在(1)的情況下，過點 P、C、D 三點的拋物線上是否存在點 0,使厶PDQ是以 PD 為直角邊的直角三角形？若不存在，說明理由；若存在，求出點Q的坐標.點 P 的坐標；若不存在，請說明理由.3.已知矩形紙片 OABC 的長立平面直角坐標系;亍在的直線為x軸，O 為坐標原點建A 不重合)，現(xiàn)將POC 沿 PC 翻折勺4,寬為 3,以長 OA 所P 是 OA 邊上的動點(與點4. 如圖，已知拋物線y x24x 3交x軸于 A、B

52、兩點，交 y 軸于點 C, ?拋物線的對稱軸 交x軸于點 E,點 B 的坐標為(1 , 0).(1) 求拋物線的對稱軸及點 A 的坐標；(2) 在平面直角坐標系 xoy 中是否存在點 P,與AB C 三點構成一個平行四邊形？若 存在，請寫出點 P 的坐標；若不存在，請說明理由；(3) 連結 CA 與拋物線的對稱軸交于點 D,在拋物線上是否存在點 M 使得直線 CMC5.如圖，已知拋物線y ax2bx 3(0)與 x 軸交于點 A( 1, 0)和點 B (-3, 0), 與 y 軸交于點 C.(1) 求拋物線的解析式；(2)設拋物線的對稱軸與x軸交于點 M 問在對稱軸上是否存在點卩，使厶 CMF

53、 為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點 P 的坐標；若不存在，請說明理由.(3) 如圖，若點 E 為第二象限拋物線上一動點，連接 BE CE 求四邊形 BOC 面積的最 大值，并求此時 E 點的坐標.6.如圖，在梯形 ABCD 中，DC / AB, A 90AD6 厘米，DC 4 厘米，BC 的坡度i 3：4,動點 P 從 A 出發(fā)以 2 厘米/秒的速度沿 AB 方向向點 B 運動，動點Q從點 B 出發(fā)以 3 厘米/秒的速度沿 B C D 方向向點 D 運動，兩個動點同時出發(fā)，當其中一個動點到達 終點時，另一個動點也隨之停止.設動點運動的時間為t秒.(1) 求邊 BC 的長；(2) 當t為何值時，PC 與BQ相互平分；(3)連結PQ,設厶PBQ的面積為y,探求 y 與t的函數(shù)關系式，求t為何值時，y 有最大 值？最大值是多少?、動態(tài)幾何117.已知： 直線y -x 1與 y 軸交于A,與x軸交于 D,拋物線y- x2bx c與直線交于2 2A、E 兩點，與x軸交于 B C 兩點，且 B 點坐標為（