1、三次樣條三次樣條插值插值 我們知道我們知道, ,給定給定n+1+1個(gè)節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值可以作個(gè)節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值可以作n次次插插值多項(xiàng)式值多項(xiàng)式, ,但當(dāng)?shù)?dāng)n較大時(shí)較大時(shí), ,高次高次插值不僅計(jì)算復(fù)雜插值不僅計(jì)算復(fù)雜, ,而且可而且可能出現(xiàn)能出現(xiàn)Runge現(xiàn)象現(xiàn)象, ,采用分段插值雖然計(jì)算簡單、也有采用分段插值雖然計(jì)算簡單、也有一致收斂性一致收斂性, ,但不能保證整條曲線在連接點(diǎn)處的但不能保證整條曲線在連接點(diǎn)處的光滑性光滑性, ,如分段線性插值如分段線性插值, ,其圖形是其圖形是鋸齒形的折線鋸齒形的折線, ,雖然連續(xù)雖然連續(xù), ,但但處都是處都是“尖點(diǎn)尖點(diǎn)”, ,因而一階導(dǎo)數(shù)都不存在因而一階導(dǎo)數(shù)都不

2、存在, ,這在實(shí)用上這在實(shí)用上, ,往往不能滿足某些工程技術(shù)的高精度要求。如在往往不能滿足某些工程技術(shù)的高精度要求。如在船體、船體、飛機(jī)等外形曲線的設(shè)計(jì)中飛機(jī)等外形曲線的設(shè)計(jì)中, ,不僅要求曲線連續(xù)不僅要求曲線連續(xù), ,而且要有而且要有二階光滑度二階光滑度, ,即有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)即有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)。這就要求分段插值。這就要求分段插值函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)。因此有必要尋函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)。因此有必要尋求一種新的插值方法求一種新的插值方法, ,這就是樣條函數(shù)插值法這就是樣條函數(shù)插值法 2.5.1 2.5.1 三次樣條函數(shù)三次樣條函數(shù) 定義定義5.4 5.4 .設(shè)函數(shù)定義

3、在區(qū)間設(shè)函數(shù)定義在區(qū)間 a a, b b 上，給定上，給定n+1n+1個(gè)個(gè) 節(jié)點(diǎn)和一組與之對應(yīng)的函數(shù)值，若函數(shù)節(jié)點(diǎn)和一組與之對應(yīng)的函數(shù)值，若函數(shù) 滿足滿足: : （1 1）在每個(gè)節(jié)點(diǎn)上滿足）在每個(gè)節(jié)點(diǎn)上滿足 S( S(xi i)=)=f( (xi i)(i=0,1,n)(i=0,1,n) （2 2）在）在 a a, b b 上有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)上有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù) （3 3）在每個(gè)小區(qū)間）在每個(gè)小區(qū)間 xi i, ,xi+1i+1 (i=0,1,n-1)(i=0,1,n-1) 上是一個(gè)三次多項(xiàng)式。上是一個(gè)三次多項(xiàng)式。 則稱則稱S(S(x) )為為三次樣條插值函數(shù)三次樣條插值函數(shù)。 其中四個(gè)待定系數(shù)

4、為其中四個(gè)待定系數(shù)為 , ,子區(qū)間共有子區(qū)間共有n個(gè)個(gè)所以要確定所以要確定S(S(x) )需要需要4n個(gè)待定系數(shù)。個(gè)待定系數(shù)。 另一方面另一方面, ,要求分段三次多項(xiàng)式要求分段三次多項(xiàng)式S(S(x) )及其導(dǎo)數(shù)及其導(dǎo)數(shù)和和 在整個(gè)插值區(qū)間在整個(gè)插值區(qū)間 a,ba,b 上連續(xù)上連續(xù), ,則要求它們在則要求它們在各個(gè)子區(qū)間的連接點(diǎn)各個(gè)子區(qū)間的連接點(diǎn) 上連續(xù)，上連續(xù)，即滿足條件即滿足條件 三次樣條插值函數(shù)三次樣條插值函數(shù)S(S(x) )是一個(gè)分段三次多項(xiàng)式是一個(gè)分段三次多項(xiàng)式, ,要求出要求出S(S(x),),在每個(gè)小區(qū)間在每個(gè)小區(qū)間 xi i, ,xi+1i+1 上要確定上要確定4 4個(gè)待定參數(shù)個(gè)

5、待定參數(shù), ,若用若用S Si( (x) )表示它在第表示它在第i個(gè)子區(qū)間個(gè)子區(qū)間 xi i, ,xi+1i+1 上的表達(dá)式，則上的表達(dá)式，則332210)(xaxaxaaxSiiiii1, 1 , 0ni3210,iiiiaaaa)(xS)(xS 110,nxxx（1 1） 插值條件插值條件 （2 2） 連接條件連接條件 上述二式共給出了上述二式共給出了4 4n-2n-2個(gè)條件個(gè)條件, ,而待定系數(shù)有而待定系數(shù)有4 4n n個(gè)個(gè), ,因此因此還需要還需要2 2個(gè)條件才能確定個(gè)條件才能確定S(x),S(x),通常在區(qū)間端點(diǎn)上通常在區(qū)間端點(diǎn)上 各加一個(gè)條件各加一個(gè)條件, ,稱為稱為邊界條件邊界條

6、件, 常用邊常用邊界條件有三種類型。界條件有三種類型。)()(iixfxSni, 1 , 0) 0() 0(1, 2 , 1) 0() 0() 0() 0( iiiiiixSxSnixSxSxSxSnxbxa,0第一種類型：給定兩端點(diǎn)第一種類型：給定兩端點(diǎn)f(x)的一階導(dǎo)數(shù)值：的一階導(dǎo)數(shù)值： 第二種類型：給定兩端點(diǎn)第二種類型：給定兩端點(diǎn)f(x)的二階導(dǎo)數(shù)值：的二階導(dǎo)數(shù)值：作為特例作為特例, , 稱為稱為自然邊界條件自然邊界條件。滿。滿足自然邊界條件的三次樣條插值函數(shù)稱為足自然邊界條件的三次樣條插值函數(shù)稱為自然樣自然樣條插值函數(shù)。條插值函數(shù)。 第三種類型：當(dāng)?shù)谌N類型：當(dāng)f(x)是以為是以為 周

7、期的函數(shù)時(shí)，周期的函數(shù)時(shí)，則要求則要求S(x)S(x)也是周期函數(shù)也是周期函數(shù), ,這時(shí)邊界條件應(yīng)滿足這時(shí)邊界條件應(yīng)滿足當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， )()(),()(00nnxfxSxfxS)()(),()(00nnxfxSxfxS 0)()(0 nxSxS0 xxn)()(0nxfxf)()(),()(00nnxSxSxSxS 這樣，由上給定的任一種邊界條件加上插值條件這樣，由上給定的任一種邊界條件加上插值條件和連接條件，就能得出和連接條件，就能得出4n個(gè)方程，可以惟一確個(gè)方程，可以惟一確定定4n個(gè)系數(shù)。從而得到三次樣條插值函數(shù)個(gè)系數(shù)。從而得到三次樣條插值函數(shù)S(x)S(x)在各個(gè)子區(qū)間在各個(gè)子區(qū)間 x

8、i , xi+1 上的表達(dá)式上的表達(dá)式S(S(xi）( (i=1,2,)i=1,2,)。但是，這種做法當(dāng)?shù)?，這種做法當(dāng)n較大時(shí)，計(jì)較大時(shí)，計(jì)算工作很大，不便于實(shí)際應(yīng)用。因此我們希望找算工作很大，不便于實(shí)際應(yīng)用。因此我們希望找到一種簡單的構(gòu)造方法。到一種簡單的構(gòu)造方法。 2.5.2 2.5.2 三次樣條插值函數(shù)的求法三次樣條插值函數(shù)的求法設(shè)設(shè)S(x)S(x)在節(jié)點(diǎn)在節(jié)點(diǎn)x xi i處的二階導(dǎo)數(shù)為處的二階導(dǎo)數(shù)為因?yàn)樵谧訁^(qū)間因?yàn)樵谧訁^(qū)間 x xi-1i-1,x,xi i 上上 是三次多項(xiàng)是三次多項(xiàng)式式, ,所以所以 在此小區(qū)間上是在此小區(qū)間上是x x的線性函數(shù)的線性函數(shù), ,且因?yàn)榍乙驗(yàn)? ,用線

9、性插值用線性插值, ,可知其表達(dá)式為可知其表達(dá)式為), 1 , 0()(niMxSii )()(xSxSi)(xS iiiiMxSMxS )(,)(11iixxx,11iiixxh1111)( iiiiiiiiixxxxMxxxxMxS記記 ，則有，則有iiiiiiihxxMhxxMxS11)( 其中其中, ,A Ai i,B,Bi i為積分常數(shù)為積分常數(shù), ,可利用插值條件可利用插值條件 確定確定, ,即要求即要求A Ai i,B,Bi i滿足滿足并記并記 ，則得，則得)()(6)(6)()(13131iiiiiiiiiiixxBxxAhxxMhxxMxS)()(),()(11iiiixfx

10、SxfxS)(61)(),(61)(21211iiiiiiiiiiiixfhBhMxSxfhAhMxSiiiiyxfyxf)(,)(112211611,611iiiiiiiiiihMyhBhMyhA連續(xù)兩次積分得連續(xù)兩次積分得(5.31)將其代入（將其代入（5.315.31）即得）即得 iiiiiiihxxMhxxMxS6)(6)()(3131iiiiiiiiiihxxhMyhxxhMy)(6)(612211（5.32） ),2, 1,(1nixxxii由上討論可知由上討論可知, ,只要確定只要確定 這這n+1n+1個(gè)值個(gè)值, , 就就可定出三樣條插值函數(shù)可定出三樣條插值函數(shù)S(x)S(x)。

11、 為了求出為了求出 , ,利用一階導(dǎo)數(shù)在子區(qū)利用一階導(dǎo)數(shù)在子區(qū)間連接點(diǎn)上連續(xù)的條件間連接點(diǎn)上連續(xù)的條件對式對式(5.32)(5.32)求導(dǎo)一次求導(dǎo)一次, ,得在區(qū)間得在區(qū)間 x xi-1i-1,x,xi i 上的表達(dá)式為上的表達(dá)式為 nMMM,10), 1 ,0(niMi)0()0(iixSxS)(62)(2)()(112121iiiiiiiiiiiiiMMhhyyhxxMhxxMxS（5.33） 也就是在右端點(diǎn)也就是在右端點(diǎn)x xi i上有上有 iiiiiiiiiihyyMMhMhxS11)(62)0(iiiiiiihyyMhMh1136在左端點(diǎn)在左端點(diǎn)x xi-1i-1上有上有 iiiii

12、iiiiihyyMMhMhxS1111)(62) 0(iiiiiiihyyMhMh1163將上式中的將上式中的i-1i-1改為改為i,i,即得在子區(qū)間即得在子區(qū)間 x xi i,x,xi+1i+1 上的表上的表達(dá)式達(dá)式 , ,并由此得并由此得 )(1xSi) 0(1iixS1111163iiiiiiihyyMhMh利用利用 在內(nèi)接點(diǎn)的連續(xù)性在內(nèi)接點(diǎn)的連續(xù)性, ,即即就可得到關(guān)于參數(shù)就可得到關(guān)于參數(shù) 的一個(gè)方程的一個(gè)方程)(xS)0()0(1iiiixSxS11,iiiMMMiiiiiiiiiiiiihyyhyyMhMhhMh1111111636（5.34） ) 1, 2 , 1(ni上式兩邊同

13、乘以上式兩邊同乘以 , ,即得方程即得方程 16iihhiiiiiiiiiiiiiiiiihyyhyyhhMhhhMMhhh111 11 111 162iiiiiiiiiiiiiiiixxfxxfhhghhhhhh,61111111若記若記 （5.35） 則所得方程可簡寫成則所得方程可簡寫成 iiiiiigMMM112)1,2, 1(ni11121232212121101222nnnnnngMMMgMMMgMMM（5.365.36） 即即 這是一個(gè)含有這是一個(gè)含有n+1n+1個(gè)未知數(shù)、個(gè)未知數(shù)、n-1n-1個(gè)方程的線性方程個(gè)方程的線性方程組組. .要完全確定要完全確定 的值還需要補(bǔ)充兩個(gè)的值還

14、需要補(bǔ)充兩個(gè)條件條件, ,這兩個(gè)條件通常根據(jù)實(shí)際問題的需要，根據(jù)插這兩個(gè)條件通常根據(jù)實(shí)際問題的需要，根據(jù)插值區(qū)間值區(qū)間 a,ba,b 的兩個(gè)端點(diǎn)處的邊界條件來補(bǔ)充。邊界的兩個(gè)端點(diǎn)處的邊界條件來補(bǔ)充。邊界條件的種類很多，常見的有以下條件的種類很多，常見的有以下3 3種：種： ), 1 ,0(niMi第一種邊界條件：即已知插值區(qū)間兩端的一階導(dǎo)數(shù)值：第一種邊界條件：即已知插值區(qū)間兩端的一階導(dǎo)數(shù)值： 則可得到包含則可得到包含M Mi i的兩個(gè)線性方程的兩個(gè)線性方程, ,由由(5.33)(5.33)知知, ,S(x)S(x)在子在子區(qū)間區(qū)間 上的導(dǎo)數(shù)為上的導(dǎo)數(shù)為)()(),()(00nnxfxSxfxS

15、10, xx)(62)(2)()(011101120112101MMhhyyhxxMhxxMxS由條件由條件 得得 000)()(yxfxS)(62011101100MMhhyyhMy)(620101110yhyyhMM即即 (5.37) (5.37) 同理同理, ,由條件由條件 得得 nnnyxfxS)()()(6211nnnnnnnhyyyhMM(5.38)(5.38) 將式（將式（5.365.36）和式（）和式（5.375.37）以及式（）以及式（5.385.38）合在一起）合在一起即得確定即得確定 的線性方程組的線性方程組 nMMM,10nnnnnnggggMMMM1101101111

16、212212(5.39) (5.39) ),(6),(6101010nnnnnxxfyhgyxxfhg其中其中第二種邊界條件第二種邊界條件: :即已知插值區(qū)間兩端的二階導(dǎo)數(shù)值即已知插值區(qū)間兩端的二階導(dǎo)數(shù)值: : , ,由于在區(qū)間端點(diǎn)處二階導(dǎo)數(shù)由于在區(qū)間端點(diǎn)處二階導(dǎo)數(shù) ，所以方程（，所以方程（5.365.36）中實(shí)際上只包含有）中實(shí)際上只包含有n-1n-1個(gè)未知數(shù)個(gè)未知數(shù) ，從而得方程組，從而得方程組 nnyxSyxS )(,)(00nnyMyM ,00121,nMMM nnnnnnnnnygggygMMMM112201112211222212222(5.40)(5.40) 第三種邊界條件第三種

17、邊界條件: :由由 與與 ，可得，可得 和和 )0()0(0 nxSxS)0()0(0nxSxSnMM0nnnnngMMM211),(61110111nnnnnnnnnnnxxfxxfhhghhhhhh(5.41) (5.41) (5.42) (5.42) (5.43) (5.43) 其中其中將式將式 ( 5.36 ), ( 5.41 ), ( 5.42 )合在一起，即得關(guān)于合在一起，即得關(guān)于 的線性方程組。的線性方程組。 nMMM,21nnnnnnnnggggMMMM1211211122112222(5.44)(5.44) 利用線性代數(shù)知識利用線性代數(shù)知識, ,可以證明方程組（可以證明方程組

18、（5.395.39）, ,（5.405.40）和（）和（5.445.44）的系數(shù)矩陣都是非奇異的，因此有）的系數(shù)矩陣都是非奇異的，因此有惟一解。惟一解。 例例2.20 2.20 已知的函數(shù)值如下：已知的函數(shù)值如下： x 1 2 4 5 x 1 2 4 5 f (x) 1 3 4 2 f (x) 1 3 4 2在區(qū)間在區(qū)間 1,51,5 上求三次樣條插值函數(shù)上求三次樣條插值函數(shù)S(x),S(x),使它滿足邊使它滿足邊界條件界條件 0)5(, 0) 1 ( SS解解: :這是在第二種邊界條件下的插值問題，故確定這是在第二種邊界條件下的插值問題，故確定 的方程組形如（的方程組形如（5.405.40）

19、所示，）所示， 由已知邊界條件由已知邊界條件, ,有有 則得求解則得求解 的方程組為的方程組為 3210,MMMM0)(, 0)(333000 MyxSMyxS21,MM21212122ggMM根據(jù)給定數(shù)據(jù)和邊界條件算出根據(jù)給定數(shù)據(jù)和邊界條件算出 與與 ii,ig121321hhh2,21,2,322110 xxfxxfxxf32,3232222121hhhhhh3)221(36),(61021211xxfxxfhhg5)212(36),(62132322xxfxxfhhg523233222121MMMM則得方程組則得方程組 解得解得 49,4321MM又又 030 MM即得即得S(x)S(x

20、)在各子區(qū)間上的表達(dá)式在各子區(qū)間上的表達(dá)式, ,由式（由式（5.325.32）知）知, ,S(x)S(x)在在 上的表達(dá)式為上的表達(dá)式為代入式代入式(5.32)(5.32)3,2,1)(ixSi10, xx1301131016)(6)()(hxxMhxxMxS102111112100)(6)(6hxxhMyhxxhMy將將 代入上式化簡后得代入上式化簡后得 43, 0, 1, 3, 1, 2, 11011010MMhyyxx1478381)(231xxxxS同理同理S(x)S(x)在在 上的表達(dá)式為上的表達(dá)式為 21, xx1478381)(232xxxxSS(x)S(x)在在 上的表達(dá)式為上

21、的表達(dá)式為 32, xx1949184583)(233xxxxS故所求的三次樣條插值函數(shù)故所求的三次樣條插值函數(shù)S(x)S(x)在區(qū)間在區(qū)間上的表達(dá)式為上的表達(dá)式為 5,1)54(1949184583)42(1478381)21 (1478381)(232323xxxxxxxxxxxxxS 用三次樣條函數(shù)用三次樣條函數(shù)S(x)S(x)逼近逼近f(x)f(x)是收斂的是收斂的, ,并并且也是數(shù)值穩(wěn)定的，但其誤差估計(jì)與收斂定理的且也是數(shù)值穩(wěn)定的，但其誤差估計(jì)與收斂定理的證明都比較復(fù)雜，這里只給出結(jié)論。證明都比較復(fù)雜，這里只給出結(jié)論。 定理定理5 5設(shè)設(shè)f(x)f(x)是是 a,ba,b 上二次連續(xù)

22、可微函數(shù)上二次連續(xù)可微函數(shù), ,在在 a,ba,b 上上, ,以以 為節(jié)點(diǎn)的三次為節(jié)點(diǎn)的三次樣條插值函數(shù)樣條插值函數(shù)S(x)S(x)滿足滿足，其中，其中 證明證明 （略）（略） bxxxan1012max2)()(iiixxMxSxf)(max2xfMbxa 三、誤差界與收斂性三、誤差界與收斂性.83,241,3845(7.17) . 2 , 1 , 0 ,| )(|max| )()(|max),1, 1 , 0(,max ,)( , ,)( 42104)4()()(1104CCCkhxfCxsxfnixxhhhxSbaCxfkbxakkkbxaiiiini其中則有估計(jì)式令件滿足第一或第二邊界

23、條設(shè)定定理理 用三次樣條繪制的曲線不僅有很好的光滑度用三次樣條繪制的曲線不僅有很好的光滑度，而且當(dāng)節(jié)點(diǎn)逐漸加密時(shí)，其函數(shù)值在整體上能，而且當(dāng)節(jié)點(diǎn)逐漸加密時(shí)，其函數(shù)值在整體上能很好地逼近被插函數(shù)，相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值也收斂于被很好地逼近被插函數(shù)，相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值也收斂于被插函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，插函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，不會(huì)發(fā)生龍格現(xiàn)象不會(huì)發(fā)生龍格現(xiàn)象。因此三次樣。因此三次樣條在計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)中有廣泛的應(yīng)用。條在計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)中有廣泛的應(yīng)用。本章小結(jié)本章小結(jié) 本章介紹的插值法是實(shí)用性很強(qiáng)的方法。它們解本章介紹的插值法是實(shí)用性很強(qiáng)的方法。它們解決的實(shí)際問題雖然各式各樣，但抽象為數(shù)學(xué)問題卻有它決的實(shí)際問題雖然各式各樣，但抽象為數(shù)學(xué)問

24、題卻有它的共性，即利用已知的數(shù)據(jù)去尋求某個(gè)較為簡單的函數(shù)的共性，即利用已知的數(shù)據(jù)去尋求某個(gè)較為簡單的函數(shù)P(x)P(x)來逼近來逼近f(x)f(x)。插值法給出了尋求這種近似函數(shù)的原插值法給出了尋求這種近似函數(shù)的原則，以及構(gòu)造近似函數(shù)的幾種具體方法。插值法要求近則，以及構(gòu)造近似函數(shù)的幾種具體方法。插值法要求近似函數(shù)在已知的數(shù)據(jù)點(diǎn)必須與似函數(shù)在已知的數(shù)據(jù)點(diǎn)必須與f(x)f(x)完全一致，。完全一致，。 插值法中的拉格朗日插值多項(xiàng)式是研究數(shù)值微積插值法中的拉格朗日插值多項(xiàng)式是研究數(shù)值微積分與微分方程數(shù)值解的重要工具。牛頓插值多項(xiàng)式是拉分與微分方程數(shù)值解的重要工具。牛頓插值多項(xiàng)式是拉格朗日插值多項(xiàng)式

25、的變形，具有承襲性，比拉格朗日插格朗日插值多項(xiàng)式的變形，具有承襲性，比拉格朗日插值多項(xiàng)式節(jié)省計(jì)算量。分段低次多項(xiàng)式插值由于具有良值多項(xiàng)式節(jié)省計(jì)算量。分段低次多項(xiàng)式插值由于具有良好的穩(wěn)定性與收斂性，且算法簡單，便于應(yīng)用。特別是好的穩(wěn)定性與收斂性，且算法簡單，便于應(yīng)用。特別是應(yīng)用廣泛的三次樣條插值，不但有較好的穩(wěn)定性和收斂應(yīng)用廣泛的三次樣條插值，不但有較好的穩(wěn)定性和收斂性，而且具有較好的光滑性，從而滿足了許多實(shí)際問題性，而且具有較好的光滑性，從而滿足了許多實(shí)際問題的要求。需對樣條函數(shù)作進(jìn)一步了解的讀者可參閱有關(guān)的要求。需對樣條函數(shù)作進(jìn)一步了解的讀者可參閱有關(guān)文獻(xiàn)文獻(xiàn) 許多實(shí)際問題不但要求插值函數(shù)許

26、多實(shí)際問題不但要求插值函數(shù)p(x)在插值節(jié)點(diǎn)在插值節(jié)點(diǎn)處與被插函數(shù)處與被插函數(shù)f(x)有相同的函數(shù)值有相同的函數(shù)值p(xi)=f(xi) (i=0,1,2,n), 而且要求在有些節(jié)點(diǎn)或全部節(jié)點(diǎn)上而且要求在有些節(jié)點(diǎn)或全部節(jié)點(diǎn)上與與f(x)的導(dǎo)數(shù)值也相等，甚至要求高階導(dǎo)數(shù)值也相的導(dǎo)數(shù)值也相等，甚至要求高階導(dǎo)數(shù)值也相等，能滿足這種要求的插值問題就稱為等，能滿足這種要求的插值問題就稱為 bxxxan10)(ixf)(ixf ), 1 , 0()()(),()(nixfxHxfxHiiii上式給出了上式給出了2 2n+2+2個(gè)條件，可惟一確定一個(gè)次數(shù)不超過個(gè)條件，可惟一確定一個(gè)次數(shù)不超過2 2n+1+1

27、的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式H2n+1( (x) )，采用類似于求采用類似于求Lagrange插值多插值多項(xiàng)式的基函數(shù)方法求埃爾米特項(xiàng)式的基函數(shù)方法求埃爾米特( (Hermite) )插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式H2n+1( (x) ) 次數(shù)不超過次數(shù)不超過2n+1次的多項(xiàng)式的次的多項(xiàng)式的形式為：形式為： ， H2n+1(x)= H(x), H2n+1(x)=a0+ a1x+ a2x2+ + a2n+1x2n+1由由2n+2個(gè)條件來確定個(gè)條件來確定2n+2個(gè)系數(shù)個(gè)系數(shù)a0, a1, a2, a2n+1顯然非常顯然非常復(fù)雜復(fù)雜, 所以要用求所以要用求Lagrange插值多項(xiàng)式的基函數(shù)的方法插值多項(xiàng)式的基函數(shù)的方法,

28、 求求插值基函數(shù)插值基函數(shù) i(x)及及 i(x) (i=0,1,2, ,n)共有共有2n+2個(gè)個(gè), 設(shè)每一設(shè)每一個(gè)基函數(shù)為次數(shù)不超過個(gè)基函數(shù)為次數(shù)不超過2n+1次的多項(xiàng)式，且滿足條件次的多項(xiàng)式，且滿足條件0)(10)(0)(10)(jiijjijiijjixjijixxjijix(i, j =0,1,2, ,n)HermiteHermite插值多項(xiàng)式可寫成插值基函數(shù)表示的形式插值多項(xiàng)式可寫成插值基函數(shù)表示的形式)(0)()()()()()()()()(00012012jnijijninijjijjijnniiinxfxfxfxxfxxHyxyxxH)(0)(00)()()()()()()()

29、()()()()(0000012012jjniijnijjininijjinijjijjijnniiinxfxfxfxxfxxfxxfxxHyxyxxH 驗(yàn)證：驗(yàn)證：)()()()()(1)( 21)(0220012jnjjjjjnjnjkkkjjnxfxlxxxfxlxxxxxH)(1)(21)(20 xlxxxxxjnjkkkjjj)()()(2xlxxxjjj根據(jù)插值條件可求出根據(jù)插值條件可求出 和和)(xj),1 , 0)(njxjH2n+1( (x) )為滿足條件為滿足條件的的2 2n+1+1次次Hermite插值多項(xiàng)式。插值多項(xiàng)式。 ), 1 , 0()()(),()(nixfxH

30、xfxHiiii定理定理5.3 5.3 滿足插值條件滿足插值條件 的的HermiteHermite插值多項(xiàng)式是惟一的。插值多項(xiàng)式是惟一的。證證: : 設(shè)設(shè) 和和 都滿足上述插值條件都滿足上述插值條件, ,令令則每個(gè)節(jié)點(diǎn)則每個(gè)節(jié)點(diǎn) 均為均為 的二重根的二重根, ,即即有有2 2n+2+2個(gè)根，但個(gè)根，但 是不高于是不高于2 2n+1+1次的多項(xiàng)式次的多項(xiàng)式，所以，所以 ，即，即 惟一性得證。惟一性得證。 ), 1 , 0()()(),()(nixfxHxfxHiiii)(12xHn)(12xHn)()()(1212xHxHxnn), 1 , 0(nkxk)(x)(x)(x0)(x)()(1212xHxHnn定理定理5.4 5.4 若若f( (x) )在在 a, ,b 上存在上存在2 2n+2+2階導(dǎo)數(shù)，則階導(dǎo)數(shù)，則 2 2n+1+1次次Hermite插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)為插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)為 )()!22()()()()(2)22(1212xnfxHxfxRnnn)()()(10nxxxxxxx),( ba其中其中定理的證明可仿照定理的證明可仿照LagrangeLagrange插值余項(xiàng)的證明方插值余項(xiàng)的證明方法請同學(xué)們自行證明法請同學(xué)們自行證明 實(shí)際中使用最廣泛的是三次