1、第五章第五章 特征值與特征向量特征值與特征向量第二節(jié)第二節(jié) 方陣的相似變換方陣的相似變換 第四節(jié)第四節(jié) 實(shí)對稱矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)對稱矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形 第一節(jié)第一節(jié) 特征值與特征向量特征值與特征向量 第三節(jié)第三節(jié) 向量內(nèi)積和正交矩陣向量內(nèi)積和正交矩陣 定義定義5.1.1 設(shè)設(shè)A為為n階方陣階方陣, 是一個(gè)數(shù)是一個(gè)數(shù),若存在若存在非零非零列向量列向量x, 使得使得 Ax = x （1） 則稱則稱為為 A 的的一個(gè)特征值一個(gè)特征值，非零向量，非零向量x 稱為矩陣稱為矩陣 A 的對應(yīng)于的對應(yīng)于 特征值特征值的的特征向量特征向量，簡稱為，簡稱為 A 的特征向量的特征向量.一、一、 矩陣的特征值與特征向量

2、的定義與求法矩陣的特征值與特征向量的定義與求法第一節(jié)第一節(jié) 矩陣的特征值與特征向量矩陣的特征值與特征向量例如：例如：111,2131Ax 111131Ax 22 121 = 2 為為A的特征方程的特征方程.齊齊次次線線性性方方程程組組 11112 2121 122221 12 2()0()0()0n nn nnnnnnaxa xa xa xaxa xa xa xax 矩陣矩陣A的對應(yīng)于的對應(yīng)于的特征向量就是方程組的特征向量就是方程組(3)或或(2)的非零解的非零解.11121121222212( ), nnij n nnnnnnaaaxaaaxAaxaaax Ax = x (1)x - -Ax

3、 = O(I - -A)x = O (2)(3)| 0IAIA為為A的的特征矩陣特征矩陣,|I-A|(的的n次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式)稱為稱為A的的特征多項(xiàng)式特征多項(xiàng)式.特征方程的根叫做特征方程的根叫做A的特征根，即的特征根，即A的特征值的特征值.定義定義5.1.2總結(jié)：總結(jié)：111212122212=0 nnnnnnaaaaaaIAaaa已知已知n階方陣階方陣A，求，求A的的特征值特征值歸結(jié)為求特征方程歸結(jié)為求特征方程的根；的根；求求A的的特征向量特征向量等價(jià)于求齊次線性方程組等價(jià)于求齊次線性方程組(I- -A)x = O的的非零解非零解.求矩陣求矩陣A的特征值與特征向量的的特征值與特征向量的步驟步

4、驟：第一步，求第一步，求A的特征多項(xiàng)式的特征多項(xiàng)式 | I- -A|；第二步，令第二步，令 | I- -A|=0，得到，得到A的的n個(gè)特征值個(gè)特征值(重根按重?cái)?shù)計(jì)重根按重?cái)?shù)計(jì))；第三步，對應(yīng)于每個(gè)特征值第三步，對應(yīng)于每個(gè)特征值i，求方程組求方程組 (i I- -A)x = O的非零解，的非零解， 即是矩陣即是矩陣A的對應(yīng)于特征值的對應(yīng)于特征值i的特征向量的特征向量.122311221A求求的的特特征征值值及及特特征征向向量量. .解：解： 矩陣矩陣A的特征多項(xiàng)式為的特征多項(xiàng)式為IA322311321 3222) 3)(3( 3, 3321 例例11- -2 - -2- -31- -122103

5、1003令令| I-A|=0得得A的的特征值特征值為：為：13,(3).IA xO對對于于求求方方程程組組的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系4223 4122 41123 41211 1120770333I-A=1 - -10 0 00 - -11323xxxx令令x3=1得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系.1111v 是屬于是屬于 1 1=3=3的的一個(gè)特一個(gè)特征向量征向量. .對應(yīng)于特征值對應(yīng)于特征值 1 1=3=3的的全部特征向量：全部特征向量：1111(0)1cc 233,( 3)IA xO 對對于于求求方方程程組組的的非非零零解解. .2121v 22232122213232xxxx令令x3=1得方程組的基礎(chǔ)解

6、系為：得方程組的基礎(chǔ)解系為：- -3I- -A=122311221IA1 1 10 1 20 0 01 010 120 00是屬于是屬于 2 2= =3 =-3 3的一個(gè)的一個(gè)特征向量特征向量. .則對應(yīng)于則對應(yīng)于2=3 =-3的的全部特征向量全部特征向量為：為：c2v2=2212(0)1cc111131111A解：解：A的特征多項(xiàng)式：的特征多項(xiàng)式：1 11220131111 110(2) 1311112(2) (1)1231,2.例例2求求A的特征值與特征向量的特征值與特征向量.| I- -A|=13 1111021001令令| I- -A|=0，得，得A的特征值：的特征值：11,對于對于求

7、方程組求方程組(I- -A)x = O的非零解的非零解.I- -A=01112 111 0 11012 1011 0 - -1 11 0 10 110 0 0得基礎(chǔ)解系為：得基礎(chǔ)解系為：1111v 1323xxxx11(0)1cc對應(yīng)于對應(yīng)于 1 1=1=1的全部特征向量：的全部特征向量：111131111I A 232,對于對于求方程組求方程組(2I- -A)x = O的非零解的非零解.2I- -A=11111 111 1 1 110 0 00 0 0 x1= - -x2+x3同解方程組：同解方程組：令令2310,01xx 得到方程組的基礎(chǔ)解系：得到方程組的基礎(chǔ)解系：2122111 ,001

8、vv 每個(gè)都是每個(gè)都是A的特征向量的特征向量.對應(yīng)于對應(yīng)于 2= =3=2的全部特征向量：的全部特征向量：c1v21+c2v2212111001cc 其中，其中，c1, c2不全為零不全為零., , Axx Ayy命題命題2證：證：Axx12k xk yO12()A k xk y12 k Axk Ay12kxky12()k xk y命題命題1 任一任一 n 階方陣在復(fù)數(shù)域內(nèi)都有階方陣在復(fù)數(shù)域內(nèi)都有 n 個(gè)特征根個(gè)特征根.若若x是是A的對應(yīng)于特征值的對應(yīng)于特征值的特征向量，則的特征向量，則kx(k0)也是也是A的對應(yīng)于的對應(yīng)于的特征向量；的特征向量；若若x，y都是都是A的對應(yīng)于特征值的對應(yīng)于特征

9、值的特征向量，則非零線性的特征向量，則非零線性組合組合k1x+k2y(k1,k2不全為零不全為零)也是也是A的對應(yīng)于的對應(yīng)于的特征向量；的特征向量；()A kxk Axkx()kx (kx0)所以，所以，kx(k0)也是也是A的對應(yīng)于的對應(yīng)于的特征向量；的特征向量；因?yàn)橐驗(yàn)閗1, k2不全為零，所以不全為零，所以所以，所以，k1x+k2y (k1,k2不全為零不全為零)是是A的對應(yīng)于的對應(yīng)于的特征向量的特征向量.注：注：同一特征值的特征向量的非零線性組合仍是該特征值的特征向量同一特征值的特征向量的非零線性組合仍是該特征值的特征向量. .簡言之簡言之1.1.一個(gè)特征值對應(yīng)有無窮多個(gè)特征向量一個(gè)特

10、征值對應(yīng)有無窮多個(gè)特征向量. .2.2.一個(gè)特征向量只屬于一個(gè)特征值一個(gè)特征向量只屬于一個(gè)特征值. .460350361A求求的的特特征征值值及及特特征征向向量量. .解：解：460350361IA2(1) (2) 01231,2.特特征征值值為為121,對對于于36 01360360IA 練習(xí)：練習(xí)：12201 ,001vv 12201001cc 32, 對于對于6602330363I A 基礎(chǔ)解系：基礎(chǔ)解系：全部特征向量：全部特征向量：c1,c2不全不全為零為零. .基礎(chǔ)解系：基礎(chǔ)解系：111 全部特征向量：全部特征向量：11(0)1cc練習(xí)：練習(xí)：教材教材P133例例962423 242

11、 6A求求A的特征值和全部特征向量的特征值和全部特征向量.解：解：624232426IA (-1)202232426 101(2) 232426101(2)03402102(2) (11)A的特征值為：的特征值為：123=2,11.12=2,對對于于4242212424I A 2 1 20 0 00 0 021322xxx基礎(chǔ)解系：基礎(chǔ)解系：12102 ,201vv 12121022 ( ,01ccc c不全為不全為0)3=11,對對于于52411282425IA 1 0110 120 003212v 基礎(chǔ)解系：基礎(chǔ)解系：21 (0).2cc 定理定理5.1.1二、特征值與特征向量的性質(zhì)二、特

12、征值與特征向量的性質(zhì)注：注： A與與AT 不一定有相同的特征向量不一定有相同的特征向量.|() |TIA|TIA方陣方陣A與其轉(zhuǎn)置矩陣與其轉(zhuǎn)置矩陣AT 有相同的特征值有相同的特征值. 證：需證證：需證A與與AT有相同的特征多項(xiàng)式有相同的特征多項(xiàng)式.因?yàn)?，因?yàn)?，|IA所以，所以，A與與AT有相同的特征多項(xiàng)式，從而有相同的特征值有相同的特征多項(xiàng)式，從而有相同的特征值.定理定理5.1.2 設(shè)設(shè) 1，2，n 是是n階方陣階方陣A的所有特征值，則的所有特征值，則 tr(A)= 1+2+n ；|A|= 1 2 n 相當(dāng)重要！相當(dāng)重要！跡跡1niiia驗(yàn)證：驗(yàn)證：11122122aaAaa11122122|

13、aaI Aaa 2112211 2212 21()aaa aa a設(shè)設(shè) 1, 2 是是A的特征值的特征值,則則12| ()()IA 2121 2() =|A|12(2)nAAAA， ， ，為為的的特特征征值值. . |A|= 1 2 n 推論推論 A可逆的充要條件是可逆的充要條件是A的所有特征值的所有特征值 都不等于零都不等于零.特征值的其他簡單性質(zhì)：特征值的其他簡單性質(zhì)：1. 若若是矩陣是矩陣A的一個(gè)特征值，則的一個(gè)特征值，則 (1) k是矩陣是矩陣kA的一個(gè)特征值；的一個(gè)特征值； (2) k是矩陣是矩陣Ak的一個(gè)特征值；的一個(gè)特征值； (3) +1 是矩陣是矩陣A+I的一個(gè)特征值的一個(gè)特征

14、值.(證明提示：利用定義證明提示：利用定義)設(shè)設(shè)是方陣是方陣A的特征值的特征值, 則則 f ()是是f(A)的特征值的特征值.一般地一般地, ,定理定理5.1.35.1.31110( )mmmmf xa xaxax a2.矩陣矩陣A可逆可逆, 其特征值是其特征值是1, 2, n,則則112111(1);nA， ， ， 為為的的特特征征值值()iAxxxO11()iA AxA xxOx =11()iA xx xO*1|AA A例例1 三階方陣三階方陣A的特征值為的特征值為- -1，2，3，求：，求： (1) 2A的特征值；的特征值；(2) A2的特征值；的特征值；(3) |A|； (4)A是否可

15、逆是否可逆? 解：解： (1) 2A的特征值為的特征值為- -2，4，6；(2) A2的特征值的特征值1，4，9；(3) |A|=(- -1)23=- -6；(4) A可逆可逆.再求再求: (6) 矩陣矩陣 A2- -2A+3I 的特征值的特征值.問題問題：A- -1的特征值？的特征值？- -1，1/2，1/3.2- -2 +3：6，3，6. (7) 伴隨矩陣伴隨矩陣 A* 的特征值的特征值.123AAA， ，666123， ，= 6，- -3，- -2例例2 P133例例8 求下列特殊矩陣的特征值求下列特殊矩陣的特征值.(1) Am = O (m是正整數(shù)是正整數(shù)); (2) A2 = I.

16、A叫作冪零矩陣叫作冪零矩陣 A叫作對合矩陣叫作對合矩陣解：解：設(shè)設(shè)為為A的任一特征值，對應(yīng)的特征向量為的任一特征值，對應(yīng)的特征向量為x, 即即Ax = x Am x = m x A2 x = 2 x(1) 因?yàn)橐驗(yàn)锳m = O, 所以，所以，m x = O, 而而x O, 故故m = 0, 即即 = 0. (2) 因?yàn)橐驗(yàn)锳2= I, 所以，所以，x = 2 x, 即即 (2 - -1)x = O, 而而x O, 所以，所以， 2 - -1= 0, 即即 =1. 簡言之，簡言之， 冪零矩陣的特征值為零；對合矩陣的特征值為冪零矩陣的特征值為零；對合矩陣的特征值為1. .定理定理5.1.4,21的

17、的互互異異的的特特征征值值階階方方陣陣是是設(shè)設(shè)Anm 不同特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)不同特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān). .對應(yīng)特征向量：對應(yīng)特征向量：12m則則12m線性無關(guān)線性無關(guān).簡言之：簡言之：推論推論設(shè)設(shè) 1 ， 2 ， ， m 是是A的互異特征值，的互異特征值， 線性無關(guān)線性無關(guān)特征向量：特征向量：111121,tvvv221222,tvvv12,mmmmtvvv則則線性無關(guān)線性無關(guān).如矩陣如矩陣A的特征值的特征值1=1， 2=2，對應(yīng)于對應(yīng)于1=1的線性無關(guān)的特征向量為的線性無關(guān)的特征向量為11110v 對應(yīng)于對應(yīng)于2=2的線性無關(guān)的特征向量為的線性無關(guān)的特征向量為2122100

18、 ,111vv 則則 v11, v21, v22 線性無關(guān)線性無關(guān). 本節(jié)基本要求：本節(jié)基本要求：1. 1. 理解矩陣的特征值與特征向量的定義，會用定義解決問理解矩陣的特征值與特征向量的定義，會用定義解決問題；題；2. 2. 了解特征矩陣、特征多項(xiàng)式、特征方程、特征根；了解特征矩陣、特征多項(xiàng)式、特征方程、特征根；3. 3. 掌握特征值與特征向量的性質(zhì)，能靈活運(yùn)用性質(zhì)解題；掌握特征值與特征向量的性質(zhì)，能靈活運(yùn)用性質(zhì)解題；4. 4. 熟練掌握矩陣的特征值與特征向量的求法熟練掌握矩陣的特征值與特征向量的求法. .一、相似矩陣的定義與性質(zhì)一、相似矩陣的定義與性質(zhì)定義定義5.2.1. BA記記作作注：注

19、：矩陣的相似關(guān)系有以下性質(zhì)：矩陣的相似關(guān)系有以下性質(zhì)：相似與等價(jià)是矩陣的兩大關(guān)系，二者既有區(qū)別又有聯(lián)系：相似與等價(jià)是矩陣的兩大關(guān)系，二者既有區(qū)別又有聯(lián)系：第二節(jié) 方陣的相似變換設(shè)設(shè)A，B為為n階方陣，若存在階方陣，若存在n階可逆矩陣階可逆矩陣P，使得，使得1. 矩陣相似的定義矩陣相似的定義 P- -1AP = B則稱矩陣則稱矩陣A與與B相似，或相似，或A與與B是相似矩陣，是相似矩陣，(1) 自反性：自反性：A A因?yàn)椋阂驗(yàn)椋篒- -1AI = A(2) 對稱性：若對稱性：若AB，則，則B A. 由由P- -1AP = BA = PBP- -1= (P- -1)- -1 BP- -1(3) 傳遞

20、性：若傳遞性：若AB，B C，則，則 A C.A與與B等價(jià)等價(jià)區(qū)別：區(qū)別：PAQ=B (P,Q可逆可逆)A與與B相似相似 P- -1AP = B聯(lián)系：聯(lián)系：若若AB，則，則 A B. .反之不然反之不然. .2.相似矩陣的性質(zhì)相似矩陣的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 若若AB，則，則 |A| = |B|. 相似矩陣的行列式的值相等相似矩陣的行列式的值相等. . P- -1AP = B |P- -1| |A| |P| = |B| |A| = |B|性質(zhì)性質(zhì)2 若若AB，則，則 r(A) = r(B).相似矩陣的秩相等相似矩陣的秩相等. . P- -1AP = B 初等變換不改變矩陣的秩初等變換不改變矩陣的秩.

21、.性質(zhì)性質(zhì)3 若若AB，則，則 A, B或者都可逆，或者都不可逆或者都可逆，或者都不可逆.且且A, B可逆時(shí)，有可逆時(shí)，有A- -1 B- -1.由性質(zhì)由性質(zhì)1 1易得易得. . P- -1AP = B111()P APB111P A PB性質(zhì)性質(zhì)4 若若AB，則，則 Ak Bk (k是正整數(shù)是正整數(shù)) . P- -1AP = B (P- -1AP )k= Bk P- -1AkP = Bk10 Th4.2.1逆命題不成立逆命題不成立.即若即若A與與B有相同的特征值有相同的特征值,A與與B未必相似未必相似.性質(zhì)性質(zhì)5 若若AB, 則則 A與與B有相同的特征值有相同的特征值.相似矩陣的特征值相同相

22、似矩陣的特征值相同. .=P138定理定理5.2.1證：證： 因?yàn)橐驗(yàn)锳B，即：，即： P- -1AP = B|I- -B|= | I- -P- -1AP | = | P- -1IP - -P- -1AP |= | P- -1(I A)P |= |P- -1| |I A| |P|= |I A|從而矩陣從而矩陣A，B有相同的特征值有相同的特征值.注：注：如：如：1 110,0101ABI有相同特征值有相同特征值：1= 2=1. 但不相似但不相似. .1P IPIA20 相似相似 矩陣有相同的特征值矩陣有相同的特征值, 不保證有相同的特征向量不保證有相同的特征向量.那么特征向量之間有何關(guān)系？那么特

23、征向量之間有何關(guān)系？性質(zhì)性質(zhì)6 若若AB，則，則 tr(A) = tr(B). 由性質(zhì)由性質(zhì)5易得易得.二、矩陣可對角化的條件二、矩陣可對角化的條件定理定理5.2.212n n階方陣階方陣A相似于對角形矩陣的充分必要條件是相似于對角形矩陣的充分必要條件是A有有n個(gè)個(gè)線性無關(guān)的特征向量線性無關(guān)的特征向量.證證: : 必要性必要性 若矩陣若矩陣A相似于對角矩陣相似于對角矩陣則則存在可逆矩陣存在可逆矩陣P，滿足，滿足1P AP即：即：APP將矩陣將矩陣P按列分塊，令按列分塊，令12()nP 有有121212()()nnnA 121122()()nnnAAA (1,2,., )iiiAin可逆可逆12

24、,n 線性無關(guān)線性無關(guān)是是A的的n個(gè)線性無關(guān)的特征向量個(gè)線性無關(guān)的特征向量.12,n 如果如果n階方陣階方陣A相似于對角形矩陣相似于對角形矩陣,即即 ,則稱矩陣則稱矩陣A可對角化可對角化.1P AP為矩陣為矩陣A的相似標(biāo)準(zhǔn)形的相似標(biāo)準(zhǔn)形.定理定理5.2.2 n階方陣階方陣A相似于對角形矩陣的充分必要條件是相似于對角形矩陣的充分必要條件是A有有n個(gè)個(gè)線性無關(guān)的特征向量線性無關(guān)的特征向量.充分性充分性 若矩陣若矩陣A有有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量個(gè)線性無關(guān)的特征向量12,n 12n， ， ， ，其對應(yīng)的特征值分別為：其對應(yīng)的特征值分別為：則有則有(1,2,., )iiiAin121122()()nnn

25、AAA 即即121212()()nnnA PPAPP1P AP可逆可逆12n， ， ，說明說明: (1)的順序與的順序與12,n 相對應(yīng)一致相對應(yīng)一致.(2) 定理的證明過程給出了定理的證明過程給出了A相似于對角矩陣時(shí)，可逆矩陣相似于對角矩陣時(shí)，可逆矩陣P及及對角矩陣對角矩陣 的構(gòu)成的構(gòu)成.12nA推論推論1 1即即A有有n個(gè)互異特征值是個(gè)互異特征值是A可對角化的充分條件，而不是必要條件可對角化的充分條件，而不是必要條件.定理定理5.2.2 n階方陣階方陣A相似于對角形矩陣的充分必要條件是相似于對角形矩陣的充分必要條件是A有有n個(gè)個(gè)線性無關(guān)的特征向量線性無關(guān)的特征向量.若若n 階方陣階方陣A有

26、有n個(gè)互異的特征值個(gè)互異的特征值12n， ， ， ，則則反之不然反之不然. .12n線性無關(guān)線性無關(guān).已知已知n階方陣階方陣A，既能判定，既能判定A是否可以對角化，同時(shí)可求出可逆是否可以對角化，同時(shí)可求出可逆矩陣矩陣P及對角矩陣及對角矩陣.111131111A例例1 已知矩陣已知矩陣問問A能否對角化？若能，求出可能否對角化？若能，求出可逆矩陣逆矩陣P及對角矩陣及對角矩陣.解：解：220131111 2(2) (1)1231,2.| I- -A|=A的特征值：的特征值：11,對于對于求求(I- -A)x = O的基礎(chǔ)解系的基礎(chǔ)解系.111131111I- -A=01112 111 0 1 0 1

27、0 110 0 01111v 1323xxxx232,對于對于求求(2I- -A)x = O的基礎(chǔ)解系的基礎(chǔ)解系.2I- -A=11111 111 1 1 110 0 00 0 0 x1= - -x2+x32122111 ,001vv A可對角化可對角化.且且1 1 11 1 01 0 1P 122注注 P及及并不唯一并不唯一. .460350361A解：解：1231,2,例例2問問A能否對角化？若能，求出可逆矩陣能否對角化？若能，求出可逆矩陣P及及對角矩陣對角矩陣.460|350361IA2(1) (2)A的特征值：的特征值：121,32, 36 0360360IA1 2 00 0 00 0

28、 012320 xxx 1112201,001vv 基礎(chǔ)解系：基礎(chǔ)解系：6602330363IA1 010 110 001323xxxx 基礎(chǔ)解系：基礎(chǔ)解系：21111v所以，所以，A可對角化可對角化.2 011 0 10 1 1P11212 0211 0 ,110 11P 或或122311221A解：解：A的特征值為：的特征值為：, 33321 ，111 .1v 由于三階方陣由于三階方陣A只有兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量只有兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量v1，v2,所以，所以，A不與對角形矩陣相似，即不與對角形矩陣相似，即A不能對角化不能對角化.例例3試判斷試判斷A可否對角化？可否對角化？ 練習(xí)之練習(xí)之1

29、3 ，233, (3)IA xO求求的基礎(chǔ)解系：的基礎(chǔ)解系：2121v .( 3)IA xO求求的基礎(chǔ)解系：的基礎(chǔ)解系：練習(xí)：練習(xí)：P144例例6 本節(jié)基本要求：本節(jié)基本要求：1. 1. 理解相似矩陣的定義與性質(zhì)，靈活運(yùn)用性質(zhì)解題；理解相似矩陣的定義與性質(zhì)，靈活運(yùn)用性質(zhì)解題；2. 2. 理解矩陣與對角矩陣相似的充要條件及充分條件；理解矩陣與對角矩陣相似的充要條件及充分條件；3. 3. 熟練掌握矩陣熟練掌握矩陣A可對角化的判別方法可對角化的判別方法. .第三節(jié)第三節(jié) 向量內(nèi)積和正交矩陣向量內(nèi)積和正交矩陣1 1221nnniiia ba ba bab一、向量的內(nèi)積一、向量的內(nèi)積1. 向量內(nèi)積的定義

30、與性質(zhì)向量內(nèi)積的定義與性質(zhì)定義定義5.3.1 設(shè)設(shè)n維向量維向量= (a1, a2, an)，= (b1, b2, , bn)，稱實(shí)數(shù)，稱實(shí)數(shù)為向量為向量與與 的內(nèi)積的內(nèi)積.( , ) =記記= T若列向量：若列向量：1122,nnababab則內(nèi)積則內(nèi)積(, )=T 例例1 =(1, 2, 3), =(0, - -3, 5)，則，則 ( , ) =10+2(-3)+35= 9例例2 =(-1, -3,-2, 7), =(4,-2, 1 1, 0)，則，則( , ) = -4+6-2+0=0向量的內(nèi)積運(yùn)算具有如下性質(zhì)：向量的內(nèi)積運(yùn)算具有如下性質(zhì)：(1) (, )= ( , ) (2) (k,

31、)=k (, ) (3) (+ , )= ( , ) + ( , ) (4) (, ) 0,當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) = O時(shí)，有時(shí)，有(, )0 .2. 向量的長度與性質(zhì)向量的長度與性質(zhì) 向量的夾角向量的夾角定義定義5.3.2 設(shè)設(shè)n維向量維向量= (a1, a2, an)，稱實(shí)數(shù)，稱實(shí)數(shù)22212( ,)naaa 為向量為向量 的長度，或范數(shù)的長度，或范數(shù)或模，記或模，記向量的長度具有如下性質(zhì)：向量的長度具有如下性質(zhì)：0(1)當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) = O時(shí)，時(shí)，| |=0. (2) |k| = |k| | | (3) |(, )| | | |Cauchy-Schwarz不等式不等式. (4) |+ |

32、 |+ | | 三角不等式三角不等式.將向量將向量單位化單位化1O如如果果，則則向向量量即即為為單單位位向向量量. .長度為長度為1的向量稱為單位向量的向量稱為單位向量.如：如：1=(1, 0), 2=(0, 1)都是單位向量都是單位向量.11| 1|例例3 求向量求向量 =(1,2,-1)的長度，并將其單位化的長度，并將其單位化.解：解：( , ) 22212( 1)6 11(1,2, 1)6121(,)666練習(xí)：求向量練習(xí)：求向量 =(2, -1, 1, 3)的長度的長度.1512(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)n任意兩個(gè)向量任意兩個(gè)向量i與與j都正交都正交(ij)，稱其兩

33、兩正交，稱其兩兩正交. .定義定義5.3.3 設(shè)設(shè)，是任意兩個(gè)向量，若是任意兩個(gè)向量，若 (, )= 0則稱向量則稱向量與與正交或垂直，記作正交或垂直，記作.顯然，顯然，零向量與任意向量正交零向量與任意向量正交.n維初始單位向量組：維初始單位向量組：定義定義5.3.4 若若n維向量組維向量組1，2，s中任意兩個(gè)向量都正交，中任意兩個(gè)向量都正交，且且jO，j=1,2,s.則稱則稱1，2，s是正交向量組是正交向量組.定義定義5.3.5 如果一個(gè)正交向量組又是單位向量組，則稱其為如果一個(gè)正交向量組又是單位向量組，則稱其為單位正單位正交向量組交向量組或或標(biāo)準(zhǔn)正交向量組標(biāo)準(zhǔn)正交向量組.標(biāo)準(zhǔn)正交向量組標(biāo)準(zhǔn)

34、正交向量組1，2，s是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組由定義知：由定義知：(,)ij 1ij0ij3. 正交向量組正交向量組12s證證明明：設(shè)設(shè)， ，為為正正交交向向量量組組，即即定理定理5.3.1 正交向量組必是線性無關(guān)的向量組正交向量組必是線性無關(guān)的向量組. .( ,)0 ijij 1122sskkkO令令, 0), 0iii有有（由由于于0 1,2,).ikis（.21線線性性無無關(guān)關(guān)，正正交交向向量量組組m若若1，2，s是正交向量組是正交向量組單位化單位化(1,2,., )|iiiis則則1，2，s是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組.1122(,)(,)0issikkkO則則11(,)(,

35、)(,)0iiiisiskkk =0=0(,)0iiik 注注：線性無關(guān)組未必是正交向量組線性無關(guān)組未必是正交向量組. .施密特施密特(Schmidt)正交化方法正交化方法化線性無關(guān)組為正交向量組化線性無關(guān)組為正交向量組.1212,mmn 設(shè)設(shè)， ，是是 維維線線性性無無關(guān)關(guān)向向量量組組, ,則則存存在在一一個(gè)個(gè)正正交交向向量量組組1212,mm 使使與與 ， ，等等價(jià)價(jià). .施密特正交化方法施密特正交化方法: :11 (1)令令2122111(,) (2)(,) 121121112211(,)(,)(,) ( )(,)(,)(,)mmmm-mmmm-mm (3) ),(),(),(),(22

36、2231111333 可以證明，可以證明，1212,mm 與與 ， ，等等價(jià)價(jià). .正交正交例例4123(1,1,1,1),(3,3, 1, 1),( 2,0,6,8). 設(shè)設(shè)線線性性無無關(guān)關(guān)的的向向量量組組用用施施密密特特正正交交化化方方法法求求與與其其等等價(jià)價(jià)的的正正交交向向量量組組222231111333),(),(),(),()1 , 1 , 1 , 1 (11令令2122111(,) (,) 4(1,1,1,1)4(2,2, 2, 2) ( 2,0,6,8) )1 , 1 , 1 , 1(412)2, 2, 2 , 2(1632解：解：( 2,0,6,8) )3 , 3 , 3 ,

37、3()4, 4, 4 , 4( 1,1, 1,1) (3,3, 1, 1) 11(,)4 22(,)16 =4=12=- -32可進(jìn)一步將可進(jìn)一步將 1 1，2，3單位化，得到標(biāo)準(zhǔn)正交向量組單位化，得到標(biāo)準(zhǔn)正交向量組. .222231111333),(),(),(),(練習(xí)：練習(xí)：123(1,1,0),(1, 2,0),(1,0,1),將將向向量量組組11(1,1,0)2122111(,) (,) 1(1,1,0)20 ,23,23)1 ,0,0(解：先正交化解：先正交化標(biāo)準(zhǔn)正交化標(biāo)準(zhǔn)正交化.11(,)2 =- -1(1, 2,0)229(,)2 =1=3/2再單位化再單位化1111)0 ,

38、1 , 1 (210 ,21,212221)0 ,23,23(129)0 ,23,23(32)0 ,22,22(3331)1 ,0 ,0(標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正交交組組TnAAAIA若若 階階實(shí)實(shí)方方陣陣 滿滿足足，則則稱稱 為為正正交交矩矩陣陣. .二、二、 正交矩陣正交矩陣1001正交矩陣正交矩陣的性質(zhì)：的性質(zhì)：1(1).TAAA若若 為為正正交交矩矩陣陣，則則1(2)()TAAA若若 為為正正交交矩矩陣陣，則則或或都都是是正正交交矩矩陣陣. .(3)11.AA 若若 為為正正交交矩矩陣陣，則則或或(4)ABAB若若 、 為為同同階階正正交交矩矩陣陣，則則為為正正交交矩矩陣陣. .定義定義5.3.6

39、cossin sincos10011 02211022TAAI2|1A()TTTAB ABABB A= AIAT= I(5)若若A是是n階正交矩陣，階正交矩陣， , 是是n維列向量，則維列向量，則(A, A)= (, )(,)()TAAAATTA A= IT = (, )定理定理5.3.3 設(shè)設(shè) A為為 n 階實(shí)方陣，階實(shí)方陣，A 為正交矩陣的充分必要條件為正交矩陣的充分必要條件 是其列是其列(行行)向量組為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組向量組為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組.正交矩陣與標(biāo)準(zhǔn)正交向量組之間的關(guān)系：正交矩陣與標(biāo)準(zhǔn)正交向量組之間的關(guān)系：10011= 0-2211022A1 2 3兩兩正交，且長度為兩兩正交，且長度

40、為1.第四節(jié)第四節(jié) 實(shí)對稱矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)對稱矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形一、一、 實(shí)對稱矩陣的特征值與特征向量的特殊性質(zhì)實(shí)對稱矩陣的特征值與特征向量的特殊性質(zhì)定理定理5.4.1 n階實(shí)對稱矩陣階實(shí)對稱矩陣A有有n個(gè)實(shí)特征值個(gè)實(shí)特征值,且其特征向量是實(shí)向量且其特征向量是實(shí)向量.定理定理5.4.2 實(shí)對稱矩陣實(shí)對稱矩陣A的屬于不同特征值的特征向量必正交的屬于不同特征值的特征向量必正交.證：證： 設(shè)設(shè) 1，2是是n階實(shí)對稱矩陣階實(shí)對稱矩陣A的兩個(gè)特征值，且的兩個(gè)特征值，且 1 2.特征向量：特征向量： x1x2 Ax1 = 1x1 Ax2 = 2x2( x1 O, x2 O ) ( Ax1 , x2)=因?yàn)?/p>

41、因?yàn)? 1x1, x2 )= 1 ( x1, x2 ) (1) ( Ax1 , x2)= ( Ax1 )T x2 = x1T AT x2 = x1T A x2 = 2 x1T x2= 2 ( x1, x2 )(2)由由(1)、(2)得：得： 1 ( x1, x2 ) = 2 ( x1, x2 )(1- -2) ( x1, x2 ) = 01 2(x1, x2)=0 x1, x2正交正交.定理定理5.4.3(對稱矩陣基本定理對稱矩陣基本定理)n 階實(shí)對稱矩陣階實(shí)對稱矩陣A個(gè)，必存在個(gè)，必存在n階正交矩陣階正交矩陣P，使得，使得 任一任一n階實(shí)對稱矩陣階實(shí)對稱矩陣A必正交相似于對角形矩陣必正交相似

42、于對角形矩陣.定義定義4.3.5 設(shè)設(shè)A，B為為n階方陣，如果存在一個(gè)正交矩陣階方陣，如果存在一個(gè)正交矩陣P，使得，使得P- -1AP = B則稱矩陣則稱矩陣A與與B正交相似正交相似.PTAP = B若若A與與B正交相似，且正交相似，且A是對稱矩陣，則是對稱矩陣，則B也是對稱矩陣也是對稱矩陣.因因BT=(PTAP)T=PTATP =PTAP = B121TnP APP AP 由于實(shí)對稱矩陣由于實(shí)對稱矩陣A的不同特征值對應(yīng)的特征向量正交，所以，的不同特征值對應(yīng)的特征向量正交，所以，可以求出可以求出A的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量組，構(gòu)成正交矩陣，使得實(shí)對稱的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量組，構(gòu)成正交矩陣，使得實(shí)對稱矩陣矩

43、陣A可以正交相似于對角矩陣可以正交相似于對角矩陣.定理定理5.4.7 實(shí)對稱矩陣與對角矩陣正交相似實(shí)對稱矩陣與對角矩陣正交相似. 通過例題再證明定理通過例題再證明定理證：設(shè)證：設(shè)A為為n階實(shí)對稱矩陣，階實(shí)對稱矩陣，1, 2, m為為A的互異特征值，其中的互異特征值，其中i的重?cái)?shù)為的重?cái)?shù)為ni ,1miinn對于對于A的的ni重特征值重特征值i 對應(yīng)有對應(yīng)有ni個(gè)線性無關(guān)的特征向量個(gè)線性無關(guān)的特征向量12,.,(1,2,.,)iiiinim 正交化正交化正交向量組：正交向量組：12,.,(1,2,., )iiiinim 單位化單位化12,.,(1,2,., )iiiinim 互異特征值對應(yīng)互異特

44、征值對應(yīng)特征向量正交特征向量正交11112112,.,.,.,mnmmmn標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量組：標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量組：令令111 12112(.)mnmmmnP 是正交矩陣是正交矩陣.1P AP單位化得：單位化得：110110010P310130003A 解：解：00IA0)4)()( . 43, 2321 ，的特征值為的特征值為A1232,3,4(),IA xO把把依依次次代代入入方方程程組組(1,1,0) ,(0,0,1) , (-1,1,0)TTT 例例1求正交矩陣求正交矩陣P，使，使A正交相似于對角矩陣正交相似于對角矩陣.特征向量：特征向量：且它們兩兩正交且它們兩兩正交.1111(,0) ,(0,0,1) ,(,0)TTT1P AP422242224A422242224IA . 2, 8321 的的特特征征值值為為A解：解：8228428242(8)(2)0例例2求正交矩陣求正交矩陣P，使，使A正交相似于對角矩陣正交相似于對角矩陣.對于對于1=8，求，求(8I- -A)x= O的基礎(chǔ)解系：的基礎(chǔ)解系：42224222410101100