1、有限元方法與應(yīng)用有限元方法與應(yīng)用幾何幾何非線性非線性張有為張有為 工程力學(xué)系工程力學(xué)系幾何非線性要點幾何非線性要點 幾何幾何非線性問題分類非線性問題分類 大位移、大轉(zhuǎn)角、小應(yīng)變大位移、大轉(zhuǎn)角、小應(yīng)變 大大位移、大轉(zhuǎn)角位移、大轉(zhuǎn)角、大應(yīng)、大應(yīng)變變 幾何非線性有限元分析幾何非線性有限元分析 應(yīng)變和應(yīng)力的度量應(yīng)變和應(yīng)力的度量 幾何非線性有限元格式幾何非線性有限元格式 有限元方程及其解法有限元方程及其解法 大變形本構(gòu)關(guān)系大變形本構(gòu)關(guān)系 穩(wěn)穩(wěn)定定性分析性分析1 幾何非線性問題的分類幾何非線性問題的分類幾幾何非線何非線性的來源：性的來源：結(jié)構(gòu)的位移使體系的受力狀態(tài)發(fā)生了顯結(jié)構(gòu)的位移使體系的受力狀態(tài)發(fā)生了顯

2、著的變化，以致不能采用線性體系的分析方著的變化，以致不能采用線性體系的分析方法法 (1) 大大位移、大轉(zhuǎn)動、小應(yīng)位移、大轉(zhuǎn)動、小應(yīng)變變?nèi)绺邔咏ㄖ⒋罂缍蠕摷芙Y(jié)構(gòu)的結(jié)如高層建筑、大跨度鋼架結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)分析大多屬于此類問題構(gòu)分析大多屬于此類問題分析類型分析類型特點特點描述方法描述方法應(yīng)力和應(yīng)變應(yīng)力和應(yīng)變大位移大位移大轉(zhuǎn)動大轉(zhuǎn)動小應(yīng)變小應(yīng)變線元的位移和轉(zhuǎn)動充分線元的位移和轉(zhuǎn)動充分大，但線元的伸長和線大，但線元的伸長和線元之間的角度改變無限元之間的角度改變無限小，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是線小，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是線性的或非線性的性的或非線性的完全完全Lagrangian描述描述Kirchhoff應(yīng)力應(yīng)力Green應(yīng)變應(yīng)

3、變更新更新Lagrangian描述描述Cauchy應(yīng)力應(yīng)力Almansi應(yīng)變應(yīng)變1 幾何非線性問題的分類幾何非線性問題的分類 (2) 大位移、大轉(zhuǎn)動、大應(yīng)變大位移、大轉(zhuǎn)動、大應(yīng)變?nèi)缃饘俚膲毫庸栴}如金屬的壓力加工問題分析類型分析類型特點特點描述方法描述方法應(yīng)力和應(yīng)變應(yīng)力和應(yīng)變大位移大位移大轉(zhuǎn)動大轉(zhuǎn)動大應(yīng)變大應(yīng)變線元的伸長和線元之間線元的伸長和線元之間的角度改變充分大，線的角度改變充分大，線元的位移和角度也可以元的位移和角度也可以充分大，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系充分大，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是線性的或非線性的是線性的或非線性的完全完全Lagrangian描述描述Kirchhoff應(yīng)力應(yīng)力Green應(yīng)變應(yīng)變更新更新L

4、agrangian描述描述Cauchy應(yīng)力應(yīng)力Almansi應(yīng)變應(yīng)變2 應(yīng)變和應(yīng)力的度量應(yīng)變和應(yīng)力的度量 2.1 應(yīng)變的度量應(yīng)變的度量 構(gòu)型描述構(gòu)型描述結(jié)構(gòu)初始構(gòu)型結(jié)構(gòu)初始構(gòu)型2 應(yīng)變和應(yīng)力的度量應(yīng)變和應(yīng)力的度量 坐標(biāo)變換坐標(biāo)變換正變換正變換逆變換逆變換Lagrange描述描述基于變形前的構(gòu)型表述變形后的構(gòu)型。以基于變形前的構(gòu)型表述變形后的構(gòu)型。以變形前的各點坐標(biāo)為基本未知數(shù)，描述各變形前的各點坐標(biāo)為基本未知數(shù)，描述各個量。個量。Euler描述描述基于變形后的構(gòu)型表述變形前的構(gòu)型。以基于變形后的構(gòu)型表述變形前的構(gòu)型。以變形后的各點坐標(biāo)為基本未知數(shù)，描述各變形后的各點坐標(biāo)為基本未知數(shù)，描述各個量

5、。個量。2 應(yīng)變和應(yīng)力的度量應(yīng)變和應(yīng)力的度量 變形梯度變形梯度PQ兩鄰近點的矢徑差兩鄰近點的矢徑差變形梯度變形梯度2 應(yīng)變和應(yīng)力的度量應(yīng)變和應(yīng)力的度量 例例1：平面三角形單元的轉(zhuǎn)動和拉伸：平面三角形單元的轉(zhuǎn)動和拉伸已知線性三角形單元三節(jié)點坐標(biāo)隨時間變化的關(guān)系如下，求單元轉(zhuǎn)動和拉伸過程中的變已知線性三角形單元三節(jié)點坐標(biāo)隨時間變化的關(guān)系如下，求單元轉(zhuǎn)動和拉伸過程中的變形梯度形梯度坐標(biāo)轉(zhuǎn)化坐標(biāo)轉(zhuǎn)化結(jié)合結(jié)合變形梯度變形梯度2 應(yīng)變和應(yīng)力的度量應(yīng)變和應(yīng)力的度量2 應(yīng)變和應(yīng)力的度量應(yīng)變和應(yīng)力的度量 Green應(yīng)變張量及應(yīng)變張量及Almansi應(yīng)變張量應(yīng)變張量Green-Lagrange應(yīng)變張量應(yīng)變張量Al

6、mansi應(yīng)變張量應(yīng)變張量Green-Lagrange應(yīng)變張量簡稱應(yīng)變張量簡稱Green應(yīng)變張量，其是用變形前坐標(biāo)表應(yīng)變張量，其是用變形前坐標(biāo)表示的，即它是示的，即它是Lagrange坐標(biāo)的函數(shù)坐標(biāo)的函數(shù)Almansi應(yīng)變張量是用變形后坐標(biāo)表示的，即它是應(yīng)變張量是用變形后坐標(biāo)表示的，即它是Euler坐標(biāo)的函數(shù)坐標(biāo)的函數(shù)Green和和Almansi應(yīng)變張量的轉(zhuǎn)換關(guān)系應(yīng)變張量的轉(zhuǎn)換關(guān)系2 應(yīng)變和應(yīng)力的度量應(yīng)變和應(yīng)力的度量 應(yīng)變應(yīng)變-位移關(guān)系位移關(guān)系Green應(yīng)變張量應(yīng)變張量Almansi應(yīng)變張量應(yīng)變張量小變形情況下，小變形情況下，Green應(yīng)變張量和應(yīng)變張量和Almansi應(yīng)變張量中的二次項較小，

7、可以應(yīng)變張量中的二次項較小，可以忽略，同時可忽略參考位形之間的差別，則有忽略，同時可忽略參考位形之間的差別，則有2 應(yīng)變和應(yīng)力的度量應(yīng)變和應(yīng)力的度量 例例2：一維問題中幾種應(yīng)變的計算：一維問題中幾種應(yīng)變的計算Green應(yīng)變應(yīng)變Almansi應(yīng)變應(yīng)變工程應(yīng)變工程應(yīng)變2 應(yīng)變和應(yīng)力的度量應(yīng)變和應(yīng)力的度量 例例2：一維問題中幾種應(yīng)變的計算：一維問題中幾種應(yīng)變的計算Green應(yīng)變應(yīng)變Almansi應(yīng)變應(yīng)變工程應(yīng)變工程應(yīng)變2 應(yīng)變和應(yīng)力的度量應(yīng)變和應(yīng)力的度量 例例3：剛體轉(zhuǎn)動情況下：剛體轉(zhuǎn)動情況下Green應(yīng)變張量的不變性應(yīng)變張量的不變性鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則2 應(yīng)變和應(yīng)力的度量應(yīng)變和應(yīng)力的度量真實應(yīng)

8、力，即當(dāng)前時刻單位真實應(yīng)力，即當(dāng)前時刻單位面積上的力構(gòu)成的張量，是面積上的力構(gòu)成的張量，是對稱張量對稱張量變形后表面上的應(yīng)力變形后表面上的應(yīng)力變形前表面上的應(yīng)力變形前表面上的應(yīng)力2 應(yīng)變和應(yīng)力的度量應(yīng)變和應(yīng)力的度量 變形前后相應(yīng)面上力的關(guān)系變形前后相應(yīng)面上力的關(guān)系Lagrange規(guī)定規(guī)定Kirchhoff規(guī)定規(guī)定與坐標(biāo)變換規(guī)律相同與坐標(biāo)變換規(guī)律相同二維二維Lagrange和和Kirchhoff應(yīng)力規(guī)定示意圖應(yīng)力規(guī)定示意圖2 應(yīng)變和應(yīng)力的度量應(yīng)變和應(yīng)力的度量 應(yīng)力的定義應(yīng)力的定義2 應(yīng)變和應(yīng)力的度量應(yīng)變和應(yīng)力的度量 應(yīng)力之間的關(guān)系應(yīng)力之間的關(guān)系由質(zhì)量守恒可得由質(zhì)量守恒可得應(yīng)力之間的關(guān)系應(yīng)力之間的

9、關(guān)系2 應(yīng)變和應(yīng)力的度量應(yīng)變和應(yīng)力的度量 例例4：純轉(zhuǎn)動物體的應(yīng)力：純轉(zhuǎn)動物體的應(yīng)力已知二維物體純轉(zhuǎn)動時的變形梯度以及初始狀態(tài)的已知二維物體純轉(zhuǎn)動時的變形梯度以及初始狀態(tài)的Cauchy應(yīng)力分別為應(yīng)力分別為轉(zhuǎn)動后的轉(zhuǎn)動后的Cauchy應(yīng)力應(yīng)力轉(zhuǎn)動后的第一轉(zhuǎn)動后的第一Piola-Kirchhoff應(yīng)力應(yīng)力轉(zhuǎn)動后的第二轉(zhuǎn)動后的第二Piola-Kirchhoff應(yīng)力應(yīng)力純轉(zhuǎn)動中純轉(zhuǎn)動中PK2應(yīng)力是不變的，即應(yīng)力是不變的，即PK2應(yīng)力應(yīng)力可 以 看 作 是 嵌 入 在 材 料 中 的 ； 或可 以 看 作 是 嵌 入 在 材 料 中 的 ； 或Lagrange坐標(biāo)隨著物體轉(zhuǎn)動而轉(zhuǎn)動，而坐標(biāo)隨著物體轉(zhuǎn)動而

10、轉(zhuǎn)動，而PK2應(yīng)力分量始終與應(yīng)力分量始終與Lagrange坐標(biāo)取向保坐標(biāo)取向保持關(guān)聯(lián)持關(guān)聯(lián)PK1應(yīng)力物理意義不明確，非零應(yīng)力成為應(yīng)力物理意義不明確，非零應(yīng)力成為了剪應(yīng)力；很難被用于本構(gòu)方程，主要了剪應(yīng)力；很難被用于本構(gòu)方程，主要用于簡化動量方程和有限元方程用于簡化動量方程和有限元方程2 應(yīng)變和應(yīng)力的度量應(yīng)變和應(yīng)力的度量 例例5：單軸應(yīng)力：單軸應(yīng)力考慮如圖所示的單軸應(yīng)力桿件，將考慮如圖所示的單軸應(yīng)力桿件，將PK1、PK2和單和單軸軸Cauchy應(yīng)力聯(lián)系起來應(yīng)力聯(lián)系起來Cauchy應(yīng)力應(yīng)力(單軸應(yīng)力狀態(tài)單軸應(yīng)力狀態(tài))PK1應(yīng)力應(yīng)力PK2應(yīng)力應(yīng)力PK2應(yīng)力物理意義不明確應(yīng)力物理意義不明確變形梯度變形

11、梯度3 幾何非線性有限元格式幾何非線性有限元格式 3.1 虛位移原理虛位移原理(虛功原理虛功原理)3 幾何非線性有限元格式幾何非線性有限元格式無窮小應(yīng)變變分為無窮小應(yīng)變變分為(1)3 幾何非線性有限元格式幾何非線性有限元格式幾點討論幾點討論3 幾何非線性有限元格式幾何非線性有限元格式T.L.格式的增量形式的虛功原理，虛功原理由當(dāng)前位形轉(zhuǎn)換到初始位形上格式的增量形式的虛功原理，虛功原理由當(dāng)前位形轉(zhuǎn)換到初始位形上(3) 3.2 完全完全Lagrangian格式格式3 幾何非線性有限元格式幾何非線性有限元格式(5) 3.3 更新更新Lagrangian格式格式3 幾何非線性有限元格式幾何非線性有限元

12、格式(1) 本構(gòu)關(guān)系的線性化本構(gòu)關(guān)系的線性化 3.4 平衡方程的線性化平衡方程的線性化假定應(yīng)力增量和應(yīng)變增量成線性關(guān)系，即假定應(yīng)力增量和應(yīng)變增量成線性關(guān)系，即T.L.格式格式U.L.格式格式3 幾何非線性有限元格式幾何非線性有限元格式(2) 求解格式的進一步線性化求解格式的進一步線性化T.L.格式格式引引入線性本構(gòu)關(guān)系入線性本構(gòu)關(guān)系線性項線性項非線非線性項性項T.L.格式格式U.L.格式格式U.L.格式略格式略4 有限元方程及其解法有限元方程及其解法 4.1 有限元方程有限元方程(1) 靜力問題靜力問題節(jié)點及位移插值節(jié)點及位移插值4 有限元方程及其解法有限元方程及其解法T.L.格式有限元方程格

13、式有限元方程兩式中均引兩式中均引入了非線性入了非線性4 有限元方程及其解法有限元方程及其解法U.L.格式有限元方程格式有限元方程4 有限元方程及其解法有限元方程及其解法(2) 動力問題動力問題T.L.格式有限元方程格式有限元方程U.L.格式有限元方程格式有限元方程4 有限元方程及其解法有限元方程及其解法 4.3 方程求解方程求解1.基本思想基本思想：在每個時間步：在每個時間步(增量步增量步)中，采用非線性方程的求解方法，中，采用非線性方程的求解方法，進行迭代求解。進行迭代求解。a)常用方法：直接迭代法，常用方法：直接迭代法，N-R方法等方法等2.幾何非線性問題的求解包括兩層迭代幾何非線性問題的

14、求解包括兩層迭代(循環(huán)循環(huán))：a)外層循環(huán)外層循環(huán)(增量增量)：對時間步或荷載增量步循環(huán)：對時間步或荷載增量步循環(huán)b)內(nèi)層循環(huán)內(nèi)層循環(huán)(迭代迭代)：求解各時間步：求解各時間步(增量步增量步)導(dǎo)出的非線性方程，導(dǎo)出的非線性方程，通過迭代求解該時間步通過迭代求解該時間步(增量步增量步)后的相應(yīng)未知量后的相應(yīng)未知量4 有限元方程及其解法有限元方程及其解法 4.4 T.L.和和U.L.格式的區(qū)別格式的區(qū)別1.參考構(gòu)形不同參考構(gòu)形不同2.T.L.法包含初位移矩陣，法包含初位移矩陣， U.L.法不含此矩陣，平衡方程更為簡潔法不含此矩陣，平衡方程更為簡潔3.T.L.法中，計算初應(yīng)力和節(jié)點力時均采用法中，計算

15、初應(yīng)力和節(jié)點力時均采用Kirchhoff應(yīng)力應(yīng)力(PK2應(yīng)力應(yīng)力)，在求解過程中應(yīng)力可直接疊加，在求解過程中應(yīng)力可直接疊加，U.L.法中計算初應(yīng)力和節(jié)點力時采法中計算初應(yīng)力和節(jié)點力時采用的是用的是Cauchy應(yīng)力，因此須將求得的應(yīng)力，因此須將求得的Kirchhoff應(yīng)力應(yīng)力(PK2應(yīng)力應(yīng)力)增量增量進行變換，才能疊加進行變換，才能疊加4.T.L.的坐標(biāo)變換矩陣在增量求解的過程中保持不變，而的坐標(biāo)變換矩陣在增量求解的過程中保持不變，而U.L.每個迭每個迭代步都需重新計算坐標(biāo)變換矩陣代步都需重新計算坐標(biāo)變換矩陣5.U.L.更容易引進非線性本構(gòu)關(guān)系，更適于非彈性大應(yīng)變分析更容易引進非線性本構(gòu)關(guān)系，更適于非彈性大應(yīng)變分析5 大變形本構(gòu)關(guān)系大變形本構(gòu)關(guān)系 5.1 大位移、大轉(zhuǎn)動、小應(yīng)變情況大位移、大轉(zhuǎn)動、小應(yīng)變情況(1) 彈性彈性5 大變形本構(gòu)關(guān)