1、2014年浙江省溫州市搖籃杯高一數(shù)學競賽試題2014.4一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.1.設集合A =+ b、B = xx = 4k + Z kEZ9C = x|x = 4&+3,keZ9若“SbgB,ceC,則()A.obcAB.abcGBC.abc wCD.abc AJBjC2.函數(shù)y = 0(x_l)十點的定義域為()A. x|x$0B. |X|X1JC. | x $ 1 (J 0 D x 10 W xW 1i3.設x = ln;r,y =log25 Z =則()A. y zB Z v yC zy 0Jcos(a + 0) = sina,則 tan(a+0)

2、= ( B. 1C. 225Dk則關于8設函數(shù)/(X) =X2-4-V + 3,g(x)1-x2, xWo個數(shù)為()A. 2B. 3C. 4D. 5X相同的集合有()A 1個B. 2個C 3個D 4個10.在平面直角坐標系xOy中， 將函數(shù)y= |x_3|_|x_l|的圖像繞坐標原點O順時針旋轉角&(OW&va),得到曲線C,若對于每一個旋轉角0,lit線C都是一個函數(shù)的圖像，記兔為Q的最大彳11,則tail a=( 二、填空題：本大題共7小題，毎小題7分，共49分.11設扇形的周長為8 訕,而枳為4用，則該廚形的圓心角的弧度數(shù)是_ _12.已知 勺均為單位向量,且 勺的夾角為

3、60，若4=竹+勺，=%+2勺則a與的夾角為 13.方程(x2_x_l)r-r-o)有R僅有四個實根沖 勺 % 其中卜中，和9.設Q是竹理(1)2X+1|XGX,(2)X1 X2 S X4且尤4一珀=2，則d的取值范國為 16.求值：sill21024-siir 30 + sill25O3+ sill270=A.(用數(shù)字作答)17.函數(shù)f (x)= Vl-siii2x+,/2sinx的值域是.三、解答題：本大題共3小題，共51分.18.（本題滿分15分）己知函數(shù)/（x） = 2sin（x +彳卜苧tanacos冷，aw（0,刃，且g）_2.1）求a ；ii）當牝彳,”時，求函數(shù)y =/（%+）

4、的值域.19.（木題滿分18分）已知向呈加=（acosx,sinx）, =（1,0）,函數(shù)/（x）=|w_w|.1）當a = 2時，求/（x）的值域：11）當且僅當x = 2（wZ）時，/（X）取最小值，求正數(shù)a的取值范圍：111）是否存在正數(shù)，使得對于任意的兀，/（、）為定值?若存在，求岀的值：-cosx若不存在，說明理由.20.（本題滿分18分）己知a、0是關于x的二次方程x2-/.r-l=0的兩個實根，且afi，函數(shù)/（X）二菩斗昭+1（I）求a）-S的值：a_ pII）試判斷/（x）在區(qū)間（a,0）內(nèi)的單調(diào)性，并說明你的理由:（III）求證：對任總的正數(shù)2，“，都有2014年浙江省溫州

5、市搖籃杯高一數(shù)學競賽參考解答一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.1.設集合A=xx=4k+l kEZ9B=xx = 4k+2.C = xx = 4k+3, 2 兀若6/eA ,bEB9cEC9則() 解析：設 =4 +1,h=4/H+ 2 .C = 4H+ 3,k, m9y則 血? =4 (16hnn + nn + kin+1Ikin+ 6 + 3加 +2 +1) + 2 ,故選B 2.函數(shù)y =Jx(x_i)+ JT的定義域為(B. x|xMlC.x|毎l(fā)U0 D. x|0WxWl解析：J l丿，即x$l或x = 0,故選C xO13.設= hi y =log25, z =

6、/2,則()A. xyzB.zxyc. zyx解析：e5lhi2 log25 .故選B 4.若直線x = 是函數(shù)/（x） = dsiiig + cosg的圖像的條對稱軸，則當。取最小正數(shù)時,4解析：由題意COS0二一,A.x|x$0A.(n9 3解析：/(x) =2sin小正值為2 ,此時f(x) =2sin 2x+ ,在、6丿7T 7T上單調(diào)遞増，在7T2TT65T上單調(diào)遞減,故選B.5.若sin0 =舟(號0（），,則關于X的方程g/（x） = 1的實根1 x , x W 0個數(shù)為（）A. 2B 3C.4D. 5解析：由題總知，= 0或1,又昭_43 = 0或1，故根集為1,3,2冋，選C

7、和X相同的集合有（）A 1個B 2個C 3個D. 4個解析：易證集合（1） 2） （3）都與X相同，但集合（4）與X不同，因為集合（4）中的元 素必為非負數(shù)，選C10.在半面直角坐標系xO）中，將函數(shù)y = |x_3|_|xl|的圖像繞坐標原點順時針旋轉角0（OW&va） ,得到曲線C,若對丁毎-個旋轉角0,曲線C都是個函數(shù)的圖像.記兔為a的長大值， 則tan% =（）1C. iD. 13239.設Q是有理= .t x= a +（1）2兀 +1險a，在下列集合:0險X中,解祈：y = |x-3|-|x-l| nJ*分三段畫岀圖像，有兩部分圖像平行于x軸，逆時針旋轉坐標軸，由 圖像可知選

8、C.二、填空題：本大題共 7 小題,每小題7分，共49分.11設廚形的周長為8c,n ,面枳為4cm2,則炯形的圓心角的弧度數(shù)是 -f-O O解析：設半徑為匚 圓心角為6,則？7,解得6= = 2硏=812.己知竹，q均為單位向量，且 勺的夾角為60)，若a = ex+e29b = e+2e29則。與b的夾角為 13.方程(F_X_1廣亠6 = 1的解集為 .解祈：若X2-X- = 1,解得X = 2或一1：若F_x_l = _l，解得兀=0或1,驗證成立：若X2-X-6 = 0,解得x=3或一2,故解集為0,1,2,314.如圖，冊形OA3的半徑為2,圓心角為120：,Q 為/仏上一點，B-

9、 0)冇且僅冇四個實柚勺x2,勺 耳，其中且耳一叫=2,則d的取值范圍為 解析：由題意知結論與“無關，不妨設方=0,則，呵為方程2+c+l =0的兩個實根.故16.求值:sin210:+sin230+siii25O3+sin270- A(月數(shù)字作答解析：six? 10仃sin23O5+ sin250)+sin27(/ =-+-COS+上竺竺+匕四4222417.函數(shù)/(x)= /l_siii2x+V2sinA-的値域是解析：只需考慮)的情形即可44(1 +VJ)sinx一cosx,睿(s/T一l)sinv + cosx，M w x tai】0 =血+1,故當兀時，_1/(X)W丁4 + 2血：

10、當-乎Wx鄉(xiāng)時，_lW/(x)W丁4一2逅, 故f (X)的值域為一1,(4 + 2 近 .三.解答題：本大題共3小題，共51分.18(本題滿分13分)L1知Ph數(shù)/(x) = 2siiix+/3 siii v + cosx一2(1 + cos x) =y/3sin v一cos x - 2 = 2sin(A - ) - 2 ,6所以y = /(x+ a) =f(x+ 兀)=2siu(x +兀一兀)一2二2sin(x+兀)一2,3366因為EWxJ.所以互Wx +至 W 互，2366即-丄W sin(x+蘭)w 迺，即一3 W 2sin(x +蘭)_2 W血_2 ,2 6 2 6因此，函數(shù)y =

11、 /(“ + a)的值域為卜3,73-2.19(木題満分18分)己知向星加=(dcos兀sinx), w=(L0),函數(shù)f=m(I)當a = 2時，求/(x)的值域;(II)當且僅當x = 2k(keZ)時,/(x)取最小值，求正數(shù)Q的取值范國:(III)是否存在止數(shù)a,使得對于任意的x,/(入)為定值?若存在，求出a的值;u- cosX若不存在，說明理由.解：(1)當 =2時，f(x)=/3COS2X-4COSX+2,故值域為字 -3分 / (x)=cos X -1)2+sin2X=(a2-l)cos2x-2cos.v+2-6分令牝)=(。2一1卩2一2川+2(_11),則當且僅當r=l時，

12、g(/)取最小也當0 vdvl時，g(/)的對稱軸為/二#_了0,故此時g()在=1處取最小值：一-9分當“=1時，(/) = _2/+2(-1/1時，若g(f)在=1處取最小值，則&(/)的對稱軸為/ =護_$1,即以_4_10,故laW土-12分2綜上所述，0出：/(J) =2sin兀+耳-婕tan處6)3210分15分設*）=,層5山+2心定值,ci一cosxa cosx故(B 一1)cos x一2a cos x + 2 = Q(a一cos x)2,即(B _R2_)cos2x_2d(l_R2)cosx + 2_d2R2 = 0 .p2_爐-1 = 0故.2a(l-Q) = o(可通過賦值cosx = l,0得到)，解得a=y/2,2-欣2二0經(jīng)檢檢，a = y、k =1成立.20.（本題滿分18分）已知a. 0是關于兀的二次方程+一圧一二o的兩個實根，H.av0（I）求丿 3）-/（0）的值:a-p11）試判斷/（x）在區(qū)間（0）內(nèi)的單調(diào)性，并說明你的理由:解：（I%0是方程0的兩個根,故a_卩11）/（兀）在（久0）上單調(diào)遞增.設,巧丘3，0），其中珀“2，則/（小*2）出-琴簾：產(chǎn)）因為（1 +tx、 .V* ） + （1 +tx 2）（2 + +/A*2 2x02） = （X】入） ） 0915分18分函